розділ 2.5. присвячено задачам, пов'язанним з поняттям дотичної індикатриси (тантриси) регулярних кривих у просторах сталої кривини. В статях J.Weiner'а і B.Solomon'а досліджувалося наступне питання: коли занурена сферична крива в , яка гомеоморфна колу, є тантрисою іншої замкненої сферичної кривої ? J.Weiner довів, що занурена крива, яка гомеоморфна колу, в утворює тантрису іншої сферичної кривої в евклідовому просторі тоді і тільки тоді, коли її повна геодезична кривина дорівнює нулю і вона не містить ніякої дуги з повною геодезичною кривиною . Спочатку опишемо результати, одержані в дисертації у випадку сфери .
Ми розглядаємо варіант дотичної індикатриси гладкої кривої , причому вважаємо, що параметр є довжиною дуги. Нехай - деяка фіксована точка . З'єднаємо точку і геодезичною в і перенесемо вектор паралельно вздовж з точки в точку . Результат паралельного переносу вектора належить одиничній сфері дотичного простору . Назвемо тантрисою (індикатрисою дотичної) кривої в сфері , яка параметризована довжиною дуги , сферичну криву (таке визначення тантриси належить J.Weiner'у).
Теорема 2.12. Тантриса кривої в має наступне рівняння :
Останнє рівняння означає, що сферична тантриса кривої в , (яке можно ототожнити з підпростіром ), співпадає, (після паралельного переносу простору : ), з евклідівою тантрисою кривої , яка є стереографічною проекцією на підпростір , з діаметрально протилежної точки .
За формою тантриси кривої в можно відновити саму криву.
Теорема 2.13. Нехай тантриса кривої в . Тоді
де
Доведене наступне твердження, що є аналогом відповідної теореми J.Weiner'а в евклідoвому просторі.
Теорема 2.14. 1) Занурене коло в утворює тантрису деякої сферичної кривої в тоді і тільки тоді, коли вона має повну геодезичну кривину нуль і не містить в собі ніякої дуги з повною геодезичною кривиною . Якщо тантриса не має самоперетинів в , то вона обмежує область на сфері площею .
2) Для тантриси довільної кривої (інтеграл зліва оцінює геодезичну кривину тантриси на , а інтеграл справа дає вираз відповідного інтегрального скруту стереографічної проекції кривої на ).
Решта результатів цього підрозділу присвячена тантрисам гладких кривих в просторі Лобачевського .
Розглянемо гладку криву в просторі Лобачевського в моделі Пуанкаре в верхньому напівпросторі з метрикою . Вважаємо, що гладка крива параметризована довжиною дуги. Тантрисою кривої назвемо трансвекцію одиничного кола вектора в фіксовану точку . Нехай це буде точка .
Теорема 2.15. Тантриса кривої в має наступне рівняння:
Остання рівність означає, що тантриса кривої cпівпадає, (після трансляції в : ), з евклідовою тантрисою кривої
яка одержується з інверсією в відносно одиничної сфери з центром з наступним дзеркальним відбиттям відносно площини .
Якщо відоме рівняння тантриси в , то можно відновити рівняння самої кривої.
Теорема 2.16. Нехай - тантриса деякої кривої . Тоді
де функції
задовольняють додатковій умові : .
Наступне твердження є аналогом теореми J.Weiner'a для кривих в просторі Лобачевського.
Теорема 2.17. 1) Занурене коло в утворює тантрису деякої сферичної кривої в тоді і тільки тоді, коли воно має повну геодезичну кривину нуль і не містить в собі ніякої дуги з повною геодезичною кривиною . Якщо тантриса не має самоперетинів в , то вона обмежує область на сфері площею .
2) Для тантриси довільної кривої справедлива рівність .
У підрозділі 2.6. досліджуються поверхні з нульовим нормальним скрутом в евклідoвому просторі . Нагадаємо визначення нормального скруту. Нехай - деякий дотичний вектор до поверхні в точці . Через вектор , двовимірну нормальну площину і точку проведемо тривимірний простір , який переріже поверхню по лінії . Значення скруту лінії в точці називається нормальним скрутом поверхні для напрямка в точці .
В роботах С.Б. Кадомцева і В.Т.Фоменка досліджувалась множина двовимірних поверхонь чотиривимірного евклідoвого простору , нормальний скрут яких в довільній точці за будь-яким напрямком дорівнює нулю. С.Б. Кадомцев одержав умову приналежності поверхні множини до деякої гіперплощини в . В.Т.Фоменко досліджував поверхні множини в залежності від властивостей еліпсу нормальної кривини. Він довів низку теорем, в яких в залежності від розташування еліпса нормальної кривини з приналежності поверхні до множини випливає, що або поверхня є гіперплоскою, або гіперсферичною зі сталою середньою і нульовою внутрішньою кривинами. В доповнення до його результатів ми доводимо наступне твердження.
Теорема 2.18. Нехай в кожній точці поверхні класу в напівосі еліпсу нормальної кривини зв'язані співвідношенням (). Тоді, якщо , то є або гіперплоска поверхня, або гіперсферична з сталою середньою і нульовою внутрішнньою кривинами.
В теоремі 2.18. одержано також вирази коефіцієнтів скрута у випадку, коли точка поверхні не є коловою, тобто . З цього випливає,що якщо еліпс нормальної кривини не є колом, то справедливе наступне твердження відносно інваріанту Уітні, який дорівнює сумі індексів особливостей довільного нормального векторного поля на поверхні в .
Наслідок 2.6. Нехай -замкнена компактна поверхня класу в , кожна точка якої не є коловою. Тоді якщо , то її інваріант Уітні дорівнює нулю.
Якщо еліпс нормальної кривини поверхні в кожній точці не є колом, то справедливий також наступний висновок.
Наслідок 2.7. Нехай - компактна замкнена поверхня класу в , кожна точка якої не є коловою. Тоді якщо і її гаусів скрут є невід'ємним (недодатнім), то є або гіперплоскою поверхнею, або гіперсферичною зі сталою середньою і нульовою внутрішньою кривинами.
У третьому розділі вивчаються мінімальні