Потоки частиц альбедо из атмосферы Земли и от других небесных тел

-2-
ОГЛАВЛЕНИЕ
В в е д е н и е ................................................ 5
Глава I. Уравнения ядерно-каскадного процесса и их решения... 9
§1.1 Функции вероятности і взаимодействия...................10
§1.2 Уравнения ядерно-каскадного процесса и их связь с
функциями вероятности і взаимодействий.................16
§1.3 Метод Монте-Карло, его модификации и их применение
при расчете частиц альбедо.............................21
Глава II. Альбедо нейтронов, протонов, электронов и фотонов
из атмосферы Земли....................................34
§2.1 Потоки нейтронов альбедо из атмосферы Земли.............34
§2.1.1 Угловые распределения интенсивности нейтронов
альбедо.............................................. 37
§2.1.2 Дифференциальные энергетические спектры
интенсивности нейтронов альбедо.......................41
§2.1.3 Дифференциальные и интегральные энергетические
спектры потоков нейтронов альбедо.....................41
§2.1.4 Широтная зависимость потоков нейтронов альбедо.... 45
§2.1.5 Зависимость потоков нейтронов альбедо от
солнечной активности..................................49
§2.1.6 Обсувдение результатов и выводы....................... 51
§2.2 Потоки протонов альбедо из атмосферы Земли..........61
§2.2.1 Угловое распределение интенсивности протонов
альбедо...............................................65
§2.2.2 Дифференциальные энергетические спектры
интенсивности протонов альбедо........................69
§2.2.3 Дифференциальные и интегральные энергетические
спектры потока протонов альбедо.......................69
§2.2.4 Широтная зависимость потока протонов альбедо 70
§2.2.5 Зависимость потока протонов альбедо от
солнечной активности....................................72
§2.2.6 Бозвратное альбедо протонов...........................73
§2.2.7 Обсуждение результатов и выводы.......................76
§2.3 Альбедо электронов и (фотонов из атмосферы
Земли................................................. 81
§2.3.1 Зависимость интенсивности электронов и фотонов
альбедо от зенитного угла .......................... 90
§2.3.2 Широтная зависимость потока электронов и фотонов
альбедо............................................... 91
§2.3.3 Зависимость потоков электронов и фотонов
альбедо от солнечной активности..................... 91
§2.3.4 Бозвратное альбедо электронов ...................... 93
§2.3.5 Обсуждение результатов и выводы.......................94
§2.4 Учет влияния потока частиц альбедо при определении переходных коэффициентов ОКП-стратосфера.... 107 Глава III. Потоки частиц альбедо из атмосфер Солнца,
Венеры, Марса, из грунтов Меркурия и Луны 116
§3.1 Альбедо нейтронов, протонов и электронов из
атмосферы Венеры .................................. 121
§3.2 Альбедо нейтронов, протонов и электронов из
атмосферы марса.......................................123
§3.3 Альбедо нейтронов, протонов, электронов и
заряженных пионов из грунтов Меркурия и Луны... 126 §3.4 Альбедо протонов, нейтронов и высокоэнергичных
фотонов из атмосферы Солнца...........................131
§3.5 Радиальная зависимость интенсивности ГКЛ и
потоки частиц альбедо .............................. 135
§3.6 Обсуждение результатов и выводы.......................138
3 а к л ю ч е н и е........................................... 147
JI и т е р а т у р а........................................... 149
Приложение I. Зависимость коэффициента модуляции от
активности Солнца.............................. 170
Приложение 2. Двойное дифференциальное распределение
нуклонов в упругих нуклон-нуклонном и
нуклон-ядерном взаимодействиях................... 175
Приложение 3. Двойное дифференциальное распределение
вторичных частиц в неупругом N-А/ взаимодействии в области энергий ниже 4*5 ГэВ 178
Приложение 4. Двойные дифференциальные распределения
вторичных частиц в неупругих нуклон-ядерных
взаимодействиях.................................. 181
Приложение 5. Модель атмосферы Земли.......................... 203
Приложение 6. Моделирование развития электронно-фотонного
каскада космических лучей в атмосфере 206
Приложение 7. Аппроксимация дифференциальных потоков
частиц альбедо для различных геомагнитных широт.......................................... 219
-5-
ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена исследованию углового и энергетического распределения, широтной зависимости и временных изменений потоков частиц: нейтронов, протонов, электронов и фотонов альбедо из плотных слоев атмосферы Земли, из атмосфер внутренних планет, Солнца и грунта Луны.
