Траекторные методы в физике электронно-атомного рассеяния и корпускулярной оптике

Оглавление
1
Введение 6
Глава I. Метод интегрирования по траекториям в квантовой 13
теории
§1. Фейнмановское представление 15
1. Аппроксимация оператора эволюции
2. Конечномерные аппроксимации и предельный переход
2.1 Траекторный интеграл для обобщенных когерентных состояний
2.2 Траекторный интеграл для ^-символов
3. О связи с интеграторами
§ 2. Представление сечений рассеяния траекторным 32
интегралом
1. Нестационарный подход
2. Стационарный подход
Глава II. Некоторые способы оценки траскторных интегралов
§ 1. Оценка фейнмановского интеграла методом Монте 51
Карло. Ограничение области интегрирования. Предпочтительная выборка.
§ 2. Оценка фейнмановского интеграла методом обрезания с 55
разложенным действием
1. Общее выражение
2. Приложение к вычислению волновой функции
§ 3. Оценка фейнмановского траекторного интеграла при 61
гауссовой аппроксимации
1. Общее рассмотрение
2. Произведение разложений однокоординатиых сомножителей
3. Разложение с разбиением области интегрирования
Глава III. Применении к некоторым задачам атомной физики
§ 1. Траекторный интеграл для матрично-значных гамильтонианов § 2. Слоевой метод динамической теории дифракции с точки зрения интегрирования по траекториям § 3. Расчет сечения электронного возбуждения гелия па основе оценки интеграла по траекториям методом Монте-Карло
§ 4. Оценка фейнмановского траєкторного интеграла методом обрезания в модельных задачах
1. Одномерная осциллирующая функция
2. Рассеяние на трехмерном гауссовом потенциале § 5. Оценка сечений электронного рассеяния на основе
гауссовой аппроксимации фейнмановского интеграла
1. Рассеяние на трехмерном гауссовом потенциале
2. Рассеяние электрона на атоме водорода
§ 6. Совокупные данные по интегральным сечениям
электронного возбуждения уровней атома водорода
Глава IV. Атомная линза в корпускулярной оптике.
§ 1. Введение
§ 2. Фокусирующие свойства атома для электронного пучка. Фокусировка на различных потенциалах. Фокусировка на цепочке атомов.
1. Кулоновский потенциал.
з
2. Потенциалы Томаса-Ферми.
3. Атомная линза для электронного пучка в форме колонки атомов в тонком кристалле.
§ 3. Атомная фокусировка ионов 167
§ 4. Атомная линза для атомного пучка. 171
1. Взаимодействие атомов с линзой.
2. Атомная линза в виде конца линейной цепочки атомов углерода.
3. Атомная линза в форме наноотверстия.
3.1 Дефокусирующее действие наноотверстий для атомного пучка. Классический траекторный расчет.
3.2 Дефокусирующая атомная линза в виде наноотверстия для атомного пучка. Квантовое рассмотрение.
3.3 Фокусировка атомных и молекулярных пучков в электрических полях некоторых конфигураций.
§ 5. Самофокусировка атомного пучка в поле световой 209
волны
1. Общие уравнения для кинетики атома в электромагнитном поле
2. Описание совместной эволюции светового и атомного пучков в квазиклассическом приближении но осевой координате
3. Бипотенциальное движение
4. Фокусировка атомного пучка в поле световой волны
5. Приближение слабого поля
6. Моделирование взаимной самофокусировки атомного и светового пучков
4
Глава V. Варианты применения атомных линз
§ 1. Возможности применения атомных линз в электронной 239 микроскопии.
1. Общее рассмотрение.
2. Возможности реконструкции образа при сканировании решёткой фокусов атомных линз от электронного пучка.
§ 2. Корпускулярная голография с фокусировкой источника 253 на атомной линзе.
1. Схема осевой корпускулярной голографии с освещением объекта от фокуса атомной линзы.
2. Моделирование осевой схемы корпускулярной голографии с атомно-линзовой фокусировкой источника.
2.1 Процедура реконструкции.
2.2 Моделирование для электронной голографии.
2.3 Моделирование для атомной голографии.
Заключение 266
Приложения
§1. Некоторые системы символов операторов 270
1. Определение символов в методе обобщенных когерентных состояний
2. до-символы
§ 2. Представление траекторным интегралом функций 278
гамильтониана
§ 3. Оценка фейнмановского интеграла методом 280
стационарной фазы. Связь с квазиклассическим
приближением. Волновой пакет
Литература
Введение.
