РОЗДІЛ 2
МАТРИЧНИЙ МЕТОД РОЗРАХУНКУ ІОННО-ОПТИЧНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ІМЕРСІЙНОЇ ЗОНДОФОРМУЮЧОЇ СИСТЕМИ
Як уже згадувалося вище, імерсійна зондоформуюча система передбачає використання двох типів оптичних елементів: прискорювальної структури й квадрупольних лінз. Незважаючи на розходження цих двох елементів підходи, які будуть використані для аналізу їхніх іонно-оптичних властивостей, мають бути подібними, що дало б можливість провести аналіз властивостей всієї імерсійної зондоформуючої системи вцілому.
Використання матричних методів передбачає розрахунок матриць перетворення координат частинок, що описують зміну координат та кутів нахилу траєкторій частинок пучка під дією полів іонно-оптичних елементів. При цьому матриця перетворення всієї системи є добутком матриць її окремих елементів. Методи розрахунку іонно-оптичних властивостей квадрупольних лінз добре розвинені. Наприклад, у роботах [92, 93] наведена методика розрахунку матриці перетворення магнітних і електростатичних квадрупольних лінз із обліком нелінійності до третього порядку включно. Методи ж розрахунку оптичних властивостей прискорювальних структур, придатних для аналізу іонно-оптичних властивостей імерсійної зондоформуючої системи, розроблені недостатньо.
Це пов'язано, в основному, з відсутністю раніше необхідності у розгляді в прискорювальних структурах нелінійних ефектів динаміки пучка, обумовлених абераціями. Навпроти, у комбінованих імерсійних зондоформуючих системах нелінійні ефекти необхідно враховувати.
2.1. Нелінійна динаміка пучка частинок у прискорювальній структурі
Розглянемо вісесиметричну прискорювальну трубку. Така трубка буде створювати електростатичне поле з потенціалом u(x, y, z). Рівняння руху для деякої зарядженої частинки пучка в такому полі буде мати вигляд:
(2.1)
де - імпульс частинки,
- сила, що діє на частинку з боку електростатичного поля,
- напруженість електростатичного поля,
q - заряд частинки,
x, y, z - координати частинки.
Через те, що енергії, що будуть розглядатися (декілька МеВ), значно менше енергії покою частинок, що прискорюються, то, зневажаючи релятивістськими ефектами, можна записати:
(2.2)
де - вектор швидкості частинки,
t - час,
m - маса частинки.
Тоді перше рівняння виразу (2.1), якщо його розписати покоординатно, прийме вигляд:
(2.3)
Рівняння (2.3) - диференційні рівняння, що описують рух частинки в електростатичному полі в лабораторній декартовій системі координат. При цьому змінною, по якій проводиться диференціювання, є час t. У силу того, що поле не залежить від часу, ми маємо стаціонарний рух і можемо перейти від часової координати t до просторової z:
(2.4)
При цьому під штрихом варто розуміти диференціювання по z. Тоді
Слід зазначити, що , при цьому x? і y?- кути (у випадку, коли вони досить малі) між віссю Oz і проекціями вектора швидкості частинки на площині xOz і yOz відповідно. Перепишемо рівняння (2.3) з урахуванням (2.4):
(2.5)
Розв'язавши перші два рівняння (2.5) щодо старших похідних одержимо:
(2.6)
підставивши вираз для із третьої рівності (2.5) в (2.6) одержимо
(2.7)
Оскільки
то остаточно з (2.7) одержимо:
(2.8)
Таким чином, ми від диференційних рівнянь, що описують рух частинки пучка у звичайному просторі (x, y, z) перейшли до диференційних рівнянь (2.8), які описують рух у просторі координат і кутів (x, x?, y, y?). При цьому, якщо припустити, що вісь прискорювальної трубки збігається з віссю Oz нашої системи координат, то координати x і y характеризують поперечне відхилення частинок пучка від осі, а x? і y?- кути нахилу траєкторії до відповідних осей координат.
Крім просторових координат частинка характеризується й величиною своєї енергії або імпульсу. Якщо припустити, що початкові координати всіх частинок перебувають в області, де складові вектора напруженості поля Ex і Ey відсутні, тобто площина z0 є еквіпотенціальною, що виконується в переважній більшості іонно-оптичних пристроїв з достатньою точністю, то кінетична енергія частинки при її русі буде визначатися виразом:
(2.9)
де ? - початкове відхилення імпульсу частинки від його середнього значення,
p0 - початковий імпульс частинки,
- середній початковий імпульс частинок пучка,
K0 - середня початкова кінетична енергія частинок пучка.
Оскільки поле, яке створюється прискорювальною структурою вісесиметричне, то для його потенціалу можна записати вираз [94]
(2.10)
При цьому функція U(z) дорівнює потенціалу електростатичного поля на осі прискорювальної структури. Уведемо функцію , тоді вирази для проекцій вектора напруженості електростатичного поля будуть мати вигляд
(2.11)
З урахуванням (2.9) і (2.10), відкинувши члени xix?jyky?l? m, для яких i+j+k+l+m>3, квадрат імпульсу частинки буде визначатися виразом:
(2.12)
Оскільки при прискоренні пучка фазовий об'єм, який занятий частинками, зменшується пропорційно енергії, то для його збереження перейдемо від звичайного фазового простору (x, x?, y, y?) до нормованого (x1,x2, y1, y2) за допомогою співвідношень:
Тоді можна записати:
(2.13)
Скориставшись в (2.13) виразами для й з (2.8), одержимо систему рівнянь, що описує рух частинки пучка в нормованому просторі (x1, x2, y1, y2):
(2.14)
Підставимо в (2.14) залежність для p2 (2.12) і розкладемо отриманий вираз в ряд по x1, x2, y1, y2, ?, залишивши доданки не старше третього ступеня одержимо:
(2.15)
Рівняння (2.15) описують нелінійну динаміку руху пучка заряджених частинок у нормованому фазовому просторі, природно в деякому наближенні, пов'язаному з нехтуванням доданками старше третього порядку. Ці рівняння нелінійні щодо координат. Для переходу від нелінійних рівнянь до лінійних скористаємося процедурою занурення в простір фазових моментів. Суть цієї процедури полягає в переході від опису стану у звичайному просторі (x1, x2, y1, y2, ?) до опису в розширеному просторі - просторі фазових моментів. При цьому опис нелінійної динамік