Раздел 2
РАЗРАБОТКА МЕТОДА РАСЧЕТА ТЕРМОНАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МЕТАЛЛА В МНЛЗ ПРИ "МЯГКИХ" ОБЖАТИЯХ
Процесс "мягкого" обжатия при непрерывной разливке представляет собой совокупность одновременно протекающих физических процессов: кристаллизации, охлаждения и деформации твердой фазы металла. Как показано в предыдущем разделе, теоретическое описание процесса "мягкого" обжатия в настоящее время весьма актуально ввиду интереса к получению заготовки высокого качества в машинах непрерывной разливки [78, 79, 80]. Одной из проблем, возникающих при математическом моделировании данного процесса, является проблема совместного решения задач моделирования теплового поля в металле, кристаллизации, термонапряжений и формоизменения металла.
Решение такой задачи предполагает учет в диапазоне температур от температуры обработки до температуры солидус нелинейности реологической кривой металла, зависимости теплофизических характеристик металла от температуры, учет объемной формы охлаждаемого и деформируемого металла, трехмерного формоизменения металла. Как показано в предыдущем разделе, существующие исследования, как правило, не рассматривают перечисленные выше проблемы в комплексе и не позволяют выполнить расчет напряженно-деформированного состояния заготовки при "мягких" обжатиях [81, 82]. Однако существенный практический интерес теоретическая модель рассматриваемого процесса представляет только в приведенной выше формулировке. Это предопределяет выбор метода решения - в настоящее время указанным требованиям может удовлетворить только модель на основе одного из современных численных методов - метода конечных элементов [81], метода конечных объемов (МКО) [83], метода граничных элементов (МГЭ) [82] и в ряде случаев метода конечных разностей (МКР) [84].
Однако, поскольку среди перечисленных методов именно МКЭ позволяет решить все выше перечисленные задачи - тепловые задачи и кристаллизацию, расчет напряженно-деформированного состояния металла - будем рассматривать данный метод как базовый для создания математической модели.
2.1 Модель тепловых процессов и кристаллизации
Для моделирования тепловых процессов используется уравнение теплопроводности в общем виде:
(2.1)
где ? плотность стали (кг/м3); ? ? время (с); - коэффициент теплопередачи (Вт/м K); c(t) -теплоемкость (Дж/кг K); ?(t) - плотность сплава (кг/м3); t - температура (K);( ? - время (с).
Наибольшее распространение при моделировании процесса кристаллизации получили метод тепловых источников, метод энтальпии и метод приведенной теплоемкости. Все эти методы используют уравнение теплопроводности, модифицированное соответствующим образом.
Главная идея метода тепловых источников заключается в том, что скрытое тепло в узле сетки конечных элементов, которое может быть выделено или поглощено, представляется в виде внутренних тепловых источников при соответствующей температуре или интервале температур. Это позволяет корректно моделировать как изотермическое изменение фазы, так и изменение фазы в интервале температур [85, 86].
Скорость изменения энтальпии в уравнении теплопроводности может быть разделена на заметную и скрытую теплоту. Впоследствии часть тепла, соответствующая скрытой теплоте, представляется в виде внутренних тепловых источников, которые в уравнении энергии обозначены Q. Таким образом, можно записать:
, (2.2)
где L - удельная теплота кристаллизации.
Метод энтальпии предполагает, что имеется непрерывная функция, описывающая зависимость энтальпии от температуры. Наиболее применяемые варианты этого метода описаны в работах [87, 88, 89]. Применение всех разновидностей метода энтальпии основано на аппроксимации энтальпии между узловыми значениями сетки. Множество работ посвящено определению схемы численного дифференцирования энтальпии по температуре, что в данном методе является ключевым вопросом. Основные недостатки этого метода при его реализации с помощью метода конечных элементов, по данным работ [90, 91], следующие:
- не может быть корректно выполнено моделирование изотермического процесса кристаллизации;
- для реализации метода требуется очень малый шаг по времени при решении тепловых задач методом конечных элементов, это требует чрезмерного измельчения сетки конечных элементов.
Метод приведенной теплоемкости является наиболее простым и часто используемым при решении рассматриваемой задачи (одними из первых работ в этом направлении были [92, 93]), в том числе при ее решении методом конечных элементов. Воспользуемся им для решения задачи кристаллизации.
Модифицируем уравнение теплопроводности по методу приведенной теплоемкости. Поскольку в реальных ситуациях теплофизические свойства металлов зависят от температуры, вводим зависимость эффективной теплоемкости ceff(t) от температуры и модифицируем соответствующим образом уравнение (2.1):
, (2.3)
где ceff(t) - приведенная теплоемкость, которая может быть определена по следующему алгоритму:
(2.4)
где cf - теплоемкость сплава в температурном интервале кристаллизации, cf = fscs + (1 - fs) cL; tL - температура ликвидуса сплава; ts - температура солидуса сплава; L - удельная теплота кристаллизации сплава (Дж/кг), fs-доля твердой фазы в зоне частичной кристаллизации, cs - теплоемкость твердой фазы сплава, cL - теплоемкость жидкой фазы сплава.
Предлагаемый алгоритм решения задачи теплопроводности и кристаллизации непрерывного слитка основан на последовательности решений плоских задач, соответствующих прохождению сечения со скоростью разливки по металлургической длине МНЛЗ (см. рис. 2.1).
Рис. 2.1. К описанию решения задачи теплопроводности и кристаллизации
Рассмотрим подробнее основные положения модели тепловых процессов и кристаллизации.
Уравнение Фурье (2.3) для поперечного сечения заготовки имеет вид:
, (2.5)
где - время, -коэффициент теплопроводности, (Вт/мK) в зависимости от температуры t; - скорость генерирования тепла