6
Траекторные методы, т. е. методы привлекающие понятие траектории в рассмотрении разного рода задач, давно и широко используются в физике. Наибольшее развитие получили различные варианты метода молекулярной динамики при рассмотрении задач классической механики и статистической физики. В квантовой физике траекторные методы получили меньшее развитие в силу, как самой ее природы, так и традиций. Наиболее часто используемым вариантом траекторных методов в квантовой физике является квазиклассическос приближение.
Весьма широко используются в физике методы, основанные на траекторных интегралах различного типа. Интегралы винеровского типа (фейнмановские интегралы для мнимого времени с вещественной экспонентой) применяются для решения задач статистической и квантовой физики. Траекторные методы, базирующиеся на фейнмановском принципе, часто используются в теоретических построениях, однако, применение фейнмановских траекторных интегралов с действительным временем для вычисления физических величин связано с определенной сложностью. Эта сложность во многом обусловлена осциллирующим характером подынтегрального выражения, содержащего комплексную экспоненту. В связи с этим, несмотря на потенциальные возможности, фейнмановские траекторные интегралы практически не используются для вычисления физических величин. К числу их достоинств следует отнести непертурбативность, гибкость и физическую наглядность постановки задачи, перспективность в исследовании нестационарных задач, особенно интенсивно изучаемых в последнее время в атомной физике.
В силу сказанного актуальной является задача построения способов оценки траекторных интегралов фсйнмановского типа для решения задач атомной физики и, в частности, физики электронно-атомных
7
столкновений.
Главы 1 - 3 диссертации в основном и посвящены вопросам формулировки и тестирования некоторых таких способов на простых задачах.
Существует ряд подходов к определению континуального интеграла фейнмановского типа. В нашей работе принят подход на основе предельных процедур для конечномерных аппроксимаций. Рассмотрение базируется на концепции символов операторов. Используются системы символов, возникающих в методе обобщенных когерентных состояний и так называемые до-символы. Вопросы сходимости предельных процедур рассматриваются на основе теории Чернова, касающейся сильной сходимости аппроксимаций оператора эволюции, которая обобщается на класс стабильных систем операторов [1.1.30].
Для фермионных систем обобщенные когерентные состояния, как известно, могут быть реализованы в грассмановом расширении пространства состояний. При этом возникает интеграл по траекториям в грассмановой алгебре. Ранее считалось, что такой интеграл по форме не отличается от обычного траєкторного интеграла в комплексном фазовом пространстве в представлении Фока-Баргмана [1.1.5, А. 1.5, А.1.6]. Однако, в нашей работе [1.1.31] впервые было показано, что это не так и было получено общее выражение для интеграла по траекториям в грассмановой алгебре.
Для многих задач траекторные методы являются естественными методами рассмотрения. К их числу относятся задачи, рассмотренные в диссертации. Это задачи рассеяния электронов на атомах и родственные задачи расчета линз для корпускулярных пучков в классическом и квазиклассическом приближениях.
Методы, основанные на траекторных интегралах, образуют самостоятельную группу методов решения задач рассеяния. В них
8
используется запись решения соответствующей задачи рассеяния в форме траєкторного интеграла, который дает явное выражение вероятности, амплитуды или сечения рассеяния через гамильтониан взаимодействия. Тем самым, решение задач рассеяния этой группой методов сводится к интегрированию.
Возникает задача построения способов оценки соответствующих траекторных интегралов. Известно, что квазиклассическое приближение может быть получено из оценки фейнмановского траєкторного интеграла методом стационарной фазы. Вместе с тем, другие способы оценки траекторных интегралов для задач рассеяния тоже могут представлять интерес. Как уже отмечалось, эти способы для задач электронно-атомных столкновений практически не развиты. В диссертации рассмотрен ряд вариантов решения задачи рассеяния, основанный на оценках траекторных интегралов.
Помимо чисто теоретического интереса развитие методов оценки сечений электронно-атомного рассеяния на основе фейнмановского подхода в квантовой механике имеет и практическое значение. Оно состоит в следующем.
Известно, что существует довольно много методов расчета сечений электронно-атомных столкновений. Однако, опыт нашей работы в этой области показал, что как бы ни был хорош тот или иной метод и какая бы ни заявлялась при этом точность результата, результаты разных работ отличаются друг от друга, причем иногда весьма значительно. Вместе с тем, методические ошибки разных методов и групп исследователей независимы и при большом числе работ компенсируют друг друга в совокупном результате, который может быть выявлен на основе регрессионного анализа данных но совокупности имеющихся информационных источников.
Накопление базы данных и соответствующий регрессионный анализ проводились нами для сечений электронного возбуждения ряда переходов атомов водорода, гелия и аргона [3.3.11-3.3.15]. Например, для основного перехода в атоме водорода разброс данных составляет два раза, однако выборочная относительная дисперсия по всей совокупности имеющихся результатов составляет порядка двадцати процентов. Это и есть реальная точность, с которой эго сечение известно на настоящий момент.
