РАЗДЕЛ 2
ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ НЕУСТАНОВИВШИХСЯ КОЛЕБАНИЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛИТЫ НА УПРУГОМ ИНЕРЦИОННОМ ОСНОВАНИИ
2.1. Математическая модель вынужденных колебаний плиты на упругом однослойном основании
В настоящем разделе диссертационной работы изложено решение нестационарных задач, которые относятся к так называемым прямым и обратным задачам математической физики. Рассмотрим механическую систему, состоящую из прямоугольной плиты, которая лежит на упругом однослойном инерционном основании. Контакт между плитой и основанием является двухсторонним. Движение плиты моделируется классической теорией Кирхоффа-Лява, а основание - теорией Власова - Леоньтьева [14]. Плита вдоль своего граничного контура принимается шарнирно-опертой.
На рис. 2.1 изображена рассматриваемая механическая система - прямоугольная плита на однослойном основании, на которую воздействует в точке () сосредоточенная нагрузка .
Рис. 2.1. Схема рассматриваемой механической системы
Дифференциальным уравнением в частных производных
(2.1)где -цилиндрическая жесткость плиты,
-толщина плиты;
устанавливается зависимость между искомой поверхностью прогибов плиты и воздействующей на плиту внешней нагрузкой . Поскольку рассматриваемая плита находится на упругом основании, внешняя нагрузка состоит из заданных поверхностных сил и реактивных сил упругого основания [14]
(2.2) В случае, отвечающему схеме, изображенной на рис. 2.1, имеем
,(2.3)где - дельта-функции Дирака,
- изменение во времени сосредоточенной силы.
Величина реактивных сил должна быть определена с учетом инерционных сил, возникающих в упругом основании при его движении. Чтобы получить определяющее уравнение, описывающее деформирование плиты на упругом основании, кратко приведем соответствующую методику работы [14].
Для того, чтобы определить реакцию , необходимо выделить из упругого основания элементарный столбик с основанием и затем рассмотреть условия равновесия этого столбика, которые следует понимать в смысле принципа возможных перемещений Лагранжа[14].
Если предположить, что горизонтальные перемещения в упругом основании отсутствуют (они тождественно равны нулю), а вертикальные перемещения описываются только одной функцией , то
(2.4) Если учесть инерционные силы упругого основания, то обобщенные условия равновесия элементарного столбика запишутся в виде
(2.5)где -нагрузка, приложенная к поверхности упругого основания;
-величина массы единицы объёма упругого основания;
-объёмный вес материала основания;
- толщина сжимаемого слоя;
- ускорение свободного падения.
После подстановки в уравнение (2.5) выражений для нормальных и касательных напряжений упругого основания, которые определяются по известным формулам [14]
(2.6) получим следующее дифференциальное уравнение:
,(2.7)где
(2.8) и - характеристики упругого основания.
Величины и таковы:
,(2.9) Полученное уравнение (2.7) следует рассматривать в совокупности с уравнением (2.1). При этом необходимо учитывать, что прогибы плиты и осадки поверхности упругого основания, расположенного под плитой, совпадают.
Если исключить из уравнения (2.7) функцию , то получим уравнение вынужденных колебаний плиты на упругом однослойном основании. Форма записи указанного уравнения следующая:
(2.10)где
(2.11)где и -объемные веса соответственно материала плиты и упругого основания;
Более подробное определение используемых здесь величин приведено в [14].
Отметим, что величина , входящая в приведенные ранее формулы, может задаваться различными функциями. Например, в монографии [14] используется такая:
,(2.12)где - некоторый коэффициент, характеризующий быстроту убывания осадков на глубине основания.
2.2. Решение задачи о колебаниях плиты на основании под воздействием импульсной нагрузки
Решение уравнения (2.10) будем искать в виде двойного ряда Фурье
(2.13) Запишем уравнение (2.10) после подстановки в него функции в форме (2.13). В результате будем иметь
(2.14) Воспользуемся свойством ортогональности координатных функций, умножив каждое из слагаемых в уравнении (2.14) на произведение и проинтегрировав по области, занимаемой срединной плоскостью плиты.
После выполнения указанных операций получим
(2.15) Проинтегрировав правую часть уравнения и заменив величины и на и соответственно, а также умножив правую и левую часть на , запишем
(2.16)Если обозначить , а , то уравнение (2.16) можно записать в виде
(2.17) Для решения полученного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с начальными условиями общего вида
, (2.18)воспользуемся преобразованиями Лапласа [29].
Пусть изображение функции будет . Тогда изображение функции примет вид , а .
Запишем уравнение (2.17) в пространстве изображений
.(2.19)Из соотношения (2.19) можно найти изображение искомой функции
.(2.20) Зная изображение, находим оригинал искомой функции (2.20) в виде
(2.21) Решение задачи о вынужденных колебаниях прямоугольной плиты на упругом основании в случае воздействия на нее сосредоточенной силы будет представляться формулой
(2.22) Используя выражение (2.22), можно рассчитать прогиб прямоугольной пластины в предположении, что на неё в произвольной точке воздействует сосредоточенная нагрузка, временная составляющая которой описывается функцией .
Выполним численный расчёт плиты на упругом основании со следующими параметрами: размеры плиты в плане 0.6?0.6 м, толщина плиты 0.01 м, толщина основания 0.08 м, модуль упругости материала плиты 2•1011 Па, модуль упругости материала основания 1.53•107 Па, коэффициент Пуассона материала плиты 0.28, коэффициент Пуассона материала основания 0.5. Нагрузка приложена в центре плиты и изменяется во времени согласно функции Хевисайда; интенсивность нагрузки 105 Н.
Результаты численного расчёта приведены на рис. 2.2. На рис. 2.2,а показано изменение прогиба плиты в точке с координатами (0.2; 0.2) (толстая черная линия), и график