РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА І ДОСЛІДЖЕННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ПРОЦЕСУ КОНТАКТНОЇ МЕМБРАННОЇ
ДИСТИЛЯЦІЇ
Створення математичної моделі об’єкту керування є першочерговою задачею, яку
доводиться вирішувати при розробці системи керування процесом КМД.
Передбачаються такі задачі використання математичного опису процесу КМД: пошук
оптимальних технологічних режимів роботи з використанням математичної моделі
при оперативному керуванні процесом і на стадії проектування, розробка
алгоритмів керування процесом – висувають вимоги до адекватності моделі
реальному об’єкту і складності отриманого рішення. Для вирішення різних задач
можуть бути побудовані різні математичні опису процесу КМД і зрозуміло, що
адекватність математичних моделей також різна і залежить як від конкретної
задачі, так і від степені вивченості процесу. Складний характер процесу
розділення розчинів за допомогою мембранної дистиляції, його недостатня
вивченість обумовили те, що повний математичний опис процесу являє собою
складну задачу. В зв’язку з цим при побудові математичної моделі доводиться
враховувати тільки ті змінні, які мають домінуючий вплив на вихідні параметри
процесу.
Спрощення характеру явищ в об’єкті призведе до зниження адекватності
математичної моделі, в той час як розвиток засобів обчислювальної техніки
дозволить отримати досить точні керуючі впливи. Тому необхідно знайти
компромісне рішення математичного опису, щоб отримана математична модель давала
можливість вирішити конкретну задачу керування, правильно відображаючи
взаємозв’язок параметрів, що входять до опису процесів.
2.1. Математичний опис процесу концентрування розчину методом контактної
мембранної дистиляції з урахуванням концентраційної і температурної
поляризації.
Реалізується два підходи до моделювання процесу КМД [34]. Перший підхід є
емпіричним, і основується на використанні виразів для продуктивності і
селективності, що отримані при узагальнені експериментального матеріалу.
Недоліками цього підходу є недостатньо широка область застосування емпіричних
виразів, що використовуються у моделі та їх недостатнє теоретичне
обґрунтування. Інший підхід є феноменологічним і основується на наближених
аналітичних рішеннях рівнянь тепломасопереносу, що отримані при припущеннях,
які істотно спрощують розрахунки. Однак інколи ці припущення приводять до
значних помилок і не дозволяють точно встановити фізико-хімічні основи
мембранної дистиляції.
Модель «запиленого газу» [15, 34] є однією з найбільш повних напівемпіричних
моделей течії газових сумішей через поруваті матеріали, і на сьогоднішній день
вона досягла достатнього ступеня розвитку і застосовується в інженерних і
наукових розрахунках. Модель запиленого газу передбачає представлення мембрани
у вигляді нерухомих часток пилу, певним чином розташованих у просторі і
розглядається таким же компонентом газової суміші, як і інші зі своїм
парціальним тиском та молекулярною масою. Припущено, що газова суміш разом з
пиловидним компонентом підпорядкована молекулярно-кінетичним обмеженням, що
відображають специфіку пилоподібного компоненту.
Модель «запиленого газу» дозволяє врахувати наступні механізми масопереносу
пари в мембрані. Вільномолекулярна (кнудсенівська) течія реалізуються при малих
значеннях щільності пари, тому частотою зіткнень між молекулами у порівнянні з
частотою їх зіткнень з поверхнями каналів можна знехтувати. В’язка течія
(конвективне перенесення) передбачає рух пари як щільного середовища під дією
градієнта тиску і міжмолекулярні зіткнення переважають над зіткненнями молекул
з поверхнею. При дифузії в режимі щільного середовища окремі компоненти суміші
перемішуються відносно один одного під дією градієнта концентрації.
Міжмолекулярні зіткнення відбуваються частіше зіткнень молекул зі стінками
капілярів.
Рушійною силою процесу КМД є різниця парціальних тисків парів розчинника у
повітрі над менісками рідини по різні боки пори мембрани. Парціальний тиск у
свою чергу залежить від температури відповідного потоку та компонентного складу
розчину. Тому необхідно враховувати як розподіл концентрацій компонентів, так і
температурне поле у каналах розчину і дистиляту. Мембранна дистиляція
супроводжується теплопереносом між потоками. Теплопереніс здійснюється у три
стадії: перенесення тепла від ядра потоку розчину до поверхні мембрани,
передача тепла через мембрану, перенесення тепла від приймаючої поверхні
мембрани до ядра потоку дистиляту. Внаслідок теплопровідності температура
розчину у примембранному шарі відрізняється від температури у ядрі потоку, що
обумовлено температурною поляризацією.
Таким чином для елементарного об’єму розчину (рис. 2.1) з урахуванням конвекції
і одночасно теплопровідності у поперечному напрямку каналів складені рівняння
динаміки [35]:
Рис. 2.1. Схема елементарного об’єму в мембранному модулі:
Р – розчин, Д – дистилят.
, (2.1)
, ,
де qР – температура розчину, К;
UР, VР – відповідно швидкості розчину у подовжньому і поперечному напрямках,
м/с;
aР – коефіцієнт температуропровідності розчину, м2/с.
З урахуванням передачі тепла через мембрану граничні умови на поверхні мембрани
з боку гарячого розчину можна записати:
, (2.2)
де aР – коефіцієнт тепловіддачі від гарячого розчину до поверхні мембрани,
Вт/(м2 К);
lР – коефіцієнт теплопровідності розчину, Вт/(м К);
q1 – температура поверхні мембрани з боку розчину, К; lP – висота каналу
розчину, м.
За аналогією з рівнянням (2.1) з урахуванням розподілу температури дистилят
- Київ+380960830922