Естественно, что важно пополнение базы результатами, полученными на основе работ, проведенных разными, независимыми методами, обладающими различными, свойственными им методическими ошибками. Методы, основанные на траекторных интегралах фейнмановского типа, методически сильно отличаются от других методов расчета сечений. В этом состоит одна из важных причин практического значения их развития и применения.
Практически важным вариантом задачи рассеяния является изучение свойств линз для корпускулярной оптики. Эти вопросы рассматриваются в Главе 4.
Корпускулярную оптику можно трактовать, как широкое обобщение обычной световой оптики в отношении расширения набора основных частиц с фотонов светового диапазона до всевозможных частиц и квазичастиц. В практическом отношении наибольшее распространение до недавнего времени имели системы, основанные на заряженных частицах, прежде всего системы электронной оптики. Однако, номенклатура реально используемых частиц все время расширяется. Сейчас находят применение системы, основанные, например, на фотонной оптике радио- и рентгеновского диапазона, нейтронной, * фононной (инфра- и ультразвуковой), атомной оптике, и т. д., имеется проект по реализации нейтринной оптики [4.1.4].
Одним из основных методов изучения строения вещества на атомном
10
уровне является электронная микроскопия. Вместе с тем, переход за субангстремный предел в разрешении электронных микроскопов представляет собой сложную проблему, решение которой имеет большое практическое значение. Немного продвинуться в разрешении позволяет коррекция аберраций объективной линзы и увеличение ускоряющего напряжения.
Атомная оптика в настоящее время является интенсивно развиваемым направлением исследований, результаты которых применяются в ряде областей, в том числе в микроскопии и нанотехнологиях. Для формирования тонких кроссоверов атомных пучков используется фокусировка атомов на различных системах [4.4.1]. Наибольшее разрешение (десятки нанометров) достигнуто при фокусировке на микролинзах, образованных стоячей световой волной [4.1.9]. Однако, разрешение существующих систем не позволяет приблизиться к величинам, порядка атомного размера.
В свете сказанного, большое значение имеет разработка методов, ориентированных на прогресс в корпускулярной микроскопии атомного разрешения. К их числу относятся методы, основанные на предложенной нами концепции атомной линзы в корпускулярной оптике.
Решение обычной задачи рассеяния на потенциале с точки зрения дифракционной теории линзы соответствует рассмотрению дальней (фраунгофферовой) зоны дифракции. В теории линзы больший интерес представляет ближняя и средняя (френелевская) зоны дифракции.
Для корпускулярных пучков типичной является длина волны меньше атомного размера. В этом случае размер линзовой системы может быть уменьшен вплоть до предельного - размера атома (в атомной физике). Ядро, в принципе, тоже может обладать фокусирующими свойствами по отношению к ядерным силам, но положение ядерной линзы не является контролируемым с ядерной точностью.
11
Отдельные атомы и небольшие атомные группы (наномасштаба), воздействующие на проходящие корпускулярные пучки, в наших работах мы называем атомными линзами.
Фокусирующие свойства атомов и групп атомов отмечались и рассматривались в физике твердого тела и, в частности, в связи с изучением явления каналирования в кристаллах [4.3.1-4.3.7]. Фокусирующие свойства некоторых модельных потенциалов рассматривались теоретически в [4.2.1, 4.2.2]. В наших работах впервые начато систематическое изучение фокусирующих свойств атомов для электронных пучков в более реалистичных атомных потенциалах и нахождение параметров пучков на выходе из тонкого слоя твердого тела при фокусировке в случае, когда еще не успевает наступить режим каналирования со стационарным распределением по поперечным координатам.
Нами изучались также некоторые конфигурации атомных линз для атомных, молекулярных и ионных пучков.
Взаимодействие частиц пучка с атомной линзой в наших работах рассматривалось в потенциальном приближении.
В последние годы интенсивно изучается и применяется манипулирование атомами в световом поле [4.1.3, 4.1.5-4.1.9]. В диссертации рассмотрена задача самофокусировки атомного пучка в ноле световой волны. Это явление относится к эффектам нелинейной корпускулярной оптики и происходит, вообще говоря, одновременно с самофокусировкой световой волны. При самосогласованной эволюции атомного и светового пучков, динамически формируется пучковая агомно-линзовая система. В этой системе атомный пучок становится линзой для самого себя. Рассмотрение проводится в рамках двухуровневой модели атома при бипотенциальном описании движения.
л
12
Задача распространения частиц пучка через атомную линзу в диссертации решается в основном в классическом и квазиклассическом приближениях. Используется также слоевой метод Cowley-Moodi, который широко применяется при моделировании распространения корпускулярных волн в кристаллах.
