РАЗДЕЛ 2
Рациональные точки, оценки и равнораспределенность на пространствах модулей
алгебраических кривых над простыми конечными полями
2.1. Введение. Рассматриваемое ниже направление арифметической геометрии
изучает вопросы существования рациональных точек алгебраических многообразий
над простыми конечными полями (алгоритмы проверки наличия таких точек
существуют всегда, но наивные алгоритмы могут быть чрезвычайно громоздкими, с
нереализуемыми даже на ЭВМ вычислениями уже для простейших нетривиальных
случаев), оценки числа таких точек, поведения числа таких точек для семейств
алгебраических многообразий, распределение точек, а также некоторые другие
вопросы. В данном изложении мы ограничимся двумя избранными проблемами,
связанными с алгебраическими многообразиями над конечными полями. Отметим, что
эти проблемы (см. ниже) входят в число активно исследуемых в арифметической
геометрии в настоящее время. Необходимые определения мы будем приводить по ходу
изложения в соответствующих подразделах.
Понятие равномерного распределения по mod 1 было введено Г.Вейлем [113] в связи
с исследованием им задач небесной механики, и некоторых арифметических задач.
Учет более общих закономерностей, т.е. распределений с достаточно общими
функциями плотности, и по модулям потребовал привлечения обобщенных функций
С.Л. Соболева (распределений в смысле Л. Шварца). В работах самого Г. Вейля, а
также в работах И.М. Виноградова, Н.М. Коробова А.Г. Постникова, М. Сато, Дж.
Тэйта, Б. Берча, Ж.-П. Серра, П. Делиня, Х. Иошиды, Р. Ливна, Н. Катца, А
.Адольфсона и других исследователей (см. [113-117] и библиографию в них)
предложены методы доказательства равнораспределенности многих бесконечных
арифметических последовательностей, и доказан ряд теорем о
равнораспределенности. Однако гипотеза о равнораспределенности с плотностью
Сато-Тэйта углов тригонометрических сумм Клостермана (см. ниже) до сих пор не
доказана и не опровергнута.
Мы формулируем и исследуем задачи равнораспределенности с использованием языка
пространств модулей. По поводу используемых определений из теории модулей см.
[12] (где приведены и некоторые первоисточники), а также цитируемую ниже
литературу. Однако в отличие от [12], где рассмотрен, в основном, случай
нулевой характеристики, мы работаем в характеристике p. Алгебраическое
многообразие называют пространством модулей данной алгебраической структуры,
если точки многообразия параметризуют объекты или классы объектов (по
некоторому отношению эквивалентности) этой алгебраической структуры [12] .
Напомним, что проблема модулей состоит из двух частей. Во первых, это выделение
класса объектов и описание, что мы понимаем под семейством таких объектов над
некоторой схемой S. Во вторых, выбор отношения эквивалентности. Среди различных
пространств модулей классическая алгебраическая геометрия различает модули и
параметрические (параметризующие) пространства. Точкам параметрического
пространства биективно соответствуют объекты параметризуемой алгебраической
структуры, в то время как модули параметризуют классы, а каждый класс состоит,
например, из бирационально изоморфных объектов. Мы будем использовать вариант
этой терминологии, называя пространства модулей с тривиальным отношением
эквивалентности параметрическими пространствами. Мы рассматриваем два типа
параметрических пространств: квазипроективные многообразия и арифметические
поверхности [22]. Для данной проблемы модулей объект, биективно соответствующий
точке параметрического пространства, называем лежащим над этой точкой. Если для
параметрического пространства П определено понятие гиперплоскости P, то
(гиперплоским) сечением называем множество нулей P = 0 в П. Множество объектов,
лежащих над точками сечения, называем лежащими над сечением. Соответственно,
гиперэллиптическая кривая и накрытие вида (1) над Z определяют арифметическую
гиперэллиптическую поверхность H и накрытие V. Конечные точки Spec Z
параметризуют специальные слои арифметических поверхностей. Если выбросить из
Spec Z множество точек sh вырождения гиперэллиптической кривой, и множество
точек d1 , в которых c, d 0 (mod p) , то Spec Z \ sh и Spec Z \ d1
параметризуют, соответственно, гиперэллиптические кривые и накрытия специальных
слоев H и V соответственно. Вернемся теперь к исследованиям задач
равнораспределенности. Не претендуя здесь на какой–либо исторический обзор этих
исследований, напомним кратко некоторые моменты. Пусть
E: y2 = x3 + ax + b, a, b О Z
– эллиптическая кривая над Z. Вне конечного множества простых, являющихся
делителями дискриминанта, кривая Е имеет хорошую редукцию в поле Fр. Число
точек #Е(Fр) кривой Е при локализации по mod p выражается формулой #Ер = 1+ р -
ар , где ар = 2Чcosjp, а сама кривая Е рассматривается как проективная.
Гипотеза Сато–Тэйта [118] утверждает, что для эллиптической кривой без
комплексных умножений углы jр, соответствующие ар, равнораспределены на
интервале [0,p) с плотностью (2/p)sin2t. Гипотеза Сато–Тэйта до сих пор не
доказана, однако функциональные аналоги этой гипотезы исследованы. Именно,
функциональный аналог гипотезы Сато–Тэйта при 𮥠доказал Берч [117], а случай,
когда р=const, но рассматриваются алгебраические расширения Fрr над Fр при r
®Ґ, доказал Иошида [119]. Аналогичные вопросы могут быть поставлены для
распределения углов сумм Клостермана [120 - 121]. Суммы Клостермана возникают
во многих разделах математики[122]. В последние годы появились большие и
интересные работы о суммах Клостермана, еще более подчеркнувшие важность и
актуальность развития этого научно
- Київ+380960830922