РАЗДЕЛ 2
МЕТОДИКА АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО РАСЧЁТА КРЫЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ, ИСПЫТЫВАЮЩЕГО
РАЗНООБРАЗНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
2.1. Постановка задачи
Крыло, в основном, определяет лётные характеристики самолета, поэтому расчету
его аэродинамических характеристик уделяется особое внимание. Опыт показывает,
что на крыло в полёте действует два типа сил гидродинамической природы:
1) силы, обусловленные трением воздуха о поверхность крыла; 2) силы,
возникающие за счёт давления.
Указанные силы можно определить в рамках теории пограничного слоя. Учитывая,
что толщина пограничного слоя мала по сравнению с линейными размерами крыла, ею
при решении задачи в первом приближении пренебрегают, и силы давления,
действующие на крыло, находят из задачи обтекания заданного крыла идеальной
жидкостью.
Крылья современных самолётов имеют небольшую относительную толщину, что
позволяет в дальнейшем рассматривать обтекание бесконечно тонкой поверхности,
совпадающей с серединной поверхностью крыла. Характерной особенностью
современных высокоманевренных летательных аппаратов является неустановившийся
полёт на различных переходных и максимальных режимах. Кроме того,
самостоятельный интерес представляет собой аэродинамический расчёт машущего
крыла, которое может использоваться в качестве движителя. Для такого крыла
деформации могут вызывать не только изменение формы отдельных элементов крыла,
но и изменение их площади. Во всех указанных случаях при обтекании крыла
существенными оказываются эффекты нестационарности. Ограничимся малыми
скоростями полёта, когда сжимаемостью воздуха можно пренебречь.
Задача сводится к расчёту обтекания бесконечно тонкого деформируемого крыла,
движущегося в безвихревом потоке идеальной несжимаемой жидкости со скоростью .
Необходимо для каждой точки пространства определить четыре неизвестные величины
- три составляющих вектора скорости и давление как функции времени. Как
известно, для определения названных неизвестных имеем уравнения движения
жидкости в форме Эйлера и уравнение неразрывности
, (2.1)
здесь - скорость жидкости, - ее плотность, - давление, - единичная массовая
сила. В связи с тем, что плотность воздуха мала, массовыми силами по сравнению
с силами давления пренебрегают.
Система уравнений (2.1) называется основной системой уравнений гидродинамики
идеальной несжимаемой жидкости. Первое из уравнений этой системы векторное, и
оно распадается на три уравнения, поэтому фактически рассматриваемая система
состоит из четырёх уравнений в частных производных. Неизвестными функциями в
рассматриваемой системе являются три компоненты скорости и давление. Все они
зависят от четырёх переменных - трёх координат и времени. Интегралы записанных
уравнений могут содержать произвольные функции и произвольные постоянные, для
определения которых необходимы дополнительные условия. Эти условия должны
отображать особенности рассматриваемой физической задачи, и они подразделяются
на два типа - граничные условия и начальные условия.
При обтекании крыла идеальной жидкостью необходимо выполнить два граничных
условия. Первое из них - условие непротекания - связано с тем, что данная
система справедлива для обтекания любого тела, а конкретный вид течения должен
быть таким, чтобы через поверхность рассматриваемого крыла не было протекания
жидкости. Для стационарного течения это условие сводится к тому, чтобы
нормальная к крылу составляющая скорости равнялась нулю. Для неустановившегося
движения в каждой точке крыла нормальная к крылу составляющая скорости жидкости
должна совпадать с нормальной компонентой скорости перемещения крыла.
Второе условие - условие на бесконечности - заключается в том, чтобы
возмущения, создаваемые крылом в потоке жидкости при удалении от крыла вперёд
против потока затухали, и на бесконечности стремились к нулю.
При неустановившемся движении кроме перечисленных ранее граничных условий
должны удовлетворяться так называемые начальные условия, поскольку в
нестационарном движении параметры течения для каждого момента времени зависят
не только от состояния системы в данный момент, но и от предыстории движения.
Поэтому при решении нестационарной задачи необходимо для некоторого начального
момента времени задать все параметры течения, это и есть упомянутые выше
начальные условия.
2.2. Системы координат
Для решения системы (2.1) и записи граничных условий необходимо ввести систему
координат и записать в ней уравнение поверхности крыла. В процессе деформации
рассматриваемых поверхностей изменяется их метрика, поэтому для их изучения
удобно использовать подходы, изложенные Л. И. Седовым в работе [6]. Декартова
система координат вводится, как показано на рис. 2.1. Радиус-вектор, задающий
произвольную точку пространства, записывается следующим образом
. (2.2)
Рис.2.1. Декартова и лагранжева системы координат
несущей поверхности
Деформирующаяся поверхность, совпадающая с поверхностью крыла, называется
несущей поверхностью и обозначается через . Вводится деформирующаяся
контравариантная система координат так, чтобы поверхность совпадала с
координатной поверхностью , а координатные линии были ортогональны поверхности
. На несущей поверхности . Контравариантные оси исходной декартовой системы
координат обозначаются , а её ковариантные векторы базиса - . Формула (2.2) в
таких обозначениях запишется следующим образом
В формулах аналогичного типа знак суммы принято опускать, и указанные формулы
записывают в таком виде
. (2.3)
В дальнейшем всякий раз, когда в выражении типа (2.3) будут встречаться два
одинаковых индекса, один из которых стоит вверху, а другой внизу,
подразуме
- Київ+380960830922