В диссертации приводится вывод слоевого метода на основе фейнмановского траєкторного интеграла путем его оценки методом стационарной фазы по части переменных, соответствующих проекции траекторий на выделенное направление движения. Тем самым, устанавливается соответствие слоевого метода квазиклассическому описанию движения в выделенном направлении и квантовому в поперечном направлении, т. е. парциальному квазиклассическому приближению.
Ыа основе траєкторного интеграла в фазовом пространстве дается обобщение слоевого метода на гамильтонианы с неквадратичной зависимостью от импульсов. Важным примером служит релятивистский гамильтониан.
В Главе 5 диссертации теоретически рассмотрены вопросы, касающиеся возможности применения атомных линз в корпускулярной микроскопии атомного разрешения и корпускулярной голографии.
Предложено и изучено несколько схем электронной микроскопии с атомной линзой.
Приводятся результаты теоретического изучения корпускулярной голография с использованием малых кроссоверов пучков, формируемых атомными линзами, как источников корпускулярного освещения.
13
Глава 1
Метод интегрирования по траекториям в квантовой теории
Траекторный интеграл является мощным инструментом в различных областях физики. Наиболее широко изучались и применялись интегралы винеровкого и фейнмановского типов. Винеровские интегралы
определяются, как обычные интегралы по мере Винера. Для
фейнмановских интегралов аналогичной меры в пространстве траекторий построить не удается. В связи с этим долгое время с момента введения интегралов последнего типа [1.1.1, 1.1.2] их строгое определение
оставалось проблемой. Существует ряд подходов к определению
континуального интеграла фейнмановского типа [1.1.4-1.1.30]. В одних дается определение в терминах комплексных мер [1.1.7] или квазимер [1.1.8, 1.1.16] в пространстве траекторий. В других интеграл определяется, как обобщенный функционал на некотором классе функций траекторий, например на основе равенства Парсеваля [1.1.16-1.1.18]. Можно также ограничиться рассмотрением интегралов от специального вида
функционалов - так называемые квазигауссовы функциональные
интегралы [1.1.12, 1.1.13]. Также дается определение на основе аналитического продолжения по комплексному параметру (например, времени) в интеграле винеровского типа [1.1.26-1.1.28].
Согласно одному из распространенных подходов континуальный интеграл понимается, как предел конечномерных аппроксимаций
[1.1.1-1.1.5, 1.1.10, 1.1.11, 1.1.30]. Этот подход был принят еще в работах Фейнмана [1.1.1-1.1.3]. В определенных предположениях можно обосновать сходимость конечномерных аппроксимаций к символу оператора эволюции [1.1.10, 1.1.11, 1.1.20-1.1.25, 1.1.30]. Достоинством
14
такого подхода является то, что при этом дается явный и удобный способ вычисления траекторного интеграла. Он дает одну из возможностей обойти проблему меры в пространстве континуальных траекторий для интеграла фейнмановского типов. Отметим, что в упомянутом выше подходе на основе интеграторов [1.1.16-1.1.19], континуальный траекторный интеграл также может быть связан с соответствующими конечномерными аппроксимациями [1.1.20, 1.1.21, 1.1.25].
Как отмечалось в ряде работ [1.1.4, 1.1.5, 1.1.10], предел зависит от выбора аппроксимации. Поэтому, следует фиксировать способ построения конечномерных аппроксимаций для континуального интеграла фейнмановского типа. Весьма распространенным является способ, основанный на использовании концепции символов операторов [1.1.4,
1.1.5, АЛЛ, Л.3.2].
Одной из проблем является построение интеграла по траекториям в нелинейном фазовом пространстве. Обобщение интеграла по траекториям для нелинейных симплектических многообразий было сделано в [1.1.9]. Вопросы сходимости конечномерных аппроксимаций для интеграла по траекториям для нелинейных симплектических многообразий типа кокасатсльных расслоений рассмотрены в [1.1.11].
В нашей работе принят подход к траекторному интегралу на основе предельных процедур для конечномерных аппроксимаций. В настоящей главе приведены соответствующие выражения и рассмотрен, следуя нашей работе [1.1.30], вопрос об их сходимости. Приводятся некоторые сведения, касающиеся траекториых интегралов в необходимой для нас формулировке, ориентированной в основном на представления траекторными интегралами амплитуд и сечений рассеяния, которые рассматриваются в следующем параграфе. Приводятся также оригинальные результаты, касающиеся траекториых интегралов в грассмановой алгебре [1.1.31].
