Динамика вибрационных машин с параметрическим возбуждением

2
Оглавление
Введение...................................................................5
Глава 1. Анализ исследований по параметрически возбуждаемым
колебаниям упругих систем машин..................................16
1.1. Обзор работ по параметрически возбуждаемым колебаниям механических систем....................................................16
1.2. Краткие выводы...................................................29
1.3. Постановка задач.................................................30
Глава 2. Устройства и способы периодического изменения параметров
колебательных систем.............................................32
2.1. Анализ существующих устройств для периодического изменения параметров жесткости...................................................32
2.2. Использование нелинейных свойств упругих элементов и нелинейного возмущения.................................................36
2.3. Разработка новых устройств для периодического изменения энергоемких параметров системы.........................................39
2.4. Краткие выводы...................................................46
Глава 3. Численные методы исследования устойчивости параметрически
возбуждаемых систем..............................................48
3.1. Математические модели параметрически возбуждаемых систем
и особенности их машинной реализации...............................48
3.2. Метод матриц перехода............................................51
3.3. Метод анализа устойчивости, основанный на построении характеристического уравнения..........................................54
3.4. Критерий устойчивости, не связанный с построением характеристического уравнения..........................................55
3.5. Метод обобщенных определителей Хилла.............................59
3
3.6. Пример. Влияние гироскопических и позиционных неконсервативных сил на области параметрического резонанса вращающегося вала, загруженного продольной периодической силой.........................60
3.7. Краткие выводы..................................................72
Глава 4. Использование комбинационного параметрического резонанса
для усовершенствования вибрационных машин.......................74
4.1. Некоторые принципы создания энергосберегающих вибрационных машин и технологий..................................................74
4.2. Особенности комбинационного параметрического резонанса..........77
4.3. Выбор и обоснование динамической и математической моделей вибро1машины........................................................79
4.4. Дифференциальные уравнения движения.............................80
4.5. Определение резонансных зон вибромашины.
Аналитическое решение............................................82
4.6. Определение критических угловых скоростей инерционного элемента............................................................91
4.7. Определение резонансных зон. Численное решение..................96
4.8. Краткие выводы...............................................100
Глава 5. Динамика вибромашины при комбинационном параметрическом
резонансе......................................................102
5.1. Приближенные нелинейные дифференциальные уравнения движения вибромашины...............................................102
5.2. Вариационный метод Бубнова-Галеркина...........................104
5.3. Комбинационный резонанс при линейном демпфировании.............106
5.4. Влияние нелинейного демпфирования..............................122
5.5. Принцип действия вибрационной машины...........................129
5.6. Динамическая модель двухмассной параметрической вибромашины........................................................137
5.7. Экспериментальное исследование.................................142
4
5.7.1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) вибрационной машины с комбинационным параметрическим возбуждением....................................................142
5.7.2. Синхронизация параметрических вибровозбудителей...........153
5.7.2.1. Общие сведения.....................................153
5.7.2.2. Синхронизация качаний бегунков.....................154
5.7.2.3. Синхронизация параметрических вибровозбудителей 156
5.8. Краткие выводы..................................................161
Глава 6. Влияние паразитных колебаний на динамику и прочность вибрационных машин с поршневым пневматическим возбуждением...........................................................165
6.1. Общие замечания.................................................165
6.2. Дифференциальные уравнения движения вибромашины с учетом упругости крепления вибропривода к лотку............................168
6.3. Паразитные колебания вибромашины................................181
6.4. Экспериментальное исследование динамики и прочности вибрационных транспортно-технологических машин с поршневым пневматическим возбуждением колебаний...............................188
6.4.1. Методика испытаний........................................188
6.4.2. Экспериментальные результаты..............................189
6.5. Устранение паразитных колебаний и повышение прочности
лотков...........................................................203
6.6. Краткие выводы..................................................206
Заключение.............................................................208
Библиографический список................................................216
Приложения.............................................................230
5
Введение
Актуальность темы. В данной работе изучаются параметрические колебания вибрационных машин с двух точек зрения. С одной стороны, они полезны и служат основой рабочих процессов машин вибрационного принципа действия. С другой стороны, они вредны, являясь дополнительными (паразитными) колебаниями, и могут послужить причиной серьезных аварий и катастроф, оказать вредное влияние на человека.
