РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ, РЕАЛИЗУЮЩИХСЯ В ЗОНЕ
ШВА ПРИ УЗС
ПОЛИМЕРОВ
2.1. Термодинамическая теория вязкоупругого поведения
полимерных материалов
В настоящем параграфе на основе термодинамики необратимых процессов дан вывод
общих определяющих уравнений вязкоупругих сред с учетом структурных превращений
и зависимости свойств материала от температурной и деформационной истории.
Пусть за время t частица переместилась из точки в точку . Тогда движение тела
определяется уравнением
(2.1)
где – вектор перемещений.
Для тензора инфинитезимальной деформации имеем
(2.2)
причем - набла-оператор, а означает транспонирование.
Уравнение баланса энергии, а также второй закон термодинамики в виде
неравенств Планка и Фурье принимаем в локальной форме [49].
(2.3)
, . (2.4)
Здесь r – источник тепла на единицу объема; - вектор теплового потока; u-
внутренняя энергия; - абсолютная температура; - энтропия; - тензор напряжений;
; - свободная энергия Гельмгольца, ; - градиент температуры; .
Обозначим через ) набор внутренних переменных, отвечающих за структурные
изменения в материале.
Прошлую историю величин , и в точке х определим как
, , ,
а их текущие значения обозначим как и .
Согласно термодинамической теории простых сред с затухающей памятью поведение
материала полностью определяется заданием функционала свободной энергии,
уравнениями эволюции для внутренних переменных и уравнением для теплового
потока.
Модель физически линейного изотропного термореологически простого
вязкоупругого материала определяется следующей системой определяющих
уравнений:
, (2.5)
, (2.6)
, (2.7)
, (2.8)
, (2.9)
. (2.10)
Здесь K и G – функции объемной и сдвиговой релаксации, причем
, ,
- т.н. приведенное время, которое в соответствие с принципом
температурно-структурно-временной аналогии представляется в виде
, (2.11)
где - коэффициент сдвига, удовлетворяющий соотношениям
, , ;
- функция общей линейной усадки
;
и - коэффициенты линейного теплового расширения и химической усадки; и -
девиаторы и следы тензоров напряжения и деформации , , , ,
I – единичный тензор.
Уравнение для теплового потока принимается в виде закона Фурье
, где k - коэффициент теплопроводности .
С учетом (2.3), (2.5) – (2.9) получаем уравнение энергии
Здесь с – теплоемкость, , - скрытая теплота фазовых переходов по q - му
механизму, .
Рассмотрим возможности полученной модели с точки зрения имеющихся
экспериментальных данных по вопросам стеклования и кристаллизации.
Известно [78,79], что стеклование является кинетическим релаксационным
процессом и подразделяется на структурное и механическое и в рамках одномодовой
теории описывается уравнением Волькенштейна-Птицина:
где - доля кинетических единиц, находящихся в возбужденном состоянии, -
равновесное значение ; - время релаксации. Механическое стеклование обусловлено
наличием механических усилий и деформаций. Для его моделирования обязателен
учет деформационных факторов в уравнении (2.10).
Главными фазовыми переходами в полимерах являются кристаллизация (в процессе
охлаждения) и плавление (в процесс нагревания). В частично-кристаллических
полимерах кристаллизация происходит при охлаждении между температурами
кристаллизации и стеклования (см. разд.1). Моделирование этого процесса имеет
важное значение при УЗС термопластов вследствие его влияния на остаточные
напряжения в шве.
Типичные результаты показаны на рис.2.1. Видно, что упругий модуль Е полимера
возрастает с уменьшением температуры и увеличением объемного содержания
кристаллитов [52]. При этом отметим, что по данным работы [14] объемная усадка
частично-кристаллических полимеров может достигать 25%, тогда как в аморфных
полимерах она составляет 2 – 3%.
Современные представления о кинетике кристаллизации отражены в дуальной модели
Велисариса-Сефериса, обобщающей известную модель Колмогорова-Аврами.
Окончательные выражения, полученные после интегрирования соответствующих
уравнений эволюции, имеют вид
Здесь - объемная доля кристалличности; - равновесное значение .
+=1
,
.
Здесь – температура плавления кристаллитов для дуальных механизмов ; -
температура стеклования; - показатели Аврами для дуальных механизмов ; -
постоянные модели .
Для учета экспериментально наблюдаемого эффекта зависимости температур
кристаллизации от скорости охлаждения в список аргументов функции F в (2.10)
необходимо включить либо скорость , либо в предысторию температуры. В первом
случае материал уже не является термомеханически простым и для построения
адекватной модели требуется иной термодинамический подход. Второй случай
укладывается в использованную схему, но правая часть F в уравнении (2.10)
преобразуется в функционал предыстории .
При температуре выше необходимо учитывать вязкоупругое поведение материалов.
Модель термореологически простого материала отве