В работе проведены расчеты потоков частиц альбедо.Результаты проведенных расчетов позволили обобщить результаты имеющихся экспериментов и получить полную картину пространственноэнергетического распределения и временных характеристик потоков частиц альбедо в источнике.
Актуальность теш. Потоки частиц альбедо из плотных слоев атмосферы Земли является одним из источников зарякенных и нейтральных частиц в околоземном космическом пространстве.Причем интенсивность в рассматриваемой области во многом определяется пространственно-энергетическими и временными характеристиками частиц альбедо в источнике. Необходимость создания модели околоземного космического пространства делает исследование потоков частиц альбедо из плотных слоев атмосферы актуальным.
Б СССР на нескольких пунктах производятся ежедневные регистрации общеионизирующей компоненты космических лучей в течении 25 лет.За указанный период собран богатейший материал.Обработка этих данных позволит всесторонне исследовать вариации интенсивности ГКЛ в различных интервалах энергии. Используя данные стратосферных измерений .можно экстраполировать поток на границу атмосферы и выделить из общего потока галактические космические лучи.Для решения этой задачи исследование потоков частиц альбедо в верхней атмосфере и из плотных слоев атмосферы
—6—
является необходимым и актуальным.
Исследование потоков частиц альбедо имеет ванное прикладное значение.В частности,для определения радиационной обстановки в околоземном (околопланетном) космическом пространстве и в верхних слоях атмосферы. Расчет потоков частиц альбедо позволяет определить поправку на коэффициенты перехода ОКП-страто-сфера для учета влияния частиц альбедо.
Цель работы.
1. Исследование пространственно-энергетических и временных характеристик потоков частиц альбедо из плотных слоев атмосферы Земли,из атмосфер Солнца,Венеры,Марса,грунтов Меркурия и Луны.
2. Определение поправки к коэффициентам перехода ОКП-стратосфера для учета влияния частиц альбедо.
Научная новизна. Настоящая работа является первой наиболее полной работой,в которой на основе проведенных автором расчетов произведена систематизация имеющихся экспериментальных данных и получены пространственно-энергетические и временные характеристики потоков в источнике частиц альбедо: нейтронов, протонов,электронов и фотонов.Следующие результаты,полученные в работе.являются новыми:
1. Широтные зависимости потоков протонов,нейтронов,электронов, фотонов альбедо в различные фазы активности Солнца.В работе показано,что широтные зависимости всенаправленного потока и потока через горизонтальную поверхность для частиц альбедо являются разными.
2. Зависимость потоков частиц альбедо от активности Солнца.
3.Энергетические спектры потоков протонов альбедо под
различными зенитными углами.
4.Оценки потоков частиц альбедо из атмосфер Солнца,Венеры, Марса, из грунтов Меркурия и Луны.
5.Показано,что потоки частиц альбедо из атмосфер Солнца, планет являются стационарным источником малоэнергичных частиц . Однако.наблюдаемое излучение малоэнергичных протонов в межпланетном пространстве объяснить частицами альбедо невозможно. Вклад частиц альбедо в указанное излучение составляет не более
ю ~Н.
6.Разработана модификация метода Монте-Карло,позволяющая значительно улучшить сходимость метода при расчете дифференциальных характеристик поля излучения.
Автор защищает:
1.Модификацию метода Монте-Карло для решения уравнения ядерно-каскадного процесса,позволяющую значительно сократить время расчета дифференциальных характеристик поля излучения на ЭВМ.
2.Пространственно-энергетические и временные характеристики потоков частиц альбедо: нейтронов,протонов,электронов и фотонов в источниках,которыми являются атмосферы Земли,Венеры, Марса,Солнца,грунты Меркурия и Луны.
3.Поправочные множители на переходные коэффициенты 0КП-стратосфера,учитывающие влияние частиц альбедо.
Научная и практическая ценность работы.Подученные результаты важны для понимания природы избыточного излучения на высотах 200-300 км, и имеют важное значение для обработки результатов стратосферных измерений.Полученные в настоящей работе результаты были использованы при создании атласа радиационной обстановки в стратосфере,на высотах полетов сверхзвуковых тран-
-8-
спортных самолетов и других летательных аппаратов в институте Прикладной Геофизики Государственного Комитета по охране окружающей среды и гидрометеорологии при СМ СССР.Метод,разработанный в диссертации,был применен при решении задач по определению влажности почв по данным регистрации космических лучей.