15
§ 1. Фейнмановское представление
1. Аппроксимация оператора эволюции
Стандартный подход к доказательству сходимости предельных процедур для фейнмановских траекторных интегралов основан на формуле Троттера или ее обобщении [1.1.22-1.1.25, 1.1.32-1.1.41J. При этом используется декомпозиция гамильтониана на сумму компонент. Во многих случаях такая декомпозиция является искусственной и не соответствует естественной структуре гамильтониана. Примером может служить траекторный интеграл для когерентных состояний [1.1.15, 1.1.30,
1.1.42-1.1.44]. Этим объясняется интерес к подходам, не требующим декомпозиции.
Декомпозиции не требует подход, базирующийся на теории Чернова [1.1.36]. В этом разделе диссертации приведен основной результат этой теории, использующийся в доказательстве сходимости предельных процедур для фейнмановских траекторных интегралов, и дано его обобщение на класс стабильных семейств операторов.
Рассмотрение базируется на концепции символов операторов [1.1.4-1.1.6, 1.1.45, А. 1.1, А.3.2]. Оно особенно адекватно при построении фейнмановского траєкторного интеграла для символов операторов возникающих в методе когерентных состояний [1.1.15, 1.1.30,
1.1.42-1.1.44].
Предположим наличие взаимно однозначного соответствия между операторами и их символами /1.1.1.1/ І —А.
Будем использовать (если не указано явно другого) одну и ту же букву для обозначения оператора и его символа. Предполагается также, что произведению операторов к-Ь соответствует свертка символов,
16
определенная надлежащим образом /1.1.1.2/ к-Ь —££-» А* В.
Такое соответствие часто рассматривается в теории псевдодифференциальных операторов и близких областях теории [1.1.4-1.1.6, 1.1.9, 1.1.45, А. 1.1, А.3.2]. Оно естественно возникает в связи с методом обобщенных когерентных состояний [А. 1.1]. Для удобства изложения явные формы соответствия для некоторых, часто используемых систем символов, приведены в § 1 Приложения.
Рассмотрим следующую диаграмму
У/ —> д, ~ ехр(- ////) ф Ф,
ср і і ср і СР
Я -Т7г > Я, Ф ехр(- ПН) = IV,
В верхней строке гамильтониану сопоставлен оператор эволюции С^=ехр(-////) на интервале времени [О.оо) (л = 1)- Для простоты рассмотрен случай, когда гамильтониан не зависит от времени. В нижней строке символу гамильтониана Я сопоставлен символ оператора эволюции и,. Фейнмановский принцип можно трактовать, как явное выражение последнего в виде траєкторного интеграла. Некоторые формы этого выражения рассмотрены в следующем разделе настоящего параграфа.
В то время, как сам оператор эволюции имеет простое выражение через гамильтониан, символ не имеет такого простого выражения, но символ
/1.1.1.3/ 1Г,=схр(-НН),
можно использовать для построения нужного представления. Введем оператор Ф, соответствующий этому символу. Предполагается, что У/, 6, принадлежат области определения, а IV, принадлежит области значений соответствия СР /1.1.1.1 /.
Предельные процедуры для фейнмановских траекторных интегралов,
17
о которых шла речь выше, основаны на доказательстве сходимости в нижней строке диаграммы
^ —* д,
СР 4 / -^ со I СР,
—» и,
(использована запись IV *п = Для степени свертки символов).
п
Доказательство этой сходимости может опираться на доказательство сходимости в верхней строке этой диаграммы
/1.1.1.4/ б,= ПтФ^, А1=~.
I -> «3 /
Предел обычно рассматривается в сильной операторной топологии. В настоящем разделе мы рассмотрим вопрос о доказательстве /1.1.1.4/.
Во-первых, при определенных условиях можно непосредственно использовать теорию Чернова. Допустим, что операторы Ф1 являются сильно непрерывными и сжимающими на некотором интервале времени
/е[0,г), что является образующей сильно
Ж
непрерывной сжимающей полугруппы /1.1.1.3/ (к обозначает замыкание оператора к). Все операторы предполагаются определенными на некотором банаховом пространстве. Тогда справедливость выражения /1.1.1.4/ следует из теоремы Чернова [ 1.1.36].
Во-вторых, как отмечалось в [1.1.30], теорему Чернова, и следовательно формулу /1.1.1.4/, можно расширить на более общий класс стабильных операторов. Рассмотрим это утверждение подробнее.
Условие стабильности семейства операторов в банаховом
пространстве определяется соотношением [1.1.32]
/1.1.1.5/ 3а,/?,г>0 V /: > 0, Дг е [0, г) |^| £ а-ехр(/? к Дг).
