РАЗДЕЛ 2
МЕСТНАЯ ПОТЕРЯ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ ПРИ НЕОДНОРОДНОМ ДОКРИТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ
(ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА)
2.1. Общий метод решения задачи о местной потере устойчивости
Рассмотрим общий метод решения задач о местной потере устойчивости тонкостенных стержней открытого поперечного сечения (рис.2.1) при различных случаях нагружения (центральное и внецентренное сжатие, сжатие с изгибом, чистый изгиб).
При произвольном приложении нагрузки в элементах тонкостенного стержня возникает неоднородное напряженное состояние, характеризующееся переменными напряжениями по сечению. В этом случае известные решения задачи о местной потере устойчивости центрально сжатых стержней являются недостаточными, и возникает необходимость разработки более общего подхода. В общем случае поперечного сечения стержня (рис.2.2) предлагается элементы - пластины, составляющие профиль поперечного сечения, разбить на продольные полосы, в пределах которых напряжения по ширине полосы bп считаются постоянными. Задача устойчивости для совокупного сечения рассматривается с использованием решений для каждой из пластин с учетом эксцентриситета приложения нагрузки и условий сопряжения отдельных пластин.
2.1.1. Матрица жесткости для отдельной полосы. Рассматривая каждую из полос, на которые разбиваются элементы профиля, как пластину с постоянными по ширине напряжениями, запишем дифференци-альное уравнение устойчивости (в местной системе координат, рис.2.3) в виде:
, (2.1)
где w - нормальный прогиб; D = E t 3/12 (1 - ? 2) - цилиндрическая жесткость; ?x - продольные напряжения (положительные при сжатии); t - толщина элемента; Е - модуль упругости материала; ? - коэффициент Пуассона; , Е? - касательный модуль упругости.
Уравнение (2.1), предложенное Ф.Блейхом [5], является простейшим обобщением известного уравнения устойчивости на упруго-пластическую область, в котором учтены различные эффективные модули упругости в двух направлениях.
Введем безразмерные параметры - W = w / t , ? = y / L , ? = x / L (L - длина стержня) и запишем решение уравнения (2.1) в виде:
W = W (?) sin ?? , (2.2)
где W (?) - функция прогиба w в направлении оси y, подлежащая определению; ? = m?? , m - число продольных полуволн выпучивания в направлении оси х (для коротковолновых местных форм граничные условия на нагруженных краях, как правило, не существенны).
Подставив решение (2.2) в (2.1) и исключив sin ?? , перейдем к обыкновенному дифференциальному уравнению четвертого порядка относительно W(?)
(2.3)
(отметим, что ).
Составим характеристическое уравнение
,
корни которого ; . Здесь ?kp обозначает неизвестное критическое напряжение, при котором происходит выпучивание пластинчатого элемента.
Интеграл уравнения (2.3) запишем в виде:
, (2.4)
(где - постоянные интегрирования) и получим общее решение уравнения (2.1)
. (2.5)
Если , корни уравнения (2.3) будут мнимыми. В этом случае введем и соответствующие гиперболические функции в решении (2.5) заменим на тригонометрические
.
Выражения для изгибающего момента и поперечной силы в поперечном направлении для полосы-пластины имеют вид (положительные направления, см. рис. 2.3):
. (2.6)
C учетом принятых обозначений запишем производные прогиба в безразмерном виде
- обозначает дифференцирование.
Выражения для изгибающего момента и поперечной силы в безразмерных обозначениях
Введем обозначения M*=M(?)/(EL?) и Q*=Q(?)/(E?) (здесь ) и запишем функции перемещений и усилий в поперечном направлении в матричном виде (индекс "Т" обозначает транспонирование):
, (2.7)
где
(, i = 1, 2) .
В случае ? = 0 (для края "1" полосы, рис. 2.3) выражение (2.7) имеет вид
. (2.8)
Выразим значения постоянных Сi через перемещения и усилия на крае "1" (здесь и далее верхний индекс в скобках - номер края пластины):
Введем постоянные Сi в (2.7) и получим выражения для усилий и перемещений в любой точке полосы через перемещения и усилия на крае "1".
Запишем в матричном виде
, (2.9)
где S =(W; W? ; M*; Q*)T - вектор состояния в безразмерном виде;
[Gп(?)] = {gij} - матрица размера (4х4) с элементами:
В частном случае ? = ?2 = bп /L (для края "2" полосы) выражение (2.9) имеет вид
. (2.10)
2.1.2. Характеристическое уравнение и критические напряжения для совокупного сечения. Для удобства формулирования условий сопряжения смежных пластин и составления характеристических уравнений местные оси координат пластинчатых элементов профиля и положительные направления внутренних усилий принимались строго согласно рис.2.3. В этом случае условиями сопряжения соседних пластин профиля являются:
а) равенство углов поворота смежных пластин по линиям контакта;
б) равенство нулю алгебраической суммы изгибающих моментов по линиям контакта.
Следовательно, для того, чтобы составить характеристическое уравнение для совокупного сечения необходимо иметь зависимости, связывающие изгибающие моменты и углы поворота на краях, по которым соединяются пластины.
Последовательным перемножением матриц [Gп] для всех полос, составляющих элемент профиля - пластину, получаем матрицу жесткости пластины [G], связывающую значения вектора [S] на краях пластины
. (2.11)
Условия сопряжения по линиям контакта двух (или нескольких) смежных пластин удобно формулировать, выразив силовые факторы на ненагруженных краях каждого из элементов через перемещения и углы поворота. С этой целью разобьем матрицу размера (4х4) на подматрицы размера (2х2) - .
Используя (2.11)