РАЗДЕЛ 2
УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ.
На современном этапе развития гидрогазодинамики многие исследователи считают,
что уравнения Навье-Стокса полностью описывают движение сплошной среды, в
которой отсутствуют физико-химические превращения. Однако из-за ограниченных
возможностей вычислительной техники их использование для реальных задач
затруднено. В настоящем разделе рассмотрены упрощенные уравнения Навье-Стокса,
используемые в работе для построения численных моделей. Описаны способы их
замыкания и выполнены основные преобразования уравнений, которые понадобятся в
дальнейшем, а также рассмотрены постановка граничных условий и дополнительных
соотношений на границах. Основное содержание раздела опубликовано в работах [7,
24, 25, 38, 39, 41, 78, 80, 150, 180, 204, 205, 206, 207, 229, 230, 231, 232,
234, 235, 237, 239, 240].
2.1. Уравнения Навье-Стокса, осредненные по Фавру
Уравнения Навье-Стокса состоят из:
уравнения неразрывности
уравнения количества движения
уравнения энергии
(2.1)
где – плотность; – полная энергия единицы массы; – тензор напряжений; –
тепловой поток; - вектор скорости. Представленная форма записи уравнений
Навье-Стокса (2.1) является следствием интегральных законов сохранения массы,
импульса и энергии, вывод которых можно найти, например, в работах [1, 52,
97].
В настоящей работе рассматривается ньютоновская жидкость, для которой
предполагается линейная связь между напряжениями и скоростью деформации. Тензор
напряжений имеет вид:
(2.2)
где – давление.
В настоящее время основное направление развития вычислительной
гидрогазодинамики состоит в решении осредненных уравнений Навье–Стокса –
уравнений Рейнольдса. При осреднении по времени в уравнениях появляются новые
члены, которые можно интерпретировать как градиенты «кажущихся» (рейнольдсовых)
напряжений и тепловых потоков, связанных с турбулентным движением. В работе
использовались уравнения Навье–Стокса осредненные по Фавру [11]. Полученная
после осреднения система уравнений оказывается незамкнутой, и поэтому с помощью
дополнительных гипотез необходимо связать рейнольдсовы напряжения с
характеристиками осредненного течения.
Наиболее распространенные способы замыкания уравнений Рейнольдса опираются на
гипотезу Буссинеска [123], в соответствие с которой рейнольдсовы напряжения
связываются со скоростью деформации коэффициентом пропорциональности,
называемым коэффициентом «кажущейся» (турбулентной) вязкости :
(2.3)
где – пульсации скорости; Sij – скорость деформации среднего течения; –
кинетическая энергия турбулентности. Черта над переменными означает осреднение
по времени. Слагаемым для моделей турбулентной вязкости часто пренебрегают.
Уравнения Навье-Стокса осредненные по Фавру, записанные в векторной форме в
декартовой системе координат и вращающиеся с постоянной угловой скоростью
вокруг оси , имеют вид:
(2.4)
где
; ; ; ; ; ; ; ; ;
где ,, - декартовы координаты; ; - температура; - внутренняя энергия единицы
массы; - коэффициент теплопроводности; - изобарная теплоёмкость; - число
Прандтля. Коэффициент вязкости представляет собой сумму молекулярной и
турбулентной вязкости, т.е. некую «эффективную» вязкость:
(2.5)
Коэффициент молекулярной вязкости определяется формулой Сазерленда [1]:
(2.6)
где - константа формулы Сазерленда. Коэффициент турбулентной вязкости находится
с помощью модели турбулентности (см. п. 2.2.1). Для определения числа Прандтля
используется соотношение:
(2.7)
где , - константы.
2.2. Замыкание уравнений Навье-Стокса
Система уравнений (2.4) является не замкнутой, и для ее замыкания необходимо
установить связь между термодинамическими переменными , , , и , кроме того, для
построения разностной схемы и анализа структуры течения, на основе искомого
вектора, необходимо дополнительно определить ряд зависимостей газодинамических
переменных. Эти соотношения определяются на основе уравнений состояния, которые
рассматриваются в параграфе 2.2.2. Для определения величины «кажущейся»
(турбулентной) вязкости в настоящей работе используется семейство
двухпараметрических моделей турбулентности типа, рассматриваемых в пункте
2.2.1.
2.2.1. Семейство двухпараметрических моделей турбулентности
Семейство двухпараметрических моделей турбулентности можно записать в общем
виде [28]:
(2.8)
где
; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ;
; ; ; ; ;
; ; - расстояние к ближайшей стенке;
; ; ;
; - расчетная область; ;
; ; ; - объем ячейки;
; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ; ;
; ; ; ; ;
; ; ;
; ; ;
; ; .
В зависимости от выбора значений констант в уравнении (2.8) реализуются
различные двухпараметрические модели турбулентности типа, так в случае и имеем
обычную модель Уилкокса [227]. При константах и получается модель BSL Ментера
[192]. Главная идея этой модели состоит в объединении двух популярных моделей и
таким образом, чтобы использовать их достоинства и нивелировать недостатки. С
этой целью модель переформулирована (уравнение для скорости диссипации
преобразовано в уравнение для удельной скорости диссипации ) и объединена с
моделью. Для этого введена переключающая функция , с помощью которой у стенки и
большей части пограничного слоя BSL модель ведет себя подобно модели,
обеспечивая точное и надежное моделирование пристенной турбулентности, а вдали
от твердых тел – переходит в модель, что обеспечивает независимость результата
от малости значения удельной скорости диссипации на границах входа. При задании
величин констант равными и будет получена модель SST Ментера [191]. Эта модель
является развитием Ментера его же BSL модели. Главное и единственное отличие
с
- Київ+380960830922