Содержание
Глава 1. Введение 3
1.1. Концепция ультраметрической диффузии 3
1.2. Первые аналитические модели 8
1.3. Ультрамстричсскис пространства п р-адичсскнс числа 1*1
1.4. Цели настоящей работы 17
Глава 2. р-Адическое описание ультраметрической диффузии 18
2.1. 7>Аднчсскос уравнение ультраметрической диффузии 18
2.1.1. Матрица переходов на ультраметрической решетке 19
2.1.2. Параметризация матрицы Парнзи р-адичсскими числами. Континуальный
продельный переход 20
2.2. Методы решения задач Коши 22
2.2.1. Задача Коши на Qp 22
2.2.2. Задача Коши на Вг 24
2.3. Задача о распаде начального состояния 25
2.3.1. Общая постановка задачи 25
2.3.2. Характерные типы релаксации 28
2.4. Задача об эволюции распределения 32
2.4.1. Эволюция распределения вне стартового бассейна при отсутствии
границы 32
2.4.2. Эволюция распределения внутри и вне стартового бассейна при наличии
границы 33
2.4.3. Средние характеристики распределения. 35
Глава 3. Трансляционно-неинварнантные модели ультраметрической диффузии 39
3.1. Базис р-адических всплесков на ультраметрической решетке 40
3.2. Трансляционио-исипвариаитныс модели ультраметрической диффузии 45
3.3. Задача о распаде начального состояния 51
Глава 4. Описание кинетики повторного связывания СО миоглобпном моделью ультраметрической диффузии 55
4.1. Кинетика повторного связывания СО мпоглобином 56
4.2. р-Ад и чес кая модель 57
4.2.1. Решение 58
1.2.2. Сравнение теоретических результатов с экспериментальными 60
Глава 5. Заключение 62
Приложение А. р-Аднчсскнс числа 64
АЛ. р-Адичоская ио])ма 64
А.2. Поле р-аднческнх чисел Qp 64
А.З. Пространство р-аднческнх чисел 65
A.4. Аддитивные характеры поля Q;> 67
Приложение В. Интегрирование на поле р-адпчсских чисел 67
ВЛ. Инвариантная мера в поле Q,,. 67
B.2. Некоторые часто используемые интегралы 68
B.З. р-Аднческое преобразование Фурье 69
Приложение С. Дополнительные утверждения 69
C.1. Фактормножество Br/Zp 70
С.2. Примеры базисов 73
Слисок литературы 76
Глава 1. Введение
Термин «ультрамстрнчсская диффузия» возник в физической литературе почти сразу после выхода известных работ о нарушении репличиой симметрии в спиновых стеклах (1| (см. также [2]). В этих работах было показано, ч'го. во-первых» спии-стокольиая фаза характеризуется множеством энергетически вырожденных равновесных состояний, реализующих локальные минимумы свободной энергии, и, во-вторых, эти состояния группируются в бассейны, вложенные друг в друга иерархическим образом. Последнее означает, что пространство спин-стекольных состояний является ультрамстри-чсскнм. Появление таких представлений не могло не стимулировать попытки описать аномальную сшш-стскольиую релаксацию в терминах случайного блуждания в ультра-мстрнчсском пространстве [3]. Подобные случайные процессы и были названы ультра-мстрпчсской ДИффуЗИСЙ.
В дальнейшем выяснилось, что многие системы, в частности, кластеры, макромо-лекуляриыс структуры II биополимеры подобны спиновым стеклам: они имеют множество состояний, реализующих локальные минимумы свободной (или потенциальной) энергии, и эти состояния, также как и в спиновых стеклах, группируются в бассейны вложенные друг в друга иерархическим образом. Системы, обладающие такими энергетическими ландшафтами, теперь принято обозначать общим термином «сложные системы»1. Одну нз последних попыток строго определить понятие «сложная система» можно найти в [б]. Ниже, под сложной системой будем понимать миогочастичную систему с «вмороженными» связями, например, макромолекулярную структуру, характеризующуюся многомерным снлыюпсрсссчсиным ландшафтом потенциальной энергии.
1.1. Концепция ультрлметрической диффузии
Формально, для описания динамики сложной системы необходимо знать зависимость потенциальной энергии системы от положения всех ее элементов. Пусть система состоит из N связанных элементов, каждый из которых обладает т степенями свободы. Введем Л^г-мериос (евклидово) пространство и сопоставим каждому состоянию системы (пространственной конфигурации элементов) вектор II = (т\...г^т) є К;Уш. Потенциальная энергия системы Ф, которая определяется взаимодействиями элементов.