За четыре десятилетия, прошедшие со времени осуществленных В.В. Болотиным первых нелинейных исследований параметрических резонансов, возникла общая нелинейная теория параметрических колебаний. Развитие этой теории и многочисленные прикладные исследования в области параметрически возбуждаемых колебаний выполнены Г. Шмидтом. Имеется обширная литература по параметрически возбуждаемым колебаниям упругих систем машин, в том числе ставшие классическими, книги В.В. Болотина, Г. Шмидта, В.А. Якубовича и В.М. Старжинского.
Малоизученным в отечественной и зарубежной научно-технической литературе является вопрос об использовании в вибромашинах параметрического способа возбуждения. В работах В.Н. Беловодского, В.И. Бересневича, С.Л. Цыфанского, М.М. Утимишева и К.Ш. Ходжаева, М.В. Хвингия положено начало исследованиям в этом направлении. В этих работах изучаются вибромашины с параметрическим возбуждением с одной степенью свободы, настроенные на простой параметрический резонанс. Возникающие в вибромашинах динамические эффекты типа самосинхронизации неуравновешенных роторов с большой обстоятельностью исследуются в цикле работ И.И. Блехмана, Б.П. Лаврова, Р.Ф. Нагаева. Вопросы стабилизации режимов работы резонансных вибромашин на основе использования явления авторезонанса освещаются в работах В.И. Бабицкого, В.К. Асташева.
6
В настоящее время вопросы, связанные с колебаниями механических систем составляют весьма обширный раздел прикладной механики, опирающийся главным образом на фундаментальные отечественные исследования в области нелинейной теории колебаний. Этот раздел механики располагает эффективными методами и большим количеством решенных задач. Вместе с тем развитие современной техники постоянно выдвигает все новые актуальные задачи и проблемы, связанные с изучением колебаний в упругих системах машин.
Вибрационные машины и технологии применяются практически во всех сферах человеческой деятельности, начиная с миниатюрных устройств для медицинских и косметических целей и кончая мощными виброустановками для горнорудной промышленности. Один из наиболее эффективных способов повышения производительности, снижения энергетических затрат вибромашин основан на явлении резонанса. В колебательной системе, находящейся в резонансном состоянии, упругие и инерционные силы взаимно уравновешиваются, а энергия возбудителя колебаний расходуется только на преодоление диссипативных сил. При этом система совершает собственное движение. Поэтому резонансные машины являются наиболее эффективными. Однако реализация на практике возможностей резонансных машин представляет собой сложную проблему. Основной трудностью практического использования резонансных машин является их высокая чувствительность к изменению технологической нагрузки и параметров колебательной системы. Для повышения стабильности резонансных машин на практике часто вынуждены идти на искусственное снижение добротности колебательной системы.
Большой практический интерес представляет проблема использования в вибромашинах параметрического резонанса. Анализ схем резонансных вибромашин показывает, что из четырех известных способов возбуждения резонансных колебаний механических систем: силового, кинематического, автоколебательного и параметрического, только последний не получил пока практического применения в вибрационной техники. В то время как параметрический резо-
7
нанс имеет существенные преимущества по сравнению с обычным резонансом вынужденных колебаний. Он возникает не при одном, а при бесконечном множестве значений частоты возбуждения, лежащих внутри областей неустойчивости состояния равновесия системы. Амплитуда колебаний при параметрическом резонансе возрастает по закону геометрической прогрессии, что делает выгодным его использование в вибрационных дозаторах. Инвариантность параметрического закона колебаний к выбору начальных условий запуска вибромашины обеспечивает практически абсолютную устойчивость параметрического режима колебаний. Амплитуду параметрических колебаний можно регулировать в широких пределах практически при неизменной частоте колебаний. Приводной двигатель при запуске параметрической вибромашины преодолевает в основном только момент сил трения в подшипниках, разгоняясь практически в режиме холостого хода. Это позволяет снизить установочную мощность приводного двигателя и, следовательно, энергоемкость машины в целом.
В отличие от вибротехники в радиоэлектронике, вычислительной и лазерной технике параметрический способ возбуждения колебаний находит широкое полезное применение. Такое положение дел в вибротехнике нельзя признать удовлетворительным, если принять во внимание достигнутый прогресс в этом направлении в других отраслях техники.
