РОЗДІЛ 2
ДИНАМІКА ТОЧКОВИХ ВИХОРІВ НА ПЛОЩИНІ
В даному розділі коротко представимо загальні рівняння, що описують рух системи точкових вихорів на необмеженій площині в нев'язкій рідині. Детальне викладення теорії точкових вихорів представлене в численних підручниках та монографіях [28,32,39-41,44,46,47,48,122]. Представимо перші інтеграли та основні властивості руху систем точкових вихорів. Наведемо теореми про кількість стаціонарних конфігурацій точкових вихорів.
Визначимо деякі поняття, які використовуються в області вихрової динаміки [4,5,10,-13,25,28,32,41,44]. Перш за все, вихровою швидкістю називають миттєву кутову швидкість нескінченно малої частинки рідини. Вихровою областю називають область, в кожній точці якої маємо вихрову швидкість.
В вихровій динаміці використовують поняття вихрової лінії - лінія, в кожній точці якої вектор вихрової швидкості та дотична до лінії співпадають. Можна ввести поняття вихрової нитки (або вихрової трубки) - частина рідини, що обмежена вихровими лініями, які проведені через всі точки нескінченно малого замкнутого контуру рідини.
Інтенсивністю (циркуляцією) вихору називають подвоєний добуток величини вихрової швидкості в довільній точці вихору на площу поперечного перетину вихрової нитки в цій точці.
2.1. Рівняння руху та перші інтеграли
В своїй роботі Гельмгольц (§5 [104]) розглянув випадки, коли обертання рідини сконцентроване в декількох прямолінійних вихрових нитках, розміщених на необмеженій площині паралельно осі з єдиною відмінною від нуля компонентою вектора завихрення . Зокрема, він розглянув взаємодію декількох нескінченно тонких паралельних вихрових ниток, кожна з яких має постійне граничне значення інтенсивності добутку поперечного перетину на величину . Це представляє відому модель точкових вихорів в ідеальній рідині, оскільки при взаємодії такі вихрові нитки залишаються завжди паралельними осі і загальний рух повністю описується положенням точок на площинах, перпендикулярних осі , зокрема, на площині .
Розглянемо рух прямолінійних вихрових ниток з інтенсивностями , розміщених в необмеженій ідеальній рідині, точки перетину яких з перпендикулярною до них площиною мають декартові координати . Кірхгофом (1876) було показано ([24], §20), що рівняння руху такої системи (яку називають системою точкових вихорів) можна записати у гамільтоновій формі
, (2.1)
де гамільтоніан
, (2.2)
співпадає з кінетичною енергією взаємодії вихорів з точністю до постійного множника. Крапка над змінними означає диференціювання по часу. В наведеному виразі (2.2) штрих при сумі означає виключення при сумуванні сингулярного доданку .
З теоретичної точки зору важливість цього результату полягає в тому, що система (2.1) являється гамільтоновою з парою канонічно спряжених змінних .Це означає, що фазовий простір співпадає з точністю до масштабу та орієнтації з реальними координатами точкових вихорів. Тому траєкторії в фазовому просторі являються траєкторіями вихорів в реальному просторі, який займає ідеальна рідина. В книзі [32] відмічено, що на цю аналогію для точкових вихорів вперше звернув увагу Л. Онзагер (1949), хоча загальна ідея про використання плоских течій ідеальної рідини при моделюванні фазового простору гамільтонових систем належить Д.Гіббсу (1982) [7,26,28,47,48].
В розгорнутому вигляді рівняння (2.1) записуються наступним чином:
. (2.3)
В полярних координатах рівняння руху системи N точкових вихорів мають вигляд:
; (2.4)
з гамільтоніаном
. (2.5)
В подальших дослідженнях під розв'язком системи будемо розуміти набір функцій , що задовольняють вихідній системі рівнянь (2.1) або (2.4) та відповідним початковим умовам. Під першим інтегралом розуміється функція , яка не залежить від часу і зберігає постійне значення для розв'язку .
Дослідження показали, що гамільтонова система рівнянь (2.1) має чотири незалежні перші інтеграли (інваріанти руху). Вперше їх представив Г.Кірхгоф ([24] §20) та встановив, що перші інтеграли пов'язані безпосередньо з незалежністю функцій від часу та її інваріантністю відносно паралельного переносу та повороту координат. В прийнятих вище позначеннях першими інтегралами динамічної системи (2.1) являються:
. (2.6)
Якщо перший інваріант виражає закон збереження кінетичної енергії руху системи точкових вихорів, тоді інваріанти та виражають з точністю до постійного множника закон збереження імпульсу вздовж осей та відповідно. Останній інваріант відображає закон збереження моменту імпульсу плоскої течії необмеженої рідини.
Інваріанти та при відмінному від нуля значенні сумарної інтенсивності дають можливість стверджувати, що частинка рідини з координатами
(2.7)
залишається нерухомою. Ця точка називається центром завихрення системи. Відмітимо окремо, що в частинному випадку, коли , центр завихрення лежить на нескінченності.
В полярній системі координат перші інваріанти руху мають вигляд:
(2.8)
разом з виразом (2.5).
На питання чи існують інші перші інтеграли системи (2.5), не пов'язані з вибором спеціальних початкових значень та системи координат відповідь була дана в роботі Е. Лаура (посилання на цю роботу можна знайти в [32]). Його дослідження показали, що представлені вище незалежні перші інтеграли в загальному випадку єдині.
Неважко також показати, що узагальнення повного моменту імпульсу для вихорів задовольняє співвідношенню:
Воно міститься у Пуанкаре [41] §4, як деяке узагальнення теореми про кінетичний момент в механіці. Величина називається повним вихровим моментом.
Введемо також позначення
,
яке виражає комплексний момент завихрення для системи точкових вихорів на комплексній площині .Відмітимо, що в цьому випадку комплексна координата центра завихрення буде мати вигляд .
2.2. Дужки Пуассона та інтеграли в інволюції
Для дослідження гамільтонових систем досить важливим виявляється використання дужок Пуассона [133]. У випадку системи (2.1) та прийнятих раніше позначень вони в