РОЗДІЛ 2
ДОСЛІДЖЕННЯ ДИНАМІЧНИХ ПОХИБОК ЧАСОВОГО
ЗСУВУ У ВИМІРЮВАЛЬНИХ КАНАЛАХ
2.1. Розробка математичних моделей вимірювальних каналів для дослідження
динамічних похибок часового зсуву
Для визначення та дослідження динамічних похибок часового зсуву необхідна
наявність адекватних моделей вимірювальних каналів.
Моделями, придатними для дослідження ДПЧЗ, можуть бути:
модель широкосмугового однокаскадного вимірювального каналу - аперіодична ланка
1-го порядку з передатною характеристикою
, (2.1)
де - коефіцієнт передачі ланки,
- стала часу ланки;
модель вимірювального каналу з вибірними властивостями - коливальна ланка з
передатною характеристикою
, (2.2)
де - коефіцієнт згасання контуру,
модель обчислювача, АЦП, логічного елемента - ланка запізнення з передатною
характеристикою
, (2.3)
де - час запізнення.
Ускладнення моделі може бути здійснено збільшенням порядку ланки або
застосуванням ланок з різними сталими часу. В такому випадку вимірювальний
канал буде описуватися аперіодичною ланкою -го порядку з однаковими сталими
часу
, (2.4)
де - кількість ланок, або ланкою другого (-го) порядку з різними сталими часу
. (2.5)
В сучасних вимірювальних каналах широке застосування знаходить зворотний
зв'язок (ЗЗ), який використовується в системах АРП, АПЧ, ФАПЧ, вимірювальних
приладах компенсаційного типу [63]. Наявність від’ємного зворотного зв’язку
(ВЗЗ) викликає зміну характеристик каналу та процесу усталення сигналу і
необхідність дослідження ДПЧЗ у таких вимірювальних каналах [78-80].
Моделлю такого вимірювального каналу можна вважати аперіодичну ланку з колом
ВЗЗ, передатна характеристика якої визначається з виразу:
, (2.6)
де – коефіцієнт передачі ланки без зворотного зв’язку,
– коефіцієнт передачі ланки зворотного зв’язку.
Структура моделі вимірювального каналу зі зворотним зв'язком зображена на
рис.2.1, де - передатна характеристика моделі широкосмугового однокаскадного
вимірювального каналу.
Рис. 2.1. Структура моделі вимірювального каналу
зі зворотним зв'язком
Для визначення динамічної похибки часового зсуву, час , який визначає положення
характерних точок сигналу у вимірювальному каналі подамо у вигляді
, (2.7)
де - часове положення характерних точок вхідного сигналу, наприклад
максимального, мінімального або нульового його значення; – стаціонарна складова
часового зсуву, яка вноситься вимірювальним каналом у стаціонарному режимі; –
нестаціонарна складова, яка вноситься вимірювальним каналом за рахунок
нестаціонарних процесів.
Метою дослідження є аналіз складової , що дасть змогу визначити похибку
фіксації часового положення характерних точок сигналу, та сформулювати вимоги
до вимірювального каналу, які дозволять мінімізувати цю похибку.
Нестаціонарна складова часового зсуву, у подальшому динамічна похибка часового
зсуву, може бути визначена на підставі аналізу аргументу комплексної функції .
При дослідженні нестаціонарних процесів, як правило, найбільш зручним є
оперування з „аналітичним сигналом” [2]. Тоді, скориставшись символічним
записом
вхідний сигнал будемо розглядати як гармонійне коливання, що вмикається в
момент часу , і подамо його у вигляді аналітичного сигналу:
, при ,
, при , (2.8)
де – відповідно амплітуда, частота і початкова фаза вхідного сигналу.
Дійсна і уявна частини аналітичного сигналу (2.8) пов’язані між собою
перетворенням Гільберта і тому модуль та аргумент його відповідно будуть
відповідати виразам:
. (2.9)
Зображенням функції, яка описує вхідний сигнал (2.8), буде дробово-раціональна
функція з дійсними коефіцієнтами, яку можна записати у вигляді [79, 80]:
, (2.10)
де – полюс функції .
Для визначення реакції лінійної ланки на вхідний сигнал використаємо
операційне числення. При цьому відображенням лінійного диференційного рівняння,
яке описує поведінку досліджуваної ланки першого порядку на вхідний сигнал, в
просторі зображень буде алгебраїчне рівняння виду:
, (2.11)
де - зображення передатної характеристики каналу,
- зображення вхідного сигналу.
2.2. Дослідження динамічної похибки часового зсуву аперіодичного вимірювального
каналу
2.2.1. Аналіз ДПЧЗ широкосмугового однокаскадного вимірювального каналу
Передатна характеристика широкосмугового однокаскадного вимірювального каналу в
операторному вигляді визначається співвідношенням (2.1), а в комплексному
вигляді виразом:
(2.12)
де - коефіцієнт передачі ланки,
- стала часу ланки.
Підставивши функції (2.1) і (2.10) у вираз (2.11), отримаємо співвідношення для
зображення сигналу на виході моделі широкосмугового однокаскадного
вимірювального каналу
. (2.13)
Знайдемо полюси виразу (2.13), які будуть визначатися, як корені рівняння
тоді
Використавши загальну форму теореми розкладання для випадку простих коренів
[42], знаходимо оригінал сигналу на виході моделі широкосмугового
однокаскадного вимірювального каналу у вигляді суми лишків
, (2.14)
де ;
.
Похідна знаменника функції (2.13) буде мати вигляд
або, підставивши значення полюсів
Тоді
. (2.15)
Помножимо чисельник і знаменник виразу (2.15) на число , комплексно спряжене
знаменнику, отримаємо:
. (2.16)
Врахувавши, що , вираз (2.16) запишемо у вигляді
або
- Київ+380960830922