Рассмотрим сначала специальный случай стабильных систем - так называемых правильных систем операторов [1.1.32]. Ограниченный
18
оператор t называется правильным, если все его положительные степени однородно ограничены
Злг > 1 V*> 0
Семейство операторов \ЬЫ является правильным, если все его операторы являются правильными с одинаковой константой а, так, что выполнено условие /1.1.1.5/ с /7 = 0. Правильная полугруппа операторов определяется условиями [1.1.32]
4(/ + j)=4(/)4(s), t,s* 0,
lim i(t) - { ,
(->0
/1.1.1.6/ j|i(f|<a,/>0.
Теория Чернова (как и теория Троп ера) опирается на связь полугруппы и ее резольвенты (теорема Хилле-Йосида [1.1.46, 1.1.47]) с помощью преобразования Лапласа
Jехр(~ )dt, Я > 0 ,
о
где
& = lim-(!(/)-)) i->о /4 '
генератор полугруппы. Резольвента правильной полугруппы ограничена по норме для всех Я > 0 [ 1.1.32]
/1.1.1.7/
Отметим, что для сжимающих полугрупп а = 1.
Все доказательства в работе Чернова можно обобщить на правильные полугруппы с минимальными изменениями. В доказательстве Леммы 1 следует использовать оценку /1.1.1.7/ для нормы резольвенты, вместо случая а = 1, соответствующего сжатиям. В доказательстве Предложения следует учесть, что операторы правильной полугруппы, как и сжимающей, однородно ограничены /1.1.1.7/. Легко проверить, что Лемма 2 может быть
19
сформулирована в следующем виде
• Пусть /’ правильный оператор в банаховом пространстве X.
• Тогда ехр(/(/-/)) является правильной полугруппой.
• Для всех хеХ и натуральных п имеем
|(ехр(и(/ -)))-Н||< а2пЩ'-)>!•
Наконец, обобщение Теоремы Чернова, основанной на Предложении и Лемме 2, выглядит следующим образом
• Пусть сильно непрерывное, правильное семейство операторов на
отрезке параметров /е|0,со), что Ф0=\ и (о) =-/?/ определяет
ш
сильно непрерывную, правильную полугруппу /1.1.1.3/.
• Тогда имеет место формула /1.1.1.4/ в сильной операторной топологии.
Обобщение на стабильные семейства операторов достигается с помощью стандартного приема, использованного в [1.1.32] - если стабильное семейство операторов, то связанное с ним семейство ехр(-/?Д/)-Жд,, является правильным. Тем самым доказывается справедливость формулы /1.1.1.4/ для стабильных семейств операторов.
Сделаем ряд замечаний.
I. В связи с приложениями к траекторному интегралу в следующем разделе мы рассматриваем случай ковариантных символов. Для так называемых контравариантных символов вопрос о сходимости формулы аналогичной /1.1.1.4/ в сильной операторной топологии рассматривается в работе [1.1.6].
II. Теория Чернова существенно использует подход Троттера [1.1.32], базирующийся, как было сказано, на связи полугруппы и ее резольвенты. Она справедлива в том случае, когда спектр генератора не лежит на положительной мнимой полуоси. Альтернативный подход может
20
использовать другие оценки разности ФЛ/. Имеется ряд работ,
посвященный этому вопросу в контексте формулы Троттера, включая работы с явными оценками для некоторых классов генераторов [1.1.37-1.1.41]. В работе [1.1.38] дано обобщение теории Чернова для случая сходимости по операторной норме.
Ниже приведены простые достаточные условия выполнимости формулы /1.1.1.4/ (в топологии, индуцированной нормой операторов). Допустим, что оба семейства операторов , Ф^ являются стабильными. Принимая во внимание тождество
*=о
и условие стабильности /1.1.1.5/ получим
к=0
При разложении экспонент разность 6Ы -Ф^ можно записать в виде /1.1.1.8/ =А/2-^,
где Ик есть оператор с символом Нк. Заметим, что члены разложения могут быть неограниченными операторами, поэтому само разложение можно использовать для нахождения формы правой части выражения /1.1.1.8/ только в сильной операторной топологии. Для топологии связанной с операторной нормой оператор следует определить непосредственно из сравнения левой и правой частей /1.1.1.8/, минуя разложение. Очевидно, что оператор .бд, ограничен и нормализуем для любого 0<м <т (как и левая часть выражения /1.1.1.8/). Допустим, что для некоторого 0 < / <1 ограничена следующая величина
М = sup Atr IpJ < со. Тогда получим Д/б(0,т) “
21
V-&ы'\ 2 М ** А/'"''' “р(/* О о.
Это доказывает сходимость по операторной норме в формуле /1.1.1.4/ при сделанных допущениях. Следует, однако, отметить, что предположение об офаниченности М в общем случае является трудно проверяемым условием [1.1.37-1.1.41].