Дальнейшее развитие вибротехники связано с решением проблемы создания экологически чистых энергосберегающих машин и технологий. Энергопотребление служит одним из главных показателей техники, определяет ее эффективность и уровень новых разработок. В данной работе для решения указанной проблемы впервые используется комбинационный параметрический резонанс. Комбинационный резонанс имеет по сравнению со всеми другими резонансами существенное преимущество, заключающееся в возможности расширения резонансной зоны и увеличения амплитуды колебаний при увеличении демпфирования. Комбинационный параметрический резонанс может быть реализован только в системах с двумя и более степенями свободы и проявляет-
ся как результат взаимодействия двух различных собственных форм колебаний осцилляторов с частотами со1 и си.-. Если использовать систему параметрически связанных нелинейных осцилляторов как одну из основных компонент вибрационных устройств, то появляется принципиальная возможность создания нового класса резонансных машин, удовлетворяющих принципу самосинхронизации, что открывает новые возможности в вибротехнике. Применение комбинационного параметрического резонанса для возбуждения колебаний вибромашин позволяет наиболее полно использовать динамические свойства резонансных машин без средств автоматического управления. Разработка и создание энергосберегающих вибрационных машин с комбинационным параметрическим возбуждением является новым и перспективным направлением в вибротехнике.
Параметрически возбуждаемые колебания описываются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Только в некоторых случаях эти уравнения разрешаются в элементарных или табулированных функциях, как правило, могут быть получены лишь численные решения. Широкое внедрение численных методов для практических целей требует их достаточной простоты и надежности. Таким образом, вопросы разработки эффективных численных алгоритмов для анализа периодических систем являются актуальными.
В круг проблем, связанных с параметрическими колебаниями, входит задача динамики и прочности рабочего органа (лотка) вибрационной транспортирующей машины с поршневым пневматическим возбудителем колебаний. Здесь параметрические колебания являются дополнительными (паразитными) колебаниями, возникающими из-за погрешностей изготовления, монтажа и специфических особенностей конструкции вибромашины. В настоящей работе изучаются пневматические вибромашины, которые применяются для транспортирования насыпных взрывоопасных продуктов. Взрывоопасные условия производства предъявляют к конструкциям лотков вибромашин исключительно же-
9
сткие требования в отношении их прочности, так как образование усталостных трещин в лотках приводит к катастрофическим последствиям (взрыву). В силу сказанного, понятно значение исследования динамики и прочности этих вибромашин, а также разработки мер по повышению прочности и надежности их рабочих органов.
Це ль работы и задачи исследований. Разработать теоретические основы и конструкции энергосберегающих вибрационных машин на основе использования комбинационного параметрического резонанса. Изучить динамику и прочность вибрационных транспортно-технологических машин с поршневым пневматическим возбудителем колебаний при одновременном учете кинематического и параметрическою возбуждения. Конкретными задачами исследования явились:
1. Разработка и создание новых устройств для периодического изменения во времени энергоемких параметров механических колебательных систем;
2. Разработка эффективных алгоритмов расчета областей неустойчивости параметрически возбуждаемых систем и ускоренных методов построения переходных процессов;
3. Изучение динамики вибромашин при комбинационном параметрическом резонансе и создание основ теории этих машин;
4. Изучение динамики и прочности вибротрапспортирующих органов пневматических вибромашин с учетом упругости крепления виброиривода к рабочему органу;
5. Разработка рекомендаций по снижению паразитных колебаний и повышению прочности вибротранспортирующих органов пневматических машин.
Методы нсследовани$(. В основу изучения динамики вибромашин положены дискретные математические модели. Исследование динамики поставленных задач проводится методами аналитической механики, теории устойчивости, нелинейной теории колебаний, а также экспериментальными методами.
10
Напряженно-деформированное состояние рабочих органов пневматических вибромашин определялось путем тензометрирования натурных конструкций.
Научная новизна работы определяется следующими основными положениями.
1. Разработана методология решения проблемы создания высокоэффективных энергосберегающих вибрационных машин на основе использования колебательных систем со многими степенями свободы, реализации комбинационного параметрического резонанса и явления самосинхронизации.
