Раздел 2. Математические проблемы предварительной обработки изображений
2.1.Общая схема предварительной обработки изображений
Суть обратных прикладных задач состоит в том, что по некоторой измеренной с
погрешностями функции (например, искаженному снимку в оптике), а также по
аппаратной функции А можно определить исходную (входную) функцию у (например,
неискаженный снимок в оптике) путем решения уравнения:
Ay = f (2.1)
относительно у, которое может быть интегральным уравнением (ИнУ),
дифференциальным уравнением, системой линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ), системой линейно-нелинейных уравнений (СЛНУ) и т.д. [54].
Это можно отобразить в виде двух схем (рис. 2.1 и 2.2).
Согласно технической схеме (рис.2.1), на вход измерительного устройства (ИзУ)
поступает входной процесс: полезный сигнал z + шум (помеха) dy из внешней
среды. Пройдя через ИзУ, характеризующееся аппаратной функцией (АФ),
совокупность сигнал + шум преобразуются в выходной сигнал (результат
измерений), например, сканирующую функцию , где df – аппаратная погрешность
измерений. Далее следует устройство обработки (УО), цель которого – получить –
результат обработки, по возможности близкий к процессу y = z + dy или даже к
сигналу z. Следует отметить, что помеха df – это мешающий фактор, с которым
нужно бороться, а dy в зависимости от некоторого критерия может относиться к
помехе, или к одной из компонент входного сигнала (последнее характерно для
адаптивных методов обработки) [64, 102, 107].
Кроме технической схемы измерений и обработки рассмотрим также соответствующую
ей математическую схему, которая с учетом введенных обозначений имеет вид,
показанный на рис.2.2. В математической схеме оператор измерительного
преобразования А (аналогичный аппаратной функции АФ) преобразует входной
сигнал + внешний шум в правую часть (выходной сигнал) , где – погрешность
правой части. Далее с помощью обратного оператора вычисляется приближенное
решение и цель математических методов и алгоритмов – построить такой обратный
оператор A–1, чтобы он давал хорошее приближение к процессу или даже к сигналу
z и при этом был устойчив по отношению к погрешностям [108].
Рис.2.1. Техническая схема измерения сигналов
Рис.2.2. Математическая схема измерения сигналов
Если технически А – это аппаратная функция (АФ) измерительного устройства, то
математически А – это интегральный, дифференциальный, алгебраический,
нелинейный и т.д. оператор.
Решение уравнения (2.1) позволяет, в принципе, выполнить редукцию (приведение)
результатов измерений к идеальному измерительному устройству (например, к
изображению без смаза и дефокусировки), причем выполнить это математически (с
использованием компьютера), что позволит использовать даже простое и недорогое
измерительное устройство. Сопряжение измерительного устройства с
вычислительным, обеспечивающим решение задачи редукции, равнозначно созданию
нового измерительного устройства с более высокой разрешающей способностью (по
углу, времени, частоте и т.д.). Еще более важным является случай, когда в силу
специфики задачи даже совершенное измерительное устройство (например, томограф)
не позволяет непосредственно (без математической обработки) получить искомую
функцию у.
Поэтому следует считать актуальным использование математической (и
компьютерной) обработки результатов измерений для определения входной
информации на измерительном устройстве или для редукции к более совершенному
измерительному устройству (в нашем случае – математико-компьютерная обработка
дефокусированных и смазанных снимков) [103].
Задача решения уравнения типа (2.1) является, как правило, некорректной
(сильно неустойчивой) и для эффективного ее решения нужно использовать
современные, устойчивые методы. Это – методы регуляризации Тихонова,
итеративной, статистической, локальной, дискриптивной регуляризации,
субоптимальной фильтрации, решения на компакте и др. – первая группа методов,
развитых советскими (российскими) учеными, а также методы оптимальной
фильтрации Калмана-Бьюси и Винера, методы управляемой линейной фильтрации
(Бэйкуса-Гильберта) и др. – вторая группа методов, развитых зарубежными
учеными [55, 59, 72, 80, 87, 91, 97].
Хотя методы второй группы являются в принципе более точными, но методы первой
группы (в первую очередь, метод регуляризации Тихонова) требуют гораздо меньше
дополнительной информации о решении и поэтому находят более широкое применение
при решении перечисленных выше, а также других обратных прикладных задач.
Рассмотрим задачу обработки искаженных изображений как одну из обратных задач
оптики [91, 92]. При этом под изображением будем подразумевать изображение
текста [58]. Будем полагать, что выполнена предварительная обработка
изображений, а именно, устранены царапины на снимке, подобрана его
контрастность и т.п. (операции, не требующие математической обработки).
Остановимся на наиболее трудной задаче – на обработке (восстановлении,
реконструкции) изображений, искаженных в результате смаза (сдвига, смещения) и
дефокусировки.
2.2. Восстановление смазанных изображений
Считаем, что сканируемый объект (для простоты полагаемый плоским) и
светочувствительный слой расположены параллельно апертуре линзы по разные
стороны от нее на расстояниях соответственно и от линзы, причем [92]:
, (2.2)
где – фокусное расстояние линзы и . В результате на фотопленке возникнет
перевернутое изображение (рис.2.3).
Введем в плоскости объекта прямоугольную систему координат . Возьмем на объекте
некоторую точку с интенсивностью излучения . Лучи, исходящие из нее и
- Київ+380960830922