Ви є тут

Аналітичні дослідження нелінійних диференціальних рівнянь другого і третього порядків

Автор: 
Чичурін Олександр Вячеславович
Тип роботи: 
Дис. докт. наук
Рік: 
2005
Артикул:
0505U000040
129 грн
Додати в кошик

Вміст

ГЛАВА 2
УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ
В данной главе рассматриваются неприводимые уравнения Пенлеве:
третье , ()
пятое ()
и шестое
, ()
где и параметры. Эти уравнения возникли при решении задачи о нахождении
уравнений вида где рациональная функция с аналитическими по коэффициентами,
интегралы которых не имеют п.к.о.т [218]-[220], [200]. В этих работах Пенлеве и
Гамбье доказали, что подвижными особыми точками решений всех шести неприводимых
уравнений Пенлеве могут быть лишь полюсы первого или второго порядка. При этом
решение уравнения () при является однозначной мероморфной функцией, а уравнения
() и () соответственно имеют неподвижные особые точки и , , которые для решений
могут быть многозначными особыми точками. Существование интегрируемых случаев
уравнений () и () доказано в работе В.В. Голубева [8]. Дальнейшее исследование
уравнений Пенлеве было выполнено Р. Фуксом [199], Р. Гарнье [202], Л.
Шлезингером [227], П. Бутру [155-156]. В книгах [2], [9] подробно изложен метод
получения уравнений Пенлеве и рассмотрены их некоторые свойства.
Новый этап исследований уравнений Пенлеве начался в 1952 году. В работе Н.П.
Еругина [32] для этих уравнений были сформулированы новые задачи, решение
которых мы находим в известных работах А.И. Яблонского [141-143],
Н.А.Лукашевича [24, 53-60], Ф. Бюро [159-161], Кардон-Лебруна [172, 173], В.И.
Громака [13-27], В.В. Цегельника [107-111], Л.А. Бордаг и А.В. Китаева [90,
93], А.П. Воробьева [6], У. Мурата [211], К. Окамото [213-217], А. Фокаса, М.
Абловица [198] и других авторов. В монографии 1990 г. В.И. Громака, Н.А.
Лукашевича [24] подробно рассмотрены аналитические свойства решений шести
неприводимых уравнений Пенлеве.
В п.2.1 будет рассмотрена редукция систем, эквивалентным третьему () и шестому
() уравнениям Пенлеве к специальному нелинейному уравнению второго порядка [67,
112]. Затем в п.2.2 строятся новые системы двух дифференциальных уравнений,
которые эквивалентны () и (). В п.2.3 приводится новый метод построения решений
уравнений () и () [181].
Уравнение геодезических линий для третьего и
шестого уравнений Пенлеве
В работе [24] приведены системы двух дифференциальных уравнений, эквивалентные
уравнениям ()-(). Рассмотрим общую процедуру, которая позволит свести системы
более общего вида, чем системы эквивалентные уравнениям ()-(), к нелинейному
дифференциальному уравнению второго порядка, которое назовем, согласно [4],
уравнением геодезических линий. После этого приведем также вид коэффициентов
уравнения геодезических линий для уравнений () и ().
Итак, рассмотрим дифференциальную систему вида
(2.1)
где некоторые аналитические функции по в области ѓ.
Разделим теперь первое уравнение системы (2.1) на второе уравнение. Получим
(2.2)
Выразим теперь из (2.2) независимую переменную :
(2.3)
где
(2.4)
Далее будем обозначать через .
Продифференцируем обе части равенства (2.3) по . В результате будем иметь
(2.5)
где
. (2.6)
Найдем из (2.5) частные производные функции по и (для краткости обозначений
положим )

После этого найдем из второго уравнения системы (2.1), причем вместо подставим
его значение из (2.3), (2.4). Затем подставим найденные значения в уравнение
(2.5), (2.6).
После приведения подобных слагаемых и вынесения общих множителей за скобки,
получим уравнение
(2.7)
где – некоторые функции, получаемые из функций и их частных производных по
(точные значения этих коэффициентов приведены в приложении В).
Известно [24, с. 78], что третье уравнение Пенлеве можно представить в виде
системы (2.1). А именно, для имеем
(2.8)
где постоянные. Соответствующие коэффициенты уравнения (2.7) для с учетом
соотношений (2.8) и формул, приведенных в приложении В, имеют вид
(2.9)
,
Таким образом, для уравнения () приведена процедура, позволяющая свести это
уравнение к уравнению (2.7), коэффициенты которого имеют вид (2.9).
Применим рассмотренный выше метод сведения к уравнению (2.7) для системы
дифференциальных уравнений, эквивалентной уравнению (). Для этого рассмотрим
систему вида
(2.10)
Выразим из второго уравнения системы (2.10) производную
, (2.11)
и найдем производную , разделив первое уравнение системы (2.11) на второе
.
Из последнего уравнения найдем
. (2.12)
Правая часть уравнения (2.12) представляет собой некоторую функцию трех
переменных. Продифференцируем уравнение (2.12) по . После преобразований мы
опять получим уравнение (2.7), коэффициенты которого имеют вид
(2.13)

Известно [24], что уравнение () может быть представлено в виде системы (2.10),
где
, ,
(2.14)
, ,
здесь некоторые постоянные. Подставляя (2.14) в (2.13), найдем коэффициенты
уравнения (2.7), соответствующего уравнению ()
(2.15)

Итак, указанным выше методом удается свести уравнение () к уравнению (2.7),
коэффициенты которого имеют вид (2.14), (2.15), .
Исследовать полученное уравнение (2.7) можно следующим образом. Поскольку
известно [4], что это уравнение является уравнением геодезических линий, то,
учитывая формулы Кристоффеля - Шварца, можно получить соотношения, позволяющие
выразить коэффициенты первой квадратичной формы поверхности, о