^с^юпод соответствующего термина “сотрісх .яу.чістз” [4,5).
4
например. электростатическими взаимодействиями, водородными связями и Ван-де|>-Ваальсовскпмп взаимодействиями, является функцией состояния Г1. В пространстве размерности А'т+1 функция Ф(Я) задаст гиперповерхность, которая называется ландшафтом потенциальной энергии системы, или кратко энергетическим ландшафтом.
В относительно простых случаях, когда в конфигурационные перестройки вовлечено не слишком большое число элементов, энергетический ландшафт может быть задан если не аналитически, то численно. В этих случаях, на практике, часто используются компьютерные методы. Имеется труднообозримое число работ по данной теме (см., в частности, [7-10] и цитируемую там литератур}). В сложных системах, однако, существенную роль могут играть конфигурационные перестройки достаточно крупных фрагментов, включающих, например, десятки и сотни элементов. Как отмечено в [11], возникающий в сложных системах «конфликт» между локальными взаимодействиями и наложенными на систему ограничениями (вмороженными связями) порождает сильную пересеченность энергетических ландшафтов. Если N - число элементов, участвующих в перестройках, то число локальных минимумов энергетической гиперповерхности ~ АН ехр(/'А’), где V - порядка единицы [12,13]. Именно для подобных случаев, которые наиболее интересны с теоретической точки зрения, прямое описание энергетических лаидшас]>тов н, следовательно, динамики системы становится невозможным из-за пс]К'-ализуомостп вычислений. Такого рода принципиальные трудности вынуждают искать упрощающие подходы. Один из таких подходов, основанный па методе отображения многомерных сильно пересеченных ландшафтов в иерархические графы, был развит в работах Стилл Нигера и Вебера [14] и Беккера и Карплуеа [15].
Стиллингср и Вебер ввели приближение называемое «отображение в минимумы» [14]. В рамках данного приближения, предполагается, что из любого конфигурационного состояния система достигает ближайшего квазирашювсспого состояния - ближайшего локального минимума - за время существенно меньшее, чем время жизни в локальном минимуме. Ближайшее квазиравновсснос состояние можно определить путем прямой минимизации энергии вдоль траектории иапскорспшсго спуска по поверхности энергетического ландшафта. Формально, эта процедура ]>сализуется путем решения уравнения
= - VII Ф(Щ«)) •
где 5 - параметрическое «время» [14]. Все конфигурации, которые отображаются в минимум а, образуют «притягивающий бассейн» В (а) С ЕЛш. Каждый притягивающий
бассейн В (а) является открытой связной областью. Бассейны В (а), отвечающие различным а, не пересекаются.
Развивая этот подход Беккер и Карплус ввели в рассмотрение так называемые «су-лсрбасссПиы» [15). Сугюрбасссйн £Е(а') = U^(a) С(:ть объединение всех притягивающих бассейнов В (се), разделенных активационными барьерами меньше некоторой величины Е (см. рисунок 1).
Далее они предложили процедуру «топографировашш» энергетического ландшафта, то есть объединение притягивающих бассейнов в супербасссйиы с. использованием иерархии значений параметра Е: Е\ < £2 < ■ • • < £*■ При этом множество локальных минимумов естественным образом представляется как объединение иерархически вложенных друг в друга бассейнов минимумов. То есть, каждый из больших бассейнов, разделенных высокими активационными барьерами, подставляет собой объединение бассейнов меньшего масштаба, разделенных более низкими барьерами, каждый из этих меньших бассейнов, в свою очередь, является объединенном еще меньших, и т.д. В результате, многомерная энергетическая поверхность Ф(Г1) может быть отображена в древообразный граф (У(Ф) - своего рода иерархический «скелет» ландшафта [15-18]. Граф отражает иерархию соотношений вложений между бассейнами различных масштабов и иерархию активационных барьеров, разделяющих бассейны.
Метод иерархического отображения позволяет описывать динамику системы в терминах переходов между бассейнами минимумов. Если определить временной масштаб наблюдения как время, которое необходимо для установления равновесия в бассейне ВЕ(а’) , то динамика системы на этих временных масштабах будет определяться только переходами между различными бассейнами Bh(a), а не переходами внутри них.
РИС. 1. Схематическое изображение супсрбасссйпа состояний на многомерном ландшафте.
- Київ+380960830922