Для некоторых классов символов операторов вывод формулы /1.1.1.4/ на основе выражения /1.1.1.8/ рассмотрен в [1.1.5] без доказательства сходимости.
III. Рассмотрим, как из выражения /1.1.1.4/ следует формула Троттера. Сделаем эго на примере гамильтониана вида
/1.1.1.9/ А = Ф + &
/1.1.1.Ю/ ^ = к(<|).
Такой гамильтониан естественно рассматривать на основе до-символов /А. 1.2.5/. Символ /1.1.1.9/ имеет вид
Н(д,р)=Т(р)+У(д).
Используя свойства до-символов, приведенные в § 1 Приложений, можно показать, что в этом случае имеет место следующее выражение
Фм = ехр(- / ДI &)• схр(~ / Д/ /), так, что формула /1.1.1.4/ представляется в виде обычной формулы Троттера.
IV. В выражении для разности операторов /1.1.1.8/ имеем
-){■
. Для гамильтониана вида /1.1.1.9, 1.1.1.10/ правая
часть этого равенства может быть выражена через коммутатор }
//2 -я2 =[/,/].
22
V. Рассмотрим простой пример неэрмитова гамильтониана Н
с вещественным параметром е, не имеющего вид /1.1.1.9, 1.1.1.10/. Его <7/?-символ есть // = £<7/7. Для простоты рассмотрим одномерный случай. Используя формулу свертки /А. 1.2.7/ легко вычисляется, что
так, что 1^4,1 = 0 -А1 £)"Я . При отрицательных значениях параметра гг<0 операторы \уы являются сжимающими и формула /1.1.1.4/ следует из теории Чернова. Принимая во внимание, что
Зс,г>0 V0<A/<г (]-< ехр(с|/:|Дг), операторы ФА, стабильны и справедливость формулы /1.1.1.4/ при любых вещественных значениях параметра е следует из расширенной теории.
VI. Как известно [1.1.26], условия теории Чернова и, соответственно, сходимость в формуле /1.1.1.4/ имеют место для самосопряженных операторов /1.1.1.9/.
Рассмотрим случай квадратичной функции Г(р). Как известно [1.1.26], при этом класс потенциалов к(^), для которых оператор /1.1.1.9/ является самосопряженным, включает в себя класс так называемых потенциалов Като [1.1.48], который содержит важный для нас в дальнейшем случай потенциалов вида конечных сумм кулоновских потенциалов.
23
2. Конечномерные аппроксимации и предельный переход
Можно рассматривать интегрально-траекторные представления различных физических величин. В этом разделе параграфа рассмотрены представления символа оператора эволюции и решения эволюционного уравнения. Даются формулы конечномерных аппроксимаций, для которых обоснование сходимости основано на рассмотренных в предыдущем разделе соображениях. Форма результатов хорошо известна, возможно, за исключением общего случая, но использование техники символов операторов и метода когерентных состояний в совокупности с формулой /1.1.1.4/ приводит к простому выводу и доказательству сходимости для более широкого класса гамильтонианов. Мы также приводим сравнительно реже рассматриваемый случай траекторного интеграла для фермионных когерентных состояний. Близкие вопросы, но с других позиций для некоторых систем символов операторов рассматривались в [1.1.10].
2.1 Траекторный интеграл для обобщенных когерентных состояний
Общий случай
/-ая степень оператора ЖА1, аппроксимирующая, согласно /1.1.1.4/ оператор эволюции на интервале времени [о,/) соответствует /-ой степени свертки его символов \УЫ /А. 1.1.3/. 13 результате получается следующее представление /-ой степени свертки в виде траекторного интеграла в пространстве дискретных траекторий
/1.1.2.1.1/ \Уь<1(ссУ/3)-скр{-д\0(аур)) ]схр(б'(£))</5,
где а = {а0,...,«/) -
виртуальная дискретная траектория в однородном пространстве Ф группы, параметризующем когерентные состояния (§ 1 Приложения),
24
а = а,9 Р = сс0 ~ краевые условия,
/-і
/1.1.2.1.2/ 4а = І~]4р(ад) - мера на пространстве виртуальных
*=І
дискретных траекторий,
/1.1.2.1.3/ ^ = ЕМ'л > Д5* =^П{ам,ак)-ІАіН(ак^,ак).
к.--0
Выражение /1.1.2.1.3/ является интегральной суммой для интеграла
5 = \і(і'<іха-іжн у
где сШ(ог,уЗ)= сіа есть дифференциальная 1-форма на
да
пространстве Ф2 и і<і* есть обратный образ при отображении М: Ф -> ДсФ2 (Д - диагональ в Ф2) так, что і(іл(1^0{сс,а) есть дифференциальная 1 -форма на пространстве Ф.