Результаты работы могут быть практически использованы в ФИАН СССР, ИКИ АН СССР, ИПГ Госкомгидромета, ИМБП.КазГУ.
Апробация.Основные положения и результаты работы докладывались на Международных конференциях по физике космических лучей в г.Киото,Япония 1979 г.,в г.Париж,Франция 1981 г.,на IX Международном семинаре в г.Ленинграде, 1977 г.,на Международном семинаре КАПГ в г.Алма-Ата, 1980 г., на всесоюзном совещании по "Протонным Солнечным Событиям" в г.Алма-Ата, 1982 г.,на семинарах в ФИАН, НИИЯФ МГУ, ИПГ и КазГУ и опубликованы в 13 работах /13,16,17,26,104,105,110,111,112,134,150,151,152/.
Структура и объем диссертации. Диссертация объемом 220 страниц,состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы включающего 187 названий,60 рисунков, 35 таблиц,приложений на 51 страницах.
-9-
ГЛАВА I Уравнения ядерно-каскадного процесса и их решения
Распространение частиц в веществе описывается интегродиф-ференциальным уравнением переноса /1-3/.Пространственно-энергетическое распределение частиц определяется решением этого уравнения.Задача расчета потоков частиц альбедо является разновидностью задачи переноса излучения,поэтому мы остановимся на уравнении переноса ядерно-активных частиц через плоское однородное вещество,при этом обращая внимание на особенности расчета потока частиц альбедо.
Задачи по решению уравнений ядерно-каскадного процесса рассматривались в ряде работ /4-8/.В этих работах авторы,делая ряд допущений о видах спектра первичных частиц,энергетического спектра вторичных частиц и др.,получили решения упрощенных уравнений в аналитическом виде. Однако, эти аналитические решения ядерно-каскадного процесса пригодны лишь для оценки значений потоков,так как при решении не учитывался ряд важных физических процессов,такие как ионизационные потери протонов, трехмерность актов взаимодействия.Поэтому ,в настоящее время, при решении задачи переноса излучения через вещество применяется метод Монте- Карло /9,33-35/.Этот метод позволяет учесть практически все физические процессы,имеющие место при диффузии частиц через вещество.К сожалению, метод Монте-Карло обладает тем недостатком,что результаты расчета иглеют большие статистические погрешности.В связи с чем данный метод удобен при получении интегральных характеристик излучения в веществе,а для воспроизводства дифференциальных характеристик с достаточной точностью необходимо значительно увеличить статистику,что свя-
-10-
зано с большими затратами счетного времени.Поэтому получение двойных дифференциальных потоков частиц альбедо,используя имевшиеся ранее разновидности метода Монте-Карло,оказалось затруднительным, в особенности при расчете дифференциальных потоков протонов альбедо в области малых энергий (I * 50 МэВ),так как в этой области энергий,вследствие ионизационных потерь,поток протонов имеет малую величину.
В настоящей главе рассмотрены уравнения ядерно-каскадного процесса,описывающие перенос излучения через плоское однородное вещество.Показано,что уравнения ядерно-каскадного процесса в некоторых случаях удается проинтегрировать. Решение уравнения представляется в виде суммы многократных интегралов.В подынтегральное выражение входит функция вероятности I взаимодей-ствий.Ранее,в работе /10/, были получены функции вероятности взаимодействий частицы при прохождении слоя вещества от ас' до ос ,для некоторых частных случаев.Однако,вопрос о том,как эти функции можно эффективно использовать при решении задач переноса излучения через вещество,в этих работах не рассматривался.В этой главе мы остановимся на некоторых модификациях метода Монте-Карло,полученных и примененных в настоящей работе,которые позволяют использовать функции вероятности I взаимодействий и восстановить двойные дифференциальные потоки протонов и нейтронов альбедо.В данной главе также получены некоторые более общие функции вероятности I взаимодействий.
§ 1.1.Функций вероятности I взаимодействий
В некоторых случаях удается получить выражение для вероятности определенного числа ( I ) взаимодействий при прохождении слоя вещества эс. . Для стабильной частицы с энергией Я .падающей под углом 5 относительно нормали к поверхности слоя.ве-
-II-
роятность L взаимодействий при прохождении слоя вещества а , когда величина Ä(E)-cos$ (где Д (Е)-пробег на ядерное взаимодействие) остается неизменной при взаимодействиях,представляется в виде /10/
(oc,cl) = ]7‘(-^"),е*р(- £) (1Л.1)
где оL = Д-cos В.
