Розділ 2. Другий етап прийнятої в даній роботі схеми комплексного теплофізичного дослідження полягає в математичному моделюванні теплових процесів у виробах з матеріалів, ТФХ яких були ідентифіковані на першому етапі. Інакше кажучи, вирішуються ПЗТ, результати яких формують головний підсумок усього дослідження. У той же час екстремальні методи розв'язання внутрішніх ОЗТ, на які орієнтуються пропоновані алгоритми ідентифікації ТФХ першого етапу дослідження, теж припускають звертання, причому багаторазове, до процедури вирішення пробної ПЗТ. А оскільки частка математичного моделювання в обсязі всієї роботи велика, пошук шляхів побудови оптимальної стратегії обчислень починається з обговорення методичних прийомів чисельного розв'язання прямої задачі.
Розгляд вирішення ПЗТ як основної обчислювальної складової розв'язання оберненої задачі на першому етапі комплексного дослідження нових матеріалів і як процедури, що становить завершальний етап цього дослідження, починається із простого прикладу. Розглядається куб, кожна із шести граней якого підкоряється тепловій ГУ, що відрізняється своїм родом (I, II, III або IV) і видом (ідеальні чи ні теплова ізоляція або контакт у ГУ II та IV роду) від умов на інших гранях. Задано початкові умови (ПУ). У цьому випадку система диференціальних рівнянь із частинними похідними, що являє собою математичну модель процесу теплопровідності, виглядає в такий спосіб:
(? > 0, 0 < x < l, 0 < y < l, 0 < z < l);(1)ПУ: T = Tп(x, y, z) (? = 0, 0 ? x ? l, 0 ? y ? l, 0 ? z ? l);ГУ I: T = TI( y, z ,?) (? > 0, x = l, 0 ? y ? l, 0 ? z ? l);ГУ II: - ?(T) ?T/?y = qII(x, z, ?) (? > 0, 0 ? x ? l, y = l, 0 ? z ? l);ГУ III: - ?(T) ?T/?z = ?III(x, y, T, ?) (T - Tс(?)) (? > 0, 0 ? x ? l, 0 ? y ? l, z = l);ГУ IIq=0: ?T/?x = 0 (? > 0, x = 0, 0 ? y ? l, 0 ? z ? l);ГУ IV: - ?(T) ?T/?y|y=+0 = - ?IV(T) ?T/?y|y=-0 = q, T|y=+0-T|y=-0 = Rт(x, z, T) q
(? > 0, 0 ?x ? l, y = 0, 0 ? z ? l);ГУ IVR=0: ?(T) ?T/?z|z=+0 = ?IV(T) ?T/?z|z=-0, T|z=+0 = T|z=-0
(? > 0, 0 ?x ? l, 0 ?y ? l, z = 0);де x, y, z - просторові координати; ? - теплопровідність; T, Tп, Tс - температури, відповідно дана, початкова та навколишнього середовища; cV - питома об'ємна теплоємність; ? - час; l - довжина ребра куба; ? - коефіцієнт тепловіддачі; q - щільність теплового потоку; Rт - термічний опір.
Цей приклад ілюструє спектр постановок задач теплопровідності, розглянутих і реалізованих у дисертації. Форма запису математичної моделі температурного поля говорить про те, що у роботі розглядається загальний випадок тривимірної нестаціонарної нелінійної задачі з можливістю аргументованого переходу до більш простих постановок, якщо дозволяють конкретні геометричні і теплові параметри.
Одним з мало використовуваних у теплофізиці прийомів вирішення нелінійних задач теплопровідності є попереднє перетворення рівняння теплопровідності за допомогою підстановок Кірхгофа і Гудмена з метою спрощення математичної моделі та самого вирішення задачі. Так, рівняння (1) і його початкові та граничні умови після перетворення Кірхгофа ? = dT мають вигляд
(? > 0, 0 < x < l, 0 < y < l, 0 < z < l);
ПУ: ? = ?(Tп(x, y, z)) (? = 0, 0 ? x ? l, 0 ? y ? l, 0 ? z ? l);ГУ I: ? = ?(TI( y, z ,?)) (? > 0, x = l, 0 ? y ? l, 0 ? z ? l);ГУ II: - ??/?y = qII(x, z, ?) (? > 0, 0 ? x ? l, y = l, 0 ? z ? l);ГУ III: - ??/?z = ?III(x, y, T(?), ?) (T(?) - Tс(?)) (? > 0, 0 ? x ? l, 0 ? y ? l, z = l);ГУ IIq=0: ??/?x = 0 (? > 0, x = 0, 0 ? y ? l, 0 ? z ? l);ГУ IV: - ??/?y|y=+0 = - ??/?y|y=-0 = q, T(?)|y=+0-T(?)|y=-0 = Rт(x, z, T(?)) q
(? > 0, 0 ? x ? l, y = 0, 0 ? z ? l);ГУ IVR=0: ??/?z|z=+0 = ??/?z|z=-0, T(?)|z=+0 = T(?)|z=-0
(? > 0, 0 ? x ? l, 0 ? y ? l, z = 0).На думку автора дисертації, низька затребуваність зазначених прийомів пояснюється труднощами оберненого перетворення, особливо у випадках подання ТФХ кусково-безперервними функціями або при розв'язанні задачі теплопровідності для багатошарових об'єктів з залежним від температури тепловим контактом між шарами. Показано, що позбутися проблем такого роду можна, якщо ввести загальний для всіх видів функціонального наближення ТФХ алгоритм оберненого перетворення та додати до функції прямого перетворення додаткові коефіцієнти для узгодження її значень на стику шарів. При цьому вдається з великою точністю вирішити нелінійні задачі для одношарової та багатошарової пластин. У багатошаровому випадку інтегральна підстановка загального вигляду дозволила, крім усього іншого, згладити негативний ефект від різкого контрасту властивостей сусідніх шарів. Ці прийоми та отримані з їхньою допомогою результати використовуються в дисертації при методичних дослідженнях і як процедури швидкого вирішення одновимірних нелінійних задач.
Оскільки основним інструментом проведення запланованих теплофізичних досліджень були обрані чисельні методи, питанням дискретизації математичної моделі в дисертації приділена найпильніша увага. Метод скінченних різниць є, як уявляється, методом, що найбільш повно задовольняє мету роботи, хоча і не виключається можливість використання інших методів дискретизації. Що стосується схем розрахунків, то вирішено опиратися тільки на неявну і явно-неявну (Кранка - Ніколсона) схеми і ті з них, які забезпечують другий порядок точності.
Крім широкого застосування підстановок Кірхгофа і Гудмена, у дисертації при звертанні до чисельних методів розв'язання задач теплопровідності використовуються такі методичні прийоми, що забезпечують збільшення точності та швидкості вирішення:
- метод ітерацій, що дає можливість одержати більш стійке розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, ніж прямі (безітераційні) підходи, скористатися верхньою або нижньою релаксацією (прискоренням або заспокоєнням) і способами ітераційної регуляризації;
- керований підбор коефіцієнта релаксації за запропонованим дисертантом алгоритмом, що забезпечує близьку до оптимального швидкість збіжності вирішення за допомогою аналізу зміни температур на попередніх ітерац
- Київ+380960830922