2. Предложены новый способ и устройства для периодического изменения энергоемких параметров механических колебательных систем. Эти устройства компактны и являются достаточно простыми в конструктивном отношении по сравнению с существующими. На основе предложенного способа изобретены и запатентованы новые вибрационные устройства, принцип действия которых основан на комбинационном параметрическом резонансе.
3. Предложен новый вариант конструктивного исполнения устройства для периодического изменения жесткости колебательной системы в случае использования в качестве упругого элемента гибкого стержня, нагруженного продольной периодической силой. При этом гибкий стержень заменяется гибким валом с большим внутренним трением, что приводит к существенному расширению резонансной зоны и снижению энергоемкости вибромашины.
4. На основе метода матриц перехода предложен эффективный критерий асимптотической устойчивости линейных периодических систем, который не требует вычисления мультипликаторов. Сущность метода базируется на ускоренном векторном способе построения переходных процессов.
5. Впервые в вибротехнике для возбуждения и стабилизации резонансных колебаний вибромашин используется комбинационный параметрический резонанс, изо позволяет повысить стабильность резонансного режима без средств автоматического управления.
11
6. Динамика вибромашины описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Показано, что в системе реализуется многократный комбинационный параметрический резонанс суммарного типа: со=Сд\+о)ъ где со - частота параметрического возбуждения, СО\,ОУ1 - частоты генерации соответственно бегунков и рабочего органа. Указанное арифметическое соотношение выполняется во всей резонансной области, что означает синхронизацию машины на комбинационных частотах.
7. Установлен явный вид преобразования Ляпунова, с помощью которого линейная система уравнений с периодическими коэффициентами (уравнения первого приближения) преобразуется в систему уравнений с постоянными коэффициентами, что существенно облегчает определение резонансных зон (областей неустойчивости) вибромашины.
8. Обнаружен эффект расширения резонансной зоны вибромашины при увеличении линейного демпфирования рабочего органа. Этот эффект может быть реализован на практике, так как инерционный элемент вибромашины не подвержен действию технологической нагрузки.
9. Определены критические угловые скорости инерционного элемента вибромашины, связанные с прохождением собственных частот системы.
10. Установлено, что максимальные амплитуды колебаний вибромашины не зависят от нелинейных восстанавливающих сил.
11. В случае действия нелинейного демпфирования при определенном увеличении линейного демпфирования возможно расширение резонансной зоны и установление колебаний бегунков с большими амплитудами в окрестности частоты параметрического возбуждения, соответствующей точной настройке на комбинационный резонанс.
12. Показано, что вследствие качаний бегунков и установления между ними определенной фазировки их центр масс описывает приблизительно окружность в плоскости вращения инерционного элемента, т.е. автоматически образуется неуравновешенность инерционного элемента. Возмущающая сила
12
параметрического вибровозбудителя представляет собой, в конечном счете, центробежную силу инерции. Однако в отличие от обычного центробежного (дебалансного) вибратора параметрический вибровозбудитель более эффективно преобразует энергию вращения инерционного элемента в энергию механических колебаний рабочего органа. При этом вибромашина приобретает новые не вполне очевидные свойства.
Испытания лабораторных образцов вибромашины показали, что при одинаковой мощности и эквивалентных эксцентриках резонансная зона вибромашины при комбинационном параметрическом возбуждении более чем в четыре раза шире резонансной зоны вибромашины при резонансе вынужденных колебаний. Причем работа вибромашины с силовым возбуждением неустойчива из-за проявления эффекта Зоммерфельда.
13. В процессе испытаний вибромашины обнаружены эффекты самосинхронизации параметрических вибровозбудителей. При этом одновременно реализуются эффекты как маятниковой, так и роторной самосинхронизации. Открытая X. Гюйгенсом более трехсот лет тому назад самосинхронизация механических объектов типа маятников (осцилляторов) впервые используется для нужд вибротехники.
Достоверность полученных результатов. Основные положения и выводы диссертации базируются на строгом применении математических методов, согласии результатов с общими теоремами механики, теории колебаний и подтверждены экспериментальными результатами. Численные расчеты выполнены на ЭВМ с использованием алгоритмов, обеспечивающих контроль точности вычислений.
