РАЗДЕЛ 2
ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДОВ АНАЛИТИЧЕСКОГО КОНСТРУИРОВАНИЯ РЕГУЛЯТОРОВ С ЗАДАННЫ КАЧЕСТВОМ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В общем случае задание множества решений - интегрального многообразия для управляемой динамической системы, которое обеспечило бы выполнение всех показателей качества переходных процессов, представляется весьма трудно алгоритмизуемым, потому что предполагаемая возможность такого его задания или определения равносильно непосредственному решению задачи синтеза регулятора. В постановке задач синтеза регуляторов на основе различных методов вариационного исчисления и в частности при применении принципа оптимальности Беллмана [ 3 ] эквивалентным заданию интегрального многообразия является задание минимизируемого функционала. Точные формальные вариационные постановки задач синтеза регуляторов не дают ответа на вопрос о том, как выбирать минимизируемый функционал, чтобы в итоге получить регулятор с заданным качеством переходных процессов. Поэтому актуальным представляется наряду с заданием функционала в традиционном смысле, использование дополнительных ограничений, которые бы позволили реализовать требования заданного качества.
Далее рассмотрим два способа введения дополнительных ограничений, гарантирующих заданное качество переходных процессов, основанных на задании дополнительного вспомогательного уравнения - носителя заданного качества - для вспомогательной функции фазовых координат. Затем приведем вывод уравнения Беллмана при условии зависимости подынтегрального выражения функционала от функции минимального значения функционала и покажем, что данная постановка задачи не противоречит принципу оптимальности. Физическую естественность постановки задачи проиллюстрируем выводом из измененного принципа оптимальности как вариационного принципа квантовомеханического уравнения Шредингера.
2.1. Вывод в общем виде уравнений для регулятора с заданным качеством переходных процессов при расширении функционала с помощью уравнения связи для вспомогательной функции.
Пусть управляемый динамический объект описывается следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений :
, (2.1)
где : X - n - мерный вектор фазовых координат, вектор состояния
системы ;
u - m - мерный вектор управляющих воздействий, вектор
управлений ;
t - независимая переменная - время ;
F - вектор правых частей, удовлетворяющий требованию гладкости
и дифференцируемости по фазовым координатам и времени.
Пусть далее искомый регулятор должен минимизировать заданный функционал
, (2.2)
где - искомый регулятор.
Одновременно с минимизируемым функционалом также зададим вспомогательное уравнение порядка r для вспомогательной функции
, (2.3)
и при этом вспомогательную функцию, поведение которой во времени ограничивается вспомогательным дифференциальным уравнением (2.3), будем считать пока неизвестной функцией времени и фазовых координат :
. (2.4)
Далее будем вспомогательной функции придавать смысл функции Ляпунова-Беллмана, и исходя из этой дополнительной посылки построим в итоге уравнение, которому должна удовлетворять вспомогательная функция как функция времени и фазовых координат.
Минимизируемый исходный функционал обычно выбирается в виде положительно определенной функции. Мы ставим задачу ввести в него ограничение (2.3) на поведение вспомогательной функции таким образом, чтобы на результат минимизации влияло не только основное содержание исходного функционала (2.2), но и ограничение поведения вспомогательной функции. Эту задачу будем решать путем расширения исходного функционала, для чего в случае его положительной определенности дополним его подинтегральное выражение слагаемым, которое сконструируем используя вспомогательное уравнение.
Используем уравнение (2.3) как уравнение связи и построим расширенный функционал, учитывающий связь (2.3) в виде штрафной функции :
, (2.5)
где ? выполняет роль весового коэффициента, учитывающего соотношение вкладов в основного функционала и дополнительной связи. В (2.5) штрафная функция ? может определяться различными способами, например она может быть равна модулю функции ?0 , что гарантированно сохраняет положительную определенность расширенного функционала , или может совпадать с ней.
Для расширенного функционала (2.5) запишем уравнение Беллмана :
.
(2.6)
В уравнении (2.6) производные по времени от вспомогательной функции могут быть определены в силу исследуемой системы. При такой подстановке уравнение (2.6) можно решить относительно вспомогательной функции и определить управление, задав общий вид вспомогательной функции и сведя ее нахождение к решению алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений.
Введем сопряженный фазовому вектору X вектор переменных , который определим как градиент вспомогательной функции :
. (2.7)
С учетом определения (2.7) построим расширенную функцию Гамильтона :
. (2.8)
Из определения сопряженного вектора (2.7) путем разделения переменных и интегрирования получим соотношение
- Київ+380960830922