Однако данная формула применима лишь при высоких энергиях.В области более низких энергий (ниже 500 МэВ) необходимо учесть не только зависимость Я от энергий,но и отклонение от прямолинейной траектории.Для получения функции вероятности I взаимодействий,для случая,когда при каждом взаимодействии величина öLi_=A(El)cos&(. ,где El, -энергия частицы и угол относительно нормали после t-го взаимодействия соответственно,изменяется (предпологая при этом,что oiL> 0, 1=0,1,2,...),можно использовать рекурентное соотношение /10/
?(-%%)• (1Д-2) Применим преобразование Лапласа,используя свертку /II/
1------— ; (I.I.3)
cC't+i
отметим, что
000 ^ + обо
Используя формулы (I.I.3) и (IЛ.4)# получим изображение Лапласа функции вероятности L взаимодействий
üiL (I.I.5)
Д(р + 5Г>л-;
К=г О К 4
Применяя метод разложения,найдем оригинал выражения (I.I.5).
•12
Как показано в работе /12/ ^
тг**~ -■**?(- ■%) ал.в)
Таким образом,вероятность того,что частица при прохождении слоя вещества от ос! до ос. »провзаимодействует I раз определяется выражением /13/ . 1-1
-\Л "'С- * с_к__ . о 0с.-эс\
^(х'.ос ,л0^)=х а... . ~ггЛал.?)
j = 0 Г/ ( 0С:-0СК)
К=0 ^
Кч^/
Данное выражение,при
о^0— оС^= о(/^= ••• — о(/^=о6 9 (1.1.8)
переходит в выражение (1.1.3),что и служит доказательством /14/ справедливости форглулы (1.1.7).Действительно,при условии (1.1.8)
Найдем оригинал данного выражения ^(ос.оС) ^
На рис.1 приведены зависимости вероятности б взашлодей-
л
ствий, рассчитанные по формуле (1.1.7) для оСо=90 г/см*1, о^=
89 г/см2, =88 г/см*1, ... ,при прохождении слоя вещества ос. = 100 г/см2,200 г/см2,400 г/см2,800 г/см2.Пунктирные линии - рас-чет вероятности 0 взаимодействий по формуле (1.1.1) для оО =
85 г/см2.Кривые,как видно из рис.I,близко лежат друг к другу, что вполне естественно,так как брались при расчетах близкие значения об .
Рассмотрение распространения нестабильной частицы в изотропном веществе показало /15/,что выражение для вероятности того,что частица проходит слой вещества от ос! до ос, провзаимодейство-вав I раз и при этом не распадется,запишется также в виде
-13-
Рис.!. Вероятность и взаимодействий частицы при прохож-
дении слоя вещества х .рассчитанные по формуле (1.1.1)
для об =80 г/см2( пунктирные кривые -------------) и по
формуле (1.1.7) для сС-ь =( 90 - б ) г/см2(непрерывные кривые - --------).
(I.I.7).Только в данном случае
± 1
об j COS %■
где Е0- -энергия частицы после j -го взаимодействия, С -константа распада Д/.Для нестабильной частицы в атмосфере функция вероятности I взаимодействий запишется в следующем ввде До/
Однако полученная выше формула (1.1.7) неприемлима для случая описания процесса диффузии нейтронов малых энергий,так как в этой области энергий во взаимодействиях изменяется не только абсолютное значение &=Х'Соад ,но и его знак(т.е..рассеяние происходит на большие углы).Рассмотрим бесконечную однородную среду (необходимое условие Я «Л ,где А -пробег на взаимодействие,!.. - размер рассматриваемой области).Получим вероятность I взаимодействий при прохождении частицей слоя вещества от ос' до ос »используя следующую рекурентную формулу
Как показано в работе /16/,для рассматриваемой задачи функция вероятности I взаимодействий представляется в виде
При этом
L
сс-х'
-15-
где
j * ot'L ос—эс,*
T---------- , если —T->0;
Aj~) SS (i.i.ie)
n ОС-ОС1 n
U если —;—
При расчете потока частиц альбедо необходимо рассмотрение распространения частиц в поверхностных слоях вещества,т.е., нужно учесть возможность утечки частицы из вещества.Для получения функции вероятности I взаимодействий в веществе,с учетом возможности утечки за границу,можно использовать рекуррентную
формулу для этой функции
ОС J <-£» I
ц.1.17)
при о(/^> 0, и
\ 00 Jod*
¥l(x'0C;oC^^=5^ (Х^х"°L+oLl_() -7—). (1,1.18)
'V ^оЧ
с/х"
^L4
при о6-< 0.Проведенные расчеты показали,что функцию вероят-
X
< О.Про
и
ности и взаимодействий,можно представить в следующем виде
ЧД (Х'<Х'СС3~“У=^Е)( сс^т-ехр(- )+
+1>и(ы.м
и
где т =1, соответствует случаю х<зс',т =2 соответствует Х^Х*. Для определения коэффициентов С используются рекуррентные формулы (1.1.17) и (1.1.18). Блок-схема расчета коэффициентов и -0{. j приведена в /16/.