Теоретическая и практическая значимость. В диссертации разработаны основы теории вибрационных машин с параметрическим возбуждением. Полученные теоретические результаты являются существенным продвижением в изучении этого класса задач динамики машин. На основе выполненных теоретических разработок созданы лабораторные образцы вибромашин, принцип
13
действия которых основан на комбинационном параметрическом резонансе. Испытания этих машин показали их высокую эффективность при небольших габаритах и массе привода. Результаты работы могут быть использованы как база создания нового класса высокоэффективных энергосберегающих вибрационных машин различного технологического назначения. Это дает возможность переоснастить отрасли промышленности, использующие вибрационные технологии, более совершенным виброоборудованием, чем выпускаемое сегодня. Аналогов вибромашин, выпускаемых зарубежными фирмами, не имеется, что позволяет за короткий срок повысить экспортный потенциал РФ.
Реализация результатов. На основе полученных в данной работе теоретических результатов спроектированы и изготовлены высокоэффективные лабораторные образцы энергосберегающих вибрационных машин, принцип действия которых основан на комбинационном параметрическом резонансе. Теоретические идеи, объясняющие принцип действия этих машин, имеют эвристическое значение. Созданные параметрические вибрационные устройства представляют собой компактные универсальные экспериментальные установки для демонстрации свободных, вынужденных к параметрических колебаний, динамической неустойчивости, эффекта Зоммерфельда, явления самосинхронизации. Эти установки используются в учебном процессе Нижегородского государственного технического университета в курсах «Теоретическая механика», «Теория колебаний». Результаты работы по динамике и прочности лотков вибрационных транспортно-технологических машин с поршневым пневматическим возбудителем колебаний внедрены на предприятиях химической промышленности г. Дзержинска (акты внедрения представлены в приложении к диссертации).
Пути дальнейшей реализации. Вибрационные машины и технологии применяются практически во всех отраслях промышленности. Существующее виброоборудование не полностью удовлетворяет современным требованиям по эффективности, энергопотреблению и безопасности условий труда. Использо-
14
вание результатов диссертации дает возможность переоснастить отрасли промышленности, использующие вибрационные технологии, новым высокоэффективным резонансным виброоборудованием. Например, замена существующих виброплощадок для формования и уплотнения бетонных смесей в промышленности сборного железобетона новыми резонансными виброплощадками позволит повысить их эффективность, улучшить качество и долговечность продукции при одновременном сокращении расхода цемента и уменьшении энергоемкости привода, снизить уровень шума. Это даст огромный техникоэкономический и социальный эффект.
Апробация работы. Результаты рассмотрения задач, составивших основу диссертации, докладывались и получили одобрение на I конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Н.Новгород, 1987г.), на Всесоюзной конференции «Волновые и вибрационные процессы в машиностроении» (Н.Новгород, 1989г.), на международных научно-технических конференциях «Проблемы машиноведения» (Н.Новгород, 1997г.), «Проблемы проектирования, испытаний, эксплуатации и маркетинга автотракторной техники, двигателей внутреннего сгорания, строительно-дорожных машин, транспортнотехнологических комплексов и вездеходов», «Испытания материалов и конструкций» (Н. Новгород, 2000г.), на международном симпозиуме «Машины и механизмы ударного, периодического и вибрационного действия» (Орел, 2001г.). В полном объеме диссертация докладывалась и получила одобрение на объединенном заседании кафедр «Теоретическая механика» и «Строительная механика корабля и сопротивление материалов» Нижегородского государственного технического университета (2001 г.).
Структ>гра и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, библиографического списка и приложения. Содержание диссертации изложено на 229 страницах, включая библиографический список из ] 50 названий.
15
Содержание диссертации
В первой главе дан краткий обзор работ по параметрически возбуждаемым колебаниям упругих систем машин и сформулированы задачи исследований. Показывается приоритет отечественных ученых в разработке теории параметрических колебаний.
Во второй главе проводится анализ способов и устройств для периодического изменения во времени энергоемких параметров колебательных систем параметрически возбуждаемых вибромашин. Предложены новые устройства для периодического изменения энергоемких параметров механических систем.
В третьей главе рассматриваются численные методы анализа устойчивости дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Предлагается эффективный критерий асимптотической устойчивости, который не требует вычисления мультипликаторов. Сущность метода базируется на ускоренном векторном способе построения переходных процессов.
