раздел 2.7). Не будем пока обращать на них внимание, включив эти особенности (если они существуют) в общую структуру расширенного фазового пространства , т.е. будем считать, что . Тогда из для замкнутых планарных биллиардов следует
.
В общем случае симметричное ФП имеет топологию тора с особенностями. У выпуклого биллиарда с гладкой границей, не содержащей прямолинейных компонент и угловых точек, все лучи из физически допустимы. Для него , т.е. симметричное ФП действительно совпадает с тором. Если теперь проводить аналогию с другими физическими системами, то симметричное ФП выпуклого биллиарда совпадает с фазовым пространством плоского двойного маятника [218, 229].
Граница многосвязного биллиарда состоит из нескольких замкнутых компонент. Одна из них внешняя будет выделенной. Остальные - внутренние , где нижний индекс нумерует их. Каждая компонента, независимо от того внешняя она или внутренняя, гомеоморфна окружности. Значит, гомеоморфна объединению непересекающихся окружностей:
,
где - порядок многосвязности ; знаком обозначено прямое объединение множеств (объединение без пересечения). Ориентируем границу , так чтобы ориентации её компонент были согласованы между собой и с левой ориентацией евклидовой плоскости (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Многосвязный биллиард и его многолистное симметричное ФП.
Каждая из компонент может иметь участки положительной и/или отрицательной кривизны (см. Приложение А.2). Пусть соответствует выпуклому участку, но при этом вогнутому. Симметричное ФП в соответствие с общим правилом примет топологию связки торов [177]:
,
среди которых выделен лист , соответствующий внешней . Листы или охватывают лучи, соединяющие внешнюю и внутренние компоненты , а листы - лучи, отражающиеся только от внутренних компонент (рис. 2.2). Укажем, что здесь и далее в качестве координатного представления тора удобно выбирать его фундаментальную развёртку, т.е. единичный квадрат , где , или квадрат . В последнем случае каждую точку тора определяет пара угловых координат. Эти координаты являются циклическими, так как они определены с точностью до . Итак, симметричное ФП многосвязного биллиарда описывается атласом карт (рис. 2.2), на которых происходит эволюция его фазовых траекторий.
Отметим, что в отличие от листов , и , которые всегда заполнены (хотя быть может и не полностью) фазовыми точками, физические листы в случае выпуклых внутренних компонент , оказываются целиком пустыми, , так как все их точки соответствуют лучам из области геометрической тени. Пустыми частично или полностью могут оказаться и перекрестные листы , если соответствующие компоненты и "не видны" по отношению друг к другу изнутри области биллиарда , т.е. когда их загораживают другие компоненты границы.
Граница открытых биллиардов может состоять из одной или нескольких компонент, . Среди них есть одна, две или более незамкнутых компонент, которые условно можно назвать "внешними" . Остальные же "внутренние" компоненты замкнуты . Их присутствие напоминает рассмотренные многосвязные биллиарды. Поэтому для простоты их не будем учитывать. Внешние компоненты могут иметь конечную или бесконечную длину. Рассмотрим только четыре типа геометрии: 1) одна конечная компонента гомеоморфная отрезку, (биллиард внутри полости с открытым окном); 2) одна бесконечная гомеоморфная обычной прямой, дополненной бесконечно-удаленной точкой , т.е. проективной прямой , (биллиард внутри ограниченной полости, соединенной с бесконечным каналом); 3) пара конечных (биллиард в канале конечной длины с двумя отверстиями), когда гомеоморфна несвязному объединению двух отрезков ; 4) пара бесконечных (биллиард внутри бесконечного канала), когда гомеоморфна паре проективных прямых, пересекающихся в общей -удаленной точке, т.е. букету окружностей, . Тогда получим: 1) (вещественная плоскость); 2) (тор); 3) (связка четырех параллельных плоскостей); 4) (букет торов), где индексы нумеруют компоненты границы. Принципиально, что во всех случаях сохраняется симметричная структура (равноправие координат) .
Для двумерных биллиардов на криволинейных поверхностях предыдущие рассуждения также остаются в силе. Рассмотрим -биллиарды. Они имеют границу , гомеоморфную сфере с некоторым числом вклеенных ручек, [274-277]. Это следует из фундаментальной теоремы о классификации двумерных поверхностей [275]. Например, граница выпуклого -биллиарда гомеоморфна двумерной сфере, . Симметричное ФП строится по тем же правилам, т.е.
.
В частности, для выпуклых -биллиардов. В последнем случае топология совпадает с топологией ФП сферического (пространственного) двойного маятника [218, 229]. Аналогичные построения можно выполнить и для других многомерных биллиардов.
В гамильтоновом подходе (см. [15, 24, 46, 50] и др.) физическое состояние биллиарда задается парой биркгофовых координат , где - обычно натуральный параметр , - угол падения луча, изменяющийся в пределах . Здесь ФП является цилиндр, , образующая которого соответствует угловой переменной , а основания - границе биллиарда. Но не только в этом состоит отличие от симметричного ФП. Принципиально, что топология гамильтонового ФП не чувствует границу биллиарда. Края цилиндра всегда можно склеить (это соответствует отождествлению касательных к границе биллиарда лучей с противоположными направлениями), . Тогда он превращается в тор, . Однако, при таком склеивании все особенности границы (характер вогнутости, точки перегиба, угловые точки, точки разрыва кривизны и др.), проекцией которой в ФП являются края цилиндра и , исключаются из рассмотрения. Топология или не чувствует геометрию , от которой существенно зависит динамика биллиарда. Для всех биллиардов она будет одинаковая (многомерный цилиндр или тор). Как легко проверить, этот вывод сохраняется для любых типов биллиардов, в том числе многомерных. В симметричном ФП границе соответствует диагональ . Поэтому учитываются особенности траекторий, связанные с геометрией, такие как наличие гео
- Київ+380960830922