РОЗДІЛ 2
ОБ’ЄКТ ДОСЛІДЖЕННЯ І МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СИСТЕМИ
В розділі 2 приведено математичну модель динаміки сумісного руху
нециліндричного резервуару з рідиною на основі варіаційного принципу
Гамільтона–Остроградського.
2.1. Варіаційне формулювання задачі про рух системи резервуар-рідина
Розглядається задача моделювання нелінійних коливань рідини з вільною поверхнею
в резервуарі, що має форму тіла обертання. Незбурена вільна поверхня є плоскою.
Розглядаємо стінки резервуара як абсолютно жорсткі. Припускається, що рідина є
ідеальною, однорідною, нестисливою і в початковий момент часу відсутній її
вихровий рух. Вважаємо, що вплив поверхневого натягу на коливання рідини
малий.
Рідина вважається ідеальною тому, що дослідження свідчать про те, що у
діапазоні зміни вісевих прискорень , наявність в’язкості у рідини проявляється
тільки у наявності дисипативних сил. Для резервуарів з гладкими стінками
дисипативні сили значно менше інерційних і не враховуються взагалі. Рідина веде
себе як ідеальна, за виключенням тонкого шару біля стінки баку.
Рідина вважається нестисливою бо максимальна швидкість коливань рідкого палива
менше швидкості звука на три порядки. А ефекти стисливості проявляються при
швидкості руху рідини порядку швидкості звука.
Клас задач, що розглядається, належить діапазону змін вісевих прискорень , тому
вплив поверхневого натягу незначний.
Власні частоти коливань рідини значно менше власних частот коливань бака як
пружної оболонки з рідиною, тому можна вважати стінки резервуара абсолютно
жорсткими.
Введені припущення значно спрощують постановку задачі, при цьому зберігається
її практичне значення. Такі припущення приймаються авторами більшості
теоретичних робіт по коливанням рідини.
В початковий момент часу рідина була безвихрова, тому враховуючи її
ідеальність, однорідність і нестисливість, випливає, що у всі наступні моменти
часу рух рідини буде потенційним. Тому вводимо функцію – потенціал швидкостей.
Для скалярної функції, що залежить від просторових координат і часу, із
рівняння нерозривності та умови нестисливості:
Отримуємо рівняння Лапласа:
У випадку потенціального руху головні рівняння гідродинаміки ідеальної рідини,
як відомо, мають перший інтеграл, який має вигляд:
де – гідродинамічний тиск; – масова густина рідини;
– потенціал сили тяжіння, що діє на одиницю маси;
– довільна функція часу.
Довільна функція часу у інтегралі Коши–Лагранжа може бути прирівняна нулю
[141].
в
Рівні значення атмосферного тиску и тиску на вільній поверхні дозволяють
отримати динамічну граничну умову на вільній поверхні:
на
Для знаходження розв’язку рівняння Лапласа, необхідно цей розв’язок
підпорядкувати граничним умовам. Із граничних умов розглянутої задачі
розрізнюють кінематичні і динамічні граничні умови. Кінематичні граничні умови
задаються значеннями нормальної швидкості на поверхні, що обмежує об’єм рідини
, інакше кажучи, значеннями нормальної похідної функції на границях області .
Під час виведення цих умов, припускається, що поверхня, яка відокремлює рідину
від іншого середовища, має таку властивість, що будь–яка частинка рідини, що
знаходиться на цій поверхні, на ній і залишається весь час руху.
Рівняння визначає незбурену вільну поверхню . Потенціал швидкостей можна
представити у вигляді:
– радіус-вектор довільної точки у зв’язаній системі координат. Перший член
виразу відповідає хвильовому руху, а другий – зв’язку хвильового руху рідини з
поступальним рухом резервуара. Рівняння вільної поверхні задаємо: або в
розв’язаному відносно вертикальної координати вигляді , швидкість рідини може
бути описана за допомогою потенціалу:
як відомо нормальна складова на твердій границі для ідеальної рідини дорівнює
нулю:
на
Зважаючи на те, що вектор є нормальним до поверхні ,
на
В випадку, коли можна розв’язати рівняння вільної поверхні рідини відносно
вертикальної координати
Крайова задача про рух ідеальної нестисливої рідини в рухомому резервуарі може
бути представлена таким чином:
в
на
на
на
Рис.2.1 Ілюстрація прийнятих позначень.
Математичне формулювання задачі динаміки системи “резервуар–рідина” з вільною
поверхнею є сукупністю кінематичних і динамічної граничних умов. Кінематичні
умови повинні розглядатися як механічні в'язі, які накладають обмеження на
варіації невідомих, при описі механічної системи на основі принципу
Гамільтона–Остроградського. При цьому динамічні граничні умови випливають з
варіаційного принципу Гамільтона–Остроградського як природні.
До кінематичних умов відносяться:
– вимога нерозривності потоку рідини в
в ,
– умова неперетікання на твердій межі контакту тіло–рідина
на
– умова неперетікання на вільній збуреній поверхні
на
Динамічна гранична умова
на
Рух описується в декартовій системі координат Oxyz, яка пов'язана з
резервуаром. – потенціал швидкостей рідини, – область, яку займає рідина, –
зовнішня нормаль до поверхні, – незбурена вільна поверхня рідини; – збурена
вільна поверхня рідини; – незбурена область, яку займає рідина; і – збурена і
незбурена змочені межі області ( – зміна поверхні контакту рідини, яка
викликана збуренням руху ), – рівняння вільної поверхні рідини, – потенціальна
енергія зовнішніх сил, що діють на рідину.
Складність розв’язування нелінійних крайових задач гідродинаміки обмеженого
об’єму рідини із вільною поверхнею полягає не тільки в тому, що крайові умови
на вільній поверхні нелінійні, але й тому, що вільна поверхня невідома і
область визначенн