В четвертой главе проводится обоснование использования комбинационного параметрического резонанса для усовершенствования вибромашин. Определяются резонансные зоны (области неустойчивости) как аналитическими, так и численными методами.
В пятой главе проводится систематическое изучение динамики вибромашины при комбинационном параметрическом резонансе на основе вариационного метода Бубнова-Галеркина. Приводятся результаты экспериментального исследования динамики вибромашины.
В шестой главе изучаются вопросы динамики и прочности рабочих органов (лотков) вибрационных транспортно-технологических машин с поршневым пневматическим возбуждением. Особое внимание уделяется экспериментальным методам исследования натурных конструкций пневматических вибромашин. Даются практические рекомендации по устранению параметрических паразитных колебаний, повышению прочности лотков и снижению их металлоемкости.
16
Глава 1
АНАЛИЗ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫМ КОЛЕБАНИЯМ УПРУГИХ СИСТЕМ МАШИН
1.1. Обзор работ по параметрически возбуждаемым колебаниям механических систем
Конструкции современных машин развиваются в направлении увеличения удельной мощности и быстроходности при одновременном уменьшении жесткости их элементов. В связи с этим существенно возрастает влияние колебательных процессов на работу машин, так как именно вибрационное состояние часто определяет ресурс и надежность конструкции, интенсивность износа подшипников, точность выполнения технологического процесса и т. д..
Колебательные процессы и вибрация играют двоякую роль. С одной стороны, они вредны и могут послужить причиной серьезных аварий и катастроф, оказать вредное влияние на человека. С другой стороны, они полезны и служат основой рабочих процессов машин вибрационного принципа действия. В настоящее время вопросы, связанные с колебаниями механических систем, составляют весьма обширный раздел прикладной механики, располагающей эффективными методами и большим количеством решенных задач. Вместе с тем, развитие современной техники постоянно выдвигает вес новые актуальные задачи и проблемы, связанные с изучением колебаний в упругих системах машин, приборов и аппаратуры.
Особый класс составляют упругие системы, в которых при определенных условиях наблюдается параметрическое возбуждение колебаний. В научной литературе для параметрических колебаний упругих систем часто используется
17
термин «динамическая устойчивость». Параметрически возбуждаемые колебания математически описываются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Согласно Л.А. Андронову и М.А. Леонтович [1], соответствующие динамические системы можно трактовать как системы с периодически изменяющимися параметрами. К этому классу примыкают также задачи динамической устойчивости конструкций, уравнения возмущенного движения которых содержат коэффициенты, периодически изменяющиеся во времени. При этом оказывается, что возможны два способа периодического изменения параметров системы:
• способ непосредственной модуляции квазиулругих или инерционных параметров (так называемое внешнее параметрическое возбуждение)
• изменение параметров за счет колебаний вынужденного режима (автопараметрическое возбуждение). Явление неустойчивости в таких системах называют параметрическим резонансом.
Первое обстоятельное исследование параметрически возбуждаемых из-гибных колебаний шарнирно опертого стержня, сжатого продольной пульсирующей силой, было выполнено Н.М. Беляевым [43]. Полученные им результаты обобщили на случай различных опорных закреплений Н.М. Крылов и Н.Н. Боголюбов [86].
Н.Е. Кочин [85] обнаружил и исследовал явление параметрического резонанса в системе коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания. Этими работами было положено начало новому разделу механики деформируемого твердого тела - динамической устойчивости упругих систем. Впоследствии ряд задач этого типа был решен В.А. Боднером [50], Л.Н. Марковым [96] и другими авторами.
Упомянутые выше работы характеризуются тем, что задача о динамической устойчивости в них сводится к одному дифференциальному уравнению типа Матье-Хилла [51]. Однако уже В.Н. Челомей [129] показал, что эта задача в общем случае приводит к системам дифференциальных уравнений с перио-
18
дическими коэффициентами. Б.З. Брачковский [56], В.В. Болотин [51] и Г.Ю. Джанелидзе [70] установили класс задач, которые могут быть точно сведены к разделяющимся уравнениям типа Матье-Хилла.
Обширные исследования в области динамической устойчивости упругих систем выполнены В.В. Болотиным и систематизированы в его фундаментальной монографии [51]. Эта монография была переведена в 1961 году на немецкий, а в 1964 году на английский языки и сыграла существенную роль в том, что во многих странах мира принялись за исследование параметрических колебаний. Отметим, что за рубежом первые работы в этом направлении появились несколько позднее [142, 143].
