РОЗДІЛ 2
СИМЕТРИЧНІ ЗАДАЧІ ДИСКРЕТНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ ТА МІНІМІЗАЦІЯ ОЧІКУВАНИХ ЗБИТКІВ
СИСТЕМ З ДВОМА ТИПАМИ ВІДМОВ
Ключові слова: паралельно-послідовні (PS) системи, відмови типу “обрив” та
”коротке замикання”, максимізація надійності, мінімізація середніх збитків
відмов, цілочисельна постановка та неперервний аналог, необхідні умови
екстремуму
Основні результати, викладені у цьому розділі, було опубліковано у роботах
[59]–[64].
Вступ
У цьому розділі розглядаються проблеми максимізації надійності та мінімізації
середнього збитку для паралелльно-послідовних (PS) систем з компонентами, що
допускають відмови двох типів при обмеженнях на число компонент.
Нехай є n ідентичних компонент, які можуть одночасно перебувати в одному з
трьох можливих станів: "працює", "коротке замикання" та "обрив". Стани
компонент є статистично незалежними та ідентично розподіленими: "обрив" з
ймовірністю p, "коротке замикання" з ймовірністю q та "працюючий" з ймовірністю
1–p–q. Компоненти об’єднуються у PS систему, яка допускає ці ж типи відмов в
залежності від станів її компонент.
Як побудувати PS систему, що має максимальну надійність серед усіх систем, чиє
число компонент не більше ніж n, тобто мінімізує ймовірність відмови такої
системи? Позначивши ймовірності "обриву" та "короткого замикання" системи
відповідно P1 та P2, можемо сформулювати таку задачу наступним чином:
P1 + P2 ® min,
де мінімізація відбувається по структурі системи.
У випадку, коли збитки від різних типів систем суттєво відрізняються, є
важливою мінімізація не ймовірності відмов такої системи, а середніх збитків.
Наприклад, коли експлуатується деяка сигнальна система (наприклад, для
небезпечних технологічних процесів), де ціна (вартість) пропуску сигналу та
“помилкової тривоги” зовсім різні, звичайно, пропуск сигналу набагато
небезпечніший (вартість відмови набагато вища), ніж “помилкова тривога”. Тоді,
очевидно, і критерій оптимізації повинен суттєво змінитися.
Нехай вартість збитків від системних відмов є: g1 та g2 для "обрив" та "коротке
замикання" системних відмов відповідно. Тоді постановка задачі виглядає
наступним чином:
P1g1 + P2 g2 ® min,
де мінімізація відбувається по структурі системи, тобто по всіх можливих
системах, чиє число компонент не більше, ніж n. Тут P1 та P2 є ймовірностями
"обриву" та "короткого замикання" системи відповідно.
Традиційно ця проблема виникла як задача резервування у теорії надійності [53].
PS системи використовуються в комунікаціях, в мережах та інших технічних
системах, компонентами можуть бути тригери, електронні лампи, реле чи діоди,
інше. Типи відмов "обрив" та "коротке замикання" не обмежуються виключно
електротехнічним поняттям відмов такого типу, вони означають: компонента не
працює, коли вона повинна (відмова "обрив"); компонента працює, коли не повинна
(відмова "коротке замикання"). Наприклад, це може бути сенсор, який повинен
визначати певний рівень небезпечних субстанцій і давати сигнал, коли такий
рівень досягнуто.
Подібна проблема розглядалася у [54–57]. Там обговорювалася проблема побудови
найбільш надійної системної структури з фіксованим числом компонент. Проте,
алгоритми, запропоновані для пошуку рішення у цих статтях, не є застосовними,
якщо n є достатньо великим. Так, алгоритм перебору [56] не може бути
застосованим при n і 100, а обчислювальна складність алгоритму з [55] дуже
різко зростає при збільшенні n. Останній є вже практично незастосовним при
n і 200. Емпіричне правило В.Заславського з [54] не є математично
обгрунтованим. Проте останні дві статті були важливими для розвитку ідей,
необхідних для розв’язання цієї проблеми. Так, в процесі пошуку рішень нашої
проблеми для зменшення числа варіантів структури систем буде математично
обгрунтоване і застосоване емпіричне правило. Як в [56], тут знаходиться
рішення неперервного аналогу, яке потім використовується для пошуку рішення
вихідної проблеми.
Зауважимо, що проблема може бути поставлена більш широко, коли розглядаються не
тільки PS системи, що називаються у термінології [57] PS системами глибини
розгалуження 2, а будь-якої більш складної структури. Деякі результати щодо
таких задач буде описано у відповідному підрозділі нашої роботи.
Проте така загальна постановка виглядає зовсім безнадійно, оскільки, по перше,
її неможливо звести до оптимізаційної постановки (невеликі зміни структури
системи можуть повністю змінити функцію-критерій). Наприклад, у роботах [55] та
[57] обговорюється оптимальна структура таких систем у випадку n = 9 та n = 15,
які отримані шляхом перебору. Це без коментарів однозначно характеризує
складність подібної загальної проблеми.
Проте навіть для глибини розгалуження 2 оптимізацію PS систем у роботі [57]
згадано як відкриту проблему, оскільки результати робіт [54–57] дозволяли, або
застосовувати евристичні міркування [54], або розв’язувати задачу при невеликих
розмірностях систем [55]. Зауважимо, що універсальні методи оптимізації не є
застосовними для таких проблем (див. наприклад [58]), оскільки навіть для
відносно невеликого числа компонент кількість припустимих варіантів системних
структур, а отже трудомісткість таких задач безнадійно зростає
Тому розроблений математичний апарат для оптимізації таких систем, що є
застосовним для будь-якого числа компонент n і дозволяє отримати точні рішення,
є дійсним просуванням у цій тематиці, що дозволяє вважати цю проблему
розв’язаною. Наприклад, подібна проблема була розв’язана на PC 486 для n =106
за кілька хвилин.
Зауважимо також, що постановка задачі з обмеженням по числу компонент Ј n
дозволила зрозуміт
- Київ+380960830922