Данная схема позволяет расчитывать по известным значениям С^,т коэффициенты . ^ и .Из функ-
-16-
ции вероятности и взаимодействий в веществе с учетом возможности утечки (І.І.І9)»можно получить вероятность утечки частицы после і -го взаимодействия (очевидно, вероятность утечки будет отлична от нуля.если об(_<0, то есть 0 > ?• )
I- 2
(х,^о-о6^)=2(См,і'ЄХР^)+Б^)* (1*1 *20)
3=о ^
§1,2. Уравнения ядерно-каскадного процесса и их связь с функциями вероятности взаимодействий В некоторых случаях уравнение ядерно-каскадного процесса удается проинтегрировать.Решение уравнения представляется в виде суммы многократных интегралов.
Рассмотрим одномерное уравнение ядерно-каскадного процесса /2/:
І- (1*2.1)
Эос Дсо$© АсобЭ е
при граничном условии
ЛГ(х, Е, 0) | — Ж( 0, Е,д) . (1.2.2)
1 х=о
Решение данного уравнения, как показано в работе /17/,мокно представить в виде
©о
ЛГ(х,Е,0) =:2і^к(х)Хсо&д)^кСЕ), (1.2.3)
где (ЭсДеогЭ) -вероятность того,что частица провзаимодействует К. раз при прохождении слоя х .которая определяется формулой (I.1.1);
©о
Е*
Эк(Е) = №(0,Е1(,д)<ЛЕк-$п(Ек,Екч)с1Екч- ...
£< (1.2.4)
] п(Е2,Е()'п(Е^Е)сІЕ'і,
-17-
где
Д,С£)=ЖГО,Е,Ш (1.2*5)
Решение (1.2.3) уравнения (I.2.1),предполагая ,что спектр первичных частиц представляется в виде степенной функции ДЕ , а также энергетический спектр вторичных частиц во взаимодействиях п(Е',Е)с1Е в виде однородной функции и , можно записать в виде /18/
№А8) = ■ (1-2-6>
где
1
L \ -<ыгч> '
пробег на поглощение.Данное выражение совпадает с решением,полученным в работе /2/, и подтверждает полученное нами решение уравнения (I.2.I).
Представив спектр первичных частиц в виде & -функции J\f(0,E,i)) -S(E-Eo) и спектр вторичных частиц факторизованным П(Е',Е)=П1(Е')-П2(Е) .можно получить дифференциальные потоки частиц на различных глубинах в веществе от первичной частицы с энергией Е0 в приближении прямолинейной траектории и Я —const в следующем виде
Н(х,Е,д)=s (Е-Е.КХР С- g) + £ (сс,оС) ■ ^ ■
•[ /n,(E").n2(E")dE"JL‘- Щ(Е0(JAV
что совпадает с результатами работы /4/.Используя факторизованный спектр вторичных во взаимодействиях частиц,решение уравнения (I.2.I) можно представить в следующем виде
Щх,Е,в) = + |-Ч*Сх,Асо5).
-18-
оо Е ^ С /
*0=7)7ТМ(°>Е'>д)' [ ]^/е'Ц(£";с1Е"] .п/еО-п2(Е)с!е#. (1.2.8)
Результаты расчета потока нуклонов по формуле (1.2.8),используя факторизованный спектр вторичных частиц из работы /19/ и спектр первичных частиц,представленный формулой (п.1.1) показали,что пробег на поглощение в атмосфере Земли для нуклонной компоненты составляет 125 г/см2. Этот результат хорошо согласуется с экспериментальными значениями пробега на поглощения и является фактом,подтверждающим справедливость полученных нами решений.