Области неустойчивости для систем с периодически изменяющимися параметрами располагаются вблизи возбуждающихся частот щ ±(0.\
9 =--------- (у = 1,2,...п; к= 1,2,...).
к
Здесь со,.- парциальные частоты собственных колебаний системы. В работе [51] резонансы с / = у , т.е. О = 2со1 /к названы основными, а / Ф] комбинационными. Там же для расчета областей неустойчивости предложен метод обобщенных определителей Хилла. Уравнение для определения характеристических показателей по методу Хилла представляется в виде бесконечномерного определителя. Если бесконечномерный определитель оказывается сходящимся, то он допускает редукцию к определителям конечного порядка. Дня основных резонансов В.В. Болотин по аналогии с системами с одной степенью свободы развивает метод определения границ областей неустойчивости в пространстве параметров системы в общем случае путем определения таких комбинаций параметров, которые допускают периодические решения периода Т или 27'. Здесь Т -период коэффициента периодической системы. Условиями существования ненулевых периодических решений является равенство нулю некоторых бесконечномерных определителей. Удерживая в бесконечном определителе ко-
19
печное число элементов, можно найти приближенное положение граничных кривых в пространстве параметров системы, соответствующих нулю бесконечного определителя. В случае быстрой сходимости бесконечного определителя метод В.В. Болотина допускает эффективную реализацию на ЭВМ.
Для обширного класса задач динамической устойчивости, к которым В.В. Болотин успешно применил этот метод, комбинационный параметрический резонанс не имеет практического значения. Вскоре вопрос о степени опасности комбинационных резонансов привлек внимание ряда математиков и подвергся дискуссии. Е. Меттлер [ 145,1461 и В.А. Якубович [132] показали, что в некоторых задачах динамической устойчивости конструкций комбинационные области неустойчивости могут оказаться шире основных (например, задача об устойчивости плоской формы полосы, изгибаемой периодическими моментами). Г. Шмидт и Ф. Вейденхаммер 1148] установили, что демпфирование может в некоторых случаях расширить области комбинационного резонанса. Перечисленные выше результаты о комбинационных резонансах получены на основе метода малого параметра. Теория параметрического резонанса для линейных систем с малым параметром фундаментально изложена в монографии В.А. Якубовича и М. Старжинского [133]. Метод малого параметра позволяет получить достаточно простые формулы первого приближения для границ областей неустойчивости, если глубина модуляции параметров, а также демпфирование в системе достаточно малы.
Численные методы исследования устойчивости линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами рассмотрены в работе В.В. Болотина [54]. Представлены две численные схемы: метод обобщенных определителей Хилла и метод матриц перехода. При составлении этих схем использована теория Флоке-Ляпунова [133].
Задача вычислительного процесса по методу Хилла состоит в определении характеристических показателей, которые обращают в нуль некоторый бесконечный определитель. Вычислительные трудности при этом связаны с
20
бесконечной размерностью этого определителя. Достаточно сильно усекая бесконечный определитель, можно найти приближенные значения характеристических показателей и, следовательно, решить вопрос об устойчивости системы. Все вычисления в методе Хилла производятся над матрицами блочной структуры, что существенно упрощает составление программы для вычислений на ЭВМ. Однако применение метода встречает затруднения при переходе к системам высокого порядка.
Метод матриц перехода основан на непосредственной численной реализации теории Флоке-Ляпунова и состоит в вычислении матрицы перехода путем непосредственного численного интегрирования системы, например, методом Рунге-Кутта [78]. После численного интегрирования проводится исследование мультипликаторов как собственных значений матрицы перехода и делается вывод об устойчивости или неустойчивости. Численная реализация алгоритма метода матриц перехода на ЭВМ отнимает много времени, однако, такого же строгого и общего альтернативного метода не существует. Фридман, Хаммонд и Цзе-Хсин Ву [142] показали возможность построения матрицы перехода в процессе однократного интегрирования.
Численным методам расчета параметрических колебаний посвящены также исследования Бенца [135,136], Бенца и Бюркле [137], Бенца и Шредера [138]. Метод конечных элементов для расчета параметрически возбуждаемых колебаний использован в работе Брауна, Хатта и Салама [133].
