Раздел 2). Таким образом, соответственно, функция принадлежности конкретного вещественного значения параметра нечеткому множеству задается набором вложенных интервалов, которые характеризуют неопределенность параметра при определенном уровне доверия, соответствующем функции принадлежности (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Связь интервала и нечеткого множества.
Свойство монотонности вложенных интервалов позволяет использовать их для интервального представления функции принадлежности. Определение свойства монотонности состоит в следующем: интервал является подмножеством интервала , если нижняя граница не превышает нижнюю границу и верхняя граница не ниже верхней границы :
(3.6)
Ниже примером проиллюстрировано использование интервального анализа в рамках возможностного анализа усилий в балке, изгибаемой сосредоточенной нагрузкой (рис. 3.2, а), а также влияние условия монотонности интервалов на получение правильного результата.
Рис. 3.2. Условия задачи нахождения функции принадлежности максимального расчетного момента :
а) - расчетная схема балки;
б) - функция принадлежности параметра положения силы;
б) - эпюра моментов и рассчитываемый параметр .
Показанная на рис. 3.2 а) функция принадлежности относится к классу треугольных функций принадлежности и описывает неопределенное положение приложенной к элементу сосредоточенной силы. На рис. 3.2, б) показана эпюра рассчитываемого параметра при детерминированном случае . Расчет с учетом неопределенностей, представленных нечетким параметром , производится описанным выше методом прямого интервального анализа без контроля монотонности интервалов (см. рис. 3.3 а) и с контролем монотонности (см. рис. 3.3 б). Контроль монотонности (вложенности) интервалов реализуется назначением границ интервала отклика на -срезе с более низким значением функции принадлежности в соответствии с условием монотонности:
(3.7)
Рис. 3.3. Функция принадлежности расчетного момента и реализация контроля вложенности:
а) ? без контроля вложенности интервалов отклика,
б) ? с контролем вложенности интервалов отклика по условию (3.7).
Как показывают изображения функции принадлежности параметра на рис. 3.3, a) и б), контроль монотонности интервального решения задачи анализа нечетких исходных параметров позволяет получать точное решение в случае использования расчетной модели, в которой присутствует нелинейная зависимость между входными неопределенными параметрами расчетной модели и вычисляемым на базе этой расчетной модели результатом.
3.1.4. Интервальное расширение арифметических действий и функций. Можно составить следующее определение для четырех элементарных арифметических операций, которые являются интервальным расширением операций с вещественными числами [152, 157]. Множество операторов определяется для интервального исчисления универсальным правилом:
(3.8)
Следует отметить, что в общем случае любая расчетная модель конструкции или отдельного ее элемента, задаваемая аналитической зависимостью, системой уравнений либо конечно-элементной моделью, будет в качестве результата интервальные значения, если хотя бы один из ее аргументов является интервалом.
Рассмотрим расчетную модель в виде вещественной функции . В случае, если параметры данной модели содержат неопределенность в виде интервалов, ей может быть поставлена в соответствие интервальная функция , которая является в таком случае интервальным расширением функции [74]:
(3.9)
Собственно, интервальное расширение функции конструируется посредством замены каждого вещественного аргумента исходной функции на соответствующую интервальную переменную, а вещественных арифметических действий ? на соответствующие им интервальные операции и отношения [152].
Апробация концепции интервального расширения вещественных функций приведена ниже в данном разделе на примере аналитической модели определения расчетного момента в сечении железобетонного элемента, работающего по схеме изгибаемой балки.
3.1.5. Интервальные векторы и матрицы. При определении усилий и напряжений в расчетных моделях железобетонных конструкций в инженерной практике используется метод конечных элементов в форме стержневых систем и континуальных расчетных моделей. Таким образом, для интеграции интервального анализа в данные расчетные модели следует дать определение натуральным расширениям крайне часто используемых в численном анализе объектов ? вещественных векторов и матриц.
Интервальная матрица ? это матрица, элементы которой являются интервалами, и со значимой для цели данного исследования физической точки зрения трактуется как множество всех вещественных матриц с элементами при . означает пространство определения всех двумерных () вещественных матриц, ? пространство определения двумерных интервальных матриц. Такие свойства матрицы, как нижняя и верхняя границы, медиана и абсолютное значение матрицы определяются по ее компонентам.
Интервальная матрица размера является интервальным вектором на пространстве определения . На рис. 3.4 обозначен двумерный интервальный вектор называемый также интервальным прямоугольником.
Рис. 3.4. Двумерный интервальный вектор
Операторы над интервальными матрицами получают путем применения натурального расширения на соответствующие операторы матричной алгебры. Следует подчеркнуть, что, вследствие природы интервальной арифметики, некоторые алгебраические законы, действительные для операций с вещественными матрицами, действительны для интервальных матриц только в более слабой форме [136]. Алгебраические свойства интервальных матриц и операторов над ними исчерпывающе изложены в [136-138].
3.1.6. Проблема собственной зависимости. Рассмотрим интервальную зависимость вида с введением неопределенности в единственном параметре Продемонстрируем на данном примере проблему собственной зависимости:
(3.