Рассмотрим уравнение ядерно-каскадного процесса,описывающее распространение пионов в атмосфере /2/
эП(х,Е,8)=_ с_Ц+_а_^).П(х,Е,®)+Тп(х,Е',9)-Эх ДЛСО50 ЕхсоьЭ' £
,г( » с]Е'
■^(Е'Ю^+ 1^,ОЫгСЕ',ЕУ^ ■ (1А9)
При граничном условии
Л(х,Е,Э)| = 0* (1.2.10)
Решение данного уравнения можно представить в виде /20/
оо
П(Х,Е, д) = 11 П:(х,Е,9) (1.2.11)
где П^(х,Е,9) -поток пионов и -го поколения, определяемый выражением
Хоо Е' Е1Ч в,
П;(х,Е,9) = 5 Ты(а.',Е‘,9№'-1 1 <^Е; •...•$ =<£,*
О Е 1 Е Е Е
... * иТ1(Ег>Е,)-и1,(Е1,Е) }‘012(
(сс' х £. ,-*-£) • гле <1*2*12)
ЛрСОбв г гле
х (х^ЗС Е, -гЕ) -вероятность того,что пион при прохождении слоя
V™ I . I
-19-
атмосферы от глубины сс' до ос ,провзаимодействует 1-і раз и при этом не распадется (І.І.2І).
Представляя М(х,Е,д) в виде (1.2.6),предполагая можно записать (1.2.12) в следующем виде
П^х,Е,в) = (x,\cos9)-^(E), (I.2.I3)
Ар tH
їда ^ б; El , В,
Xl(E)=TwO,E)e)dE'-{jdEi.I-pEi..2-...-SdE,-lJ,(E..ijEi_2V
£ 1 Е £ Е
Представив спектр пионов в элементарном акте нуклон-ядерных взаимодействий в виде однородной функции по ц = ~, ,
ur2(E',E)dE-=nrKf)'f = «--/Wdu, (Ь2-І6)
получим выражение,ОПИСЫЕающее первое поколение пионов
П1(х,Е,9)=адЕ,й.<п,Л.<т^Г-^9-Р(-^?)(1-2-16)
Ecos9 *
Представим спектр вторичных пионов в пион-ядерных взаимодействиях В виде:
ue,(e;e) = <j,<n2>-s(E - £££), (Ь2Л7)
где <п2> -средняя множественность пионов, <а> -средняя доля энергии,уносимая вторичными пионами,(I- ср-вероятность перезарядки пиона.Тодда из формул (1.2.13) и (1.2.14) получим выражение для второго поколения пионов
"У—
гуа,£,э)«М,Е,е).—• 7~Т-< ■
Ecos9 Пг>
Г. <а>с т*Ая / «■ f..W~ х А U.2.I8)
L <n2>Ecos9j Лр '‘A7tcos9' ' ' At,cos9^‘
Выражение для потока пионов первого,второго поколения,полученные из общего решения уравнения (1.2.9).совпадает с результатами решения уравнения (1.2.9),полученными другими авторами, исполь-зуя указанные выше предположения.Этот факт подтверждает правильность полученного в настоящей работе решения уравнения, описывающего развитие пионного каскада в атмосфере Земли.
Рассмотрим уравнение ядерно-каскадного процесса для нуклонов,учитывающее трехмерность акта взаимодействия /21/,
8_^(х,Е,9)_ __1_____Лсс>Е,9) +
Эсо А(Е) собЭ
+ Г 5 Жх.Е-,1 9Гп(Е'^9)-
Е (&) •
Предположим,что ,т.е. »пренебрежем образованием альбедных
частиц,тогда,используя интегральное преобразование Лапласа ,
уравнение (1.2.19) можно свести к виду
Жр,Е,Э) =/(0,Е,9)--ц- +
^ с1Ес1со&9/
оо
+
5 ] ^(р,Е',9,).П(Е'-Е,^9).-+ - . аАя)
Е (9) Г
где об=А(Е)со59.
Данное интегральное уравнение решается методом последовательных приближений.Применив обратное преобразование Лапласа к решению уравнения (1.2.20),получим решение уравнения (1.2.19)
«х,Е,9) = £ у.(сс,Е,Й+/Г(0,Е(1.2.21)
где