Согласно линейной теории, рост резонансных колебаний в областях неустойчивости происходит по экспоненциальному закону. При этом линейное трение не ограничивает амплитуду параметрических колебаний. Вопрос о необходимости исследования параметрически возбуждаемых колебаний как нелинейной задачи впервые сформулирован И.И. Гольденблатом [64]. Систематическое изучение нелинейных задач для стержней, стержневых систем, пластин и оболочек выполнено В.В. Болотиным и подытожено в его книге [51]. Здесь следует подчеркнуть, что в системах с внешним параметрическим возбу-
21
ждением нелинейность ответственна лишь за ограничения амплитуд параметрических резонансов; в самом механизме возбуждения нелинейность не принимает непосредственного участия.
Влияние нелинейного демпфирования, приводящее к ограничению амплитуд и обуславливающее существование максимальных амплитуд резонансных параметрически возбуждаемых колебаний независимо от геометрических и физических нелинейностей, изучено в работах Шмидта [149,150].
Систематическому исследованию нелинейных параметрических резонансов (как основных, так и комбинационных) посвящена содержательная монография Г. Шмидта [131] (вторая монография в мировой литературе по параметрически возбуждаемым колебаниям). Там же приведен подробный обзор работ в этой области, опубликованных до 1975 года.
Некоторые особенности нелинейных резонансных явлений в автоколебательных системах при параметрическом возбуждении рассмотрены в монографии Р.Ф. Ганиева и П.С. Ковальчука [63].
Известно, что после работ Ляпунова, исследование устойчивости периодических движений, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями, сводится к анализу линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (уравнения в вариациях для невозмущенного периодического движения [110,107,130]). Для широкого класса нелинейных систем уравнения в вариациях представляют собой дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами, которые часто могут быть истолкованы как параметрические колебания в некоторой упрощенной линейной системе. Здесь имеется ввиду, так называемая, нелинейно-параметрическая связанность колебаний. Дело в том, что из-за нелинейности внешнее возбуждение колебаний одного вида действует и как параметрическое возбуждение колебаний другого вида. Вследствие этого параметры системы, определяющие одно из парциальных колебаний, оказываются периодически изменяющимися во времени, что и обусловливает возникновение, так называемого, автопараметрического
22
резонанса. Однако не все соотношения между парциальными частотами различных форм и частотами внешних воздействий приводят к автопарамеч риче-скому резонансу, так как лишь некоторые из них благоприятны для осуществления перекачки энергии из одной формы в другую. Основная особенность этих соотношений состоит в том, что они должны удовлетворять условиям неустойчивости нулевого решения уравнений в вариациях для невозмущенного периодического движения.
По-видимому, впервые в работе В.О. Кононенко [84] при исследовании колебаний твердого тела относительно центра масс экспериментальным путем была обнаружена возможность автопараметрического возбуждения субгармонического резонанса порядка 1/2. Было показано, что геометрическая нелинейность упругих связей твердого тела, колеблющегося около центра масс под действием внешней периодической силы, действующей в направлении одной из главных координат, может явиться причиной интенсивных колебаний большой амплитуды по другим координатам, по которым не действуют внешние силы, т.е. имеет место квазиортогональное возбуждение в области субгармонического резонанса. Аналогичную задачу в несколько иной постановке рассмотрели Генри и Тобайас [143], которые нашли другую ветвь параметрических резонансов, соответствующую супергармонической области.
Ряд весьма важных результатов теоретического и экспериментального характера по взаимодействию вынужденных и параметрически возбуждаемых колебаний получен В.В Болотиным [51], Г.Ю. Джанелидзе [70], Ибрагимом и Барром [144].
Нелинейно-параметрическая связанность продольных и крутильных колебаний упругого стержня рассмотрена в работах автора [26,27]. Вопросы параметрической трансформации продольных волн в изгибные в тонких стержнях рассмотрены в работе В.И. Ерофеева, В.В. Кожаева, А.И. Потапова [75].
Нелинейно-параметрические колебания системы „пружина-масса” рассмотрены в работе М.В. Хвингии, А.М. Багдоевой, Д.Т. Габададзе и др. [122].