РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА ИНТЕГРАЛЬНОГО МЕТОДА ПРЯМОГО РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
2.1. Обобщенный принцип взаимности
Как отмечалось в предыдущем разделе, одной из главных особенностей решения
пластических задач является учет физической нелинейности деформируемых сред. На
практике он сводится к применению различных итеративных процедур, таких как
метод упругих решений, метод гидродинамических приближений, метод
дополнительных напряжений и т.п. Заметим, что подробнее эти методы будут
рассмотрены в следующем разделе. При этом, помимо прочих, возникают две
проблемы. Первая заключается в том, что условие сходимости итеративных процедур
удовлетворяется не всегда, особенно в случае метода дополнительных напряжений.
Вторая состоит в том, что каждая итерация требует больших вычислительных
ресурсов при реализации численных методов на ЭВМ, в частности, метода конечных
элементов или метода граничных элементов. Особенно остро эта проблема стоит при
решении трехмерных задач, когда количество неизвестных достигает нескольких
десятков тысяч.
В связи с этим представляется целесообразным разработать подход к решению
краевых пластических задач, учитывающий указанные выше проблемы. В данном
разделе сделана попытка разработки метода решения краевых пластических
(упругопластических) задач, в рамках которого либо вообще не предусмотрено
применение итерационных процедур, либо их применение было бы существенно
ограничено.
Поскольку предлагаемый подход основан на теореме взаимности (строго говоря, на
некотором ее обобщении), рассмотрим вначале собственно принцип взаимности как
таковой, а затем его применения в механике деформированного твердого тела.
Дадим обобщенную формулировку принципа взаимности. Предположим, что
рассматривается некий информационный объект (например, компьютерный файл или
заготовка под обработку давлением), который в содержательном плане представляет
собой совокупность (единство) трех составляющих: собственно данных (для
компьютерного файла это его содержание, некий набор данных; для заготовки под
ОМД это некоторое количество определенного вещества); свойств (имя файла, его
длина; совокупность физических и механических свойств заготовки, ее макро и
микроструктура) и методов работы с ним (создание, копирование, удаление файла;
методы создания и способы механической, деформационной и термической обработки
нашей заготовки). Предположим также, что некоторые глобальные свойства данного
объекта линейно зависят от других свойств независимо от методов работы с ним
(т. е. независимо от системы внешних механических и тепловых воздействий на
заготовку). Тогда для какого-то набора методов воздействия (способа обработки
файла; схемы деформации) можно записать следующее соотношение:
, (2.1)
где A и B - некоторые свойства объекта, соответствующие первому набору методов
(‘); K – некоторый коэффициент пропорциональности.
Применим к нашему объекту другой набор методов воздействия и запишем
соотношение, аналогичное (2.1):
, (2.2)
где A и B - некоторые свойства объекта, теперь уже соответствующие второму
набору методов (‘‘).
Поскольку коэффициент пропорциональности K в соотношениях (2.1) и (2.2) один и
тот же, то справедливой будет и следующая прямая пропорция:
. (2.3)
Далее, используя основное свойство пропорций, окончательно запишем:
. (2.4)
Последнее выражение и представляет собой принцип взаимности для любого объекта,
обладающего (при заданных методах воздействия) хотя бы одной парой глобальных
свойств, линейно зависящих друг от друга.
2.2. Применение принципа взаимности для решения краевых задач механики
деформированного твердого тела
Перейдем к задачам механики деформированного твердого тела. Вначале введем
понятия обобщенных сил и перемещений. Под обобщенной силой будем понимать
всякую нагрузку, вызывающую соответствующее этой нагрузке перемещение. Это
может быть, например, сосредоточенная сила, распределенная поверхностная или
объемная нагрузка, изгибающий момент. Обобщенным перемещением будем называть то
перемещение, на котором обобщенная сила совершает работу. В качестве
обобщенного перемещения могут выступать абсолютное растяжение или сжатие
стержня в направлении действия сосредоточенной силы, угол поворота поперечного
сечения балки в направлении действия изгибающего момента, и т. п.
Поскольку для упругих тел справедлив закон Гука, то естественно, что первые
применения принципа взаимности были сделаны именно для задач теории упругости.
Наиболее простое приложение принципа взаимности было сформулировано во второй
половине 19-го века Максвеллом. Оно известно, как теорема Максвелла: обобщенное
перемещение dmn точки m, соответствующее обобщенной силой Pm=1, вызванное
обобщенной силе Pn=1, равно обобщенному перемещению dnm точки n,
соответствующему обобщенной силой Pn=1, вызванному обобщенной силе Pm=1.
Рис. 2.1. Иллюстрация теоремы Максвелла.
Поскольку данная теорема лежит в основе предлагаемого метода, рассмотрим ее
подробнее. В качестве примера, иллюстрирующего теорему Максвелла, следуя [117],
рассмотрим два состояния консольной балки (рис. 2.1). В первом состоянии к
балке приложена лишь одна сила P1=1 (рис. 2.1 а), а во втором состоянии - лишь
один изгибающий момент M2=1 (рис. 2.1 б). По теореме Максвелла d12 = d21 .Для
того, чтобы убедиться в этом, рассмотрим указанные обобщенные перемещения,
соответствующим единичным обобщенным силам. Перемещением d21, соответствующим
моменту M2 и вызванным единичной силой P1, является угол поворота q12 сечения
2. Перемещение d12 , соответствующее единичной силе P1 и вызванное единичным
моментом M2, представляет собой п
- Київ+380960830922