Ви є тут

Агрегатний багаторівневий метод розв'язування скінченноелементних задач будівельної механіки

Автор: 
Фіалко Сергій Юрійович
Тип роботи: 
Дис. докт. наук
Рік: 
2004
Артикул:
0504U000222
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РАЗДЕЛ 2
РАСЧЕТНЫЕ МОДЕЛИ И ТИПЫ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В данной главе представлены типы расчетных моделей и типы конечных элементов, для которых агрегатное многоуровневое предобуславливание доведено до уровня использования в МКЭ программах массового применения.
Огромный вклад в развитие метода конечных элементов сделан в [5 ? 8, 131 ? 141] и др. В этих работах изложены основы метода, формулировки матриц жесткости различных конечных элементов и используемые аппроксимации. Под формулировкой мы понимаем те гипотезы, допущения, теоремы и разрешающие соотношения строительной механики и механики деформируемого твердого тела, на основании которых получены матрицы жесткости соответствующих конечных элементов и векторы узловых реакций.
В работе рассматриваются пространственные расчетные модели, имеющие 6 степеней свободы в узле: 3 перемещения () и 3 угла поворота () - рис. 2.1.
Кроме того, представленные здесь методы успешно работают и на плоских расчетных моделях, имеющих 3 степени свободы в узле: 2 перемещения и один угол поворота. Однако плоские расчетные модели редко приводят к системам уравнений высокого порядка, требующих применения итерационных методов. Поэтому главным объектом исследования является 3-D МКЭ модель, представленная на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Пространственная расчетная схема, имеющая 6 степеней свободы в узле
В строительной механике и механике деформируемого твердого тела возможно построение расчетных моделей, которые содержат более 6 степеней свободы в узле. Например, использование уточненных теорий изгиба пластин и оболочек, как однородных, так и многослойных [135], порождает такие модели. Агрегатный подход, лежащий в основе данной работы, построен на объединении групп смежных узлов в жесткие диски. Следовательно, этот метод может быть применен и к расчетным моделям, имеющим любое количество степеней свободы в узле. Однако в данной работе представлены только те типы расчетных моделей и те типы конечных элементов, для которых разработанный здесь метод прошел обширное тестирование многочисленными пользователями из разных стран мира в течение последних 6 лет.

2.1. Стержневые конечные элементы
Двухузловой конечный элемент пространственной фермы, имеющий 3 степени свободы в узле (). Учитывается его работа только на растяжение-сжатие.
Двухузловой конечный элемент пространственной рамы, имеющий 6 степеней свободы в узле (,). Учитывается растяжение-сжатие, изгиб в двух плоскостях и кручение. Формулировка: теория стержней Кирхгофа-Клебша [96, 131, 142].

2.2. Оболочечные конечные элементы
3-х и 4-х узловые плоские конечные элементы, имеющие как 5 (, - перемещения и углы поворота в локальной системе координат конечного элемента), так и 6 (,) степеней свободы в узле. Формулировка - суперпозиция плоского напряженного состояния и изгиба, описываемого как теорией изгиба Кирхгофа-Лява (тонкие оболочки), так и теорией Мидлина-Рейсснера (оболочки средней толщины) [5 - 8, 142].
Известно, что плоский оболочечный элемент имеет нулевую жесткость по направлению степени свободы (так называемый drilling rotation [8]). При использовании конечных элементов для тонких оболочек для того, чтобы регуляризовать систему разрешающих уравнений, применяется малая фиктивная жесткость [5] (библиотека конечных элементов программы SCAD). В программе Robot разработаны конечные элементы, основанные на теории изгиба Мидлина-Рейсснера. Проблема нулевой жесткости решается добавлением функций формы, обогащающих аппроксимацию плоского напряженного состояния и "подключенных" к степени свободы . Такие конечные элементы лучше обусловлены и имеют лучшую сходимость по сравнению с традиционными плоскими оболочечными элементами.
6-ти и 8-ми узловые оболочечные элементы серендипового типа, как плоские, так и изопараметрические, имеющие как 5, так и 6 степеней свободы в узле. Формулировка - суперпозиция плоского напряженного состояния и изгиба, описываемого как теорией изгиба Кирхгофа-Лява (тонкие оболочки), так и теорией Мидлина-Рейсснера (оболочки средней толщины). И в программе SCAD, и в программе Robot проблема нулевой жесткости решается введением малой фиктивной жесткости.

2.3. Объемные конечные элементы
Тетраэдры, 6-ти и 8-ми узловые изопараметрические конечные элементы, имеющие 3 степени свободы в узле () Формулировка: линейная теория упругости.
2.4. Конечные элементы специального назначения
В современных расчетных моделях часто используются такие конечные элементы, как упругие опоры, жесткие связи и совместимые узлы.
Упругая опора - это просто пружины по каждому из направлений либо глобальной системы координат, либо локальной системы координат в данном узле [1, 2].
Жесткая связь охватывает два узла конечно-элементной модели, причем один из узлов объявляется ведущим (master), а второй узел - ведомым (slave). Разрешающие уравнения метода конечных элементов (для формулировки МКЭ в терминах перемещений - уравнения равновесия) остаются только для узла master, а неизвестные перемещения узла slave выражаются через перемещения узла master на основании теорем кинематики твердого тела [143]. Данная процедура полностью аналогична процедуре наложения жестких связей при построении агрегатной модели, приведенной в разделе 3.
Совместимый узел (compatible node) - это два узла, имеющие одинаковые координаты. К первому узлу примыкает одна группа конечных элементов, а ко второму - другая. Совместимый узел позволяет моделировать шарнирные соединения любых типов, причем объединять перемещения по выбранным степеням свободы как жестко, так и через упругие связи (упругая совместимость). Если объединить все перемещения совместимого узла жестко, то получим попросту слияние двух узлов.
На рис. 2.2 и 2.3 приведены примеры жестких связей.

Рис. 2.2. Жесткая связь увеличивает расчетную длину стержня при расчете на устойчивость
Рис. 2.3. Жесткие связи превращают перек