Можно отметить (что часто делается в литературе, например, в [1.1.4, 1.1.43]) наличие специфического сдвига в аргументах функций, входящих в допредельную форму действия /1.1.2.1.3/ (и соответствующие формулы ниже), который ведет к соответствующему бесконечно малому сдвигу временных аргументов в корректных формулах для действия в пределе.
Для гамильтонианов, удовлетворяющих условиям выполнимости формулы /1.1.1.4/, сформулированных в предыдущем разделе, мы получаем следующее предельное выражение для представления символа оператора эволюции в виде фейнмановского траєкторного интеграла.
/1.1.2.1.4/ £/>,/?)= Ііш \\\'/(а,р).
/->00
На основе /1.1.2.1.1-1.1.2.1.4/ можно получить представления для многих других физических величин, например, символов функций гамильтониана (§ 2 Приложения), символов состояний, символов
оператора плотности, ядра оператора эволюции, амплитуд и сечений рассеяния и т. д.
25
Случай кэлеровых многообразий
Для кэлеровых многообразий Ф общие выражения /1.1.2.1-1.1.2.4/ можно представить, используя запись свертки в форме /А. 1.1.10/, в виде
где а = (а0,..., а,) - виртуальная траектория с краевыми условиями а = аг, /? = а0 и
/1.1.2.1.6/ (1а = ГГ )
- мера на пространстве траекторий с инвариантными мерами /А. 1.1.8/
/1.1.2.1.7/ 5 = /^к=и8-р{а'м,ск)-;мн[ам,ак).
к^О
5 есть интегральная сумма для классического действия гамильтон-кэлеровой механики
где д*Р есть дифференциальная 1-форма на комплексификации кокасательного расслоения на однородном пространстве Ф [1.1.29].
Отметим, что для свертки, записанной в симметричной форме /А. 1.1.10/ траекторный интеграл для обобщенных когерентных состояний имеет вид, приведенный в [1.1.42].
Для случая обобщенных когерентных состояний канонической группы с кэлсровым многообразием Ф = С" общие траекторные представления можно записать, используя /АЛ .1.11 -А. 1.1.13/ в виде
[1.1.30]
/1.1.2.1.5/ ^л*/(а*,у?)=ехр(~2./<5*/г(ог*,/?)) |ехр(£(с?))^а,
д* Р -1(11 II,
/1.1.2.1.8/
где
26
S есть интегральная сумма для классического действия гамильтон-кэлеровой механики на плоском фазовом пространстве Ф = С"
S = |da * •а - idt Ы .
Случай грассмановой алгебры
Для грассмановых символов (соответствующих фермионным когерентным состояниям) фейнмановское траекторно-интегральное представление может быть записано на основе /А.1.1.7, А. 1.1.12—А. 1.1.14/ в виде, формально совпадающем с бозонным случаем /1.1.2.1.8/ [1.1.5, 1.1.31], где
а = (а0,...,«;)
- виртуальная дискретная траектория в множестве образующих грассмановой алгебры Ф с краевыми условиями
а = ап ß = a0.
В интеграле фигурирует дифференциал вида /А. 1.1.14/ [1.1.5]
/-1
da = П da*k ^ак •
*=i
Грассманово действие имеет вид
S = SB + SO,
SB = Y^ASk, ДSk =Да\ак -iAtI{(a*k+ltak), Аа'к =ак+{ -ак>
к=о
SO = -Д< § Я'3 («;+|, а*) Ы £ //’ («;,, в ,),
*=О у=0
где Н° - нечетная составляющая грассманова символа гамильтониана. Член SO появляется в случае гамильтонианов произвольной грассмановой четности [1.1.31] за счет того, что грассмановы символы в общем случае не коммутативны. Для грассмановых элементов произвольной четности А,Ве л имеем
ехр(Л )схр( В) = ехр(д + В + А° В°),
27
где А~ЛС + А° разложение на четную - (<?) и нечетную - (о) составляющие.
Член БВ является интегральной суммой для части грассманова действия, по виду совпадающего с бозонным случаем. Дополнительный член £0 является интегральной суммой для интеграла вида
0 0
Таким образом, как уже было сказано, формальный вид фейнмановского траекторного интеграла /1.1.2.1.8/ одинаков для случая бозонов и фермионов. Однако, имеется различие в структуре действия. Действия совпадают по виду в случае четных грассмановых символов гамильтониана (четных по фермионам гамильтонианов). В общем случае действие содержит дополнительный член, нелинейный по гамильтониану и нелокальный по времени [1.1.31] (явное проявление памяти в системе).
Отметим, что нечетный по фермионам гамильтониан характерен для незамкнутых систем.
2.2 Траекторный интеграл для рр-символов
/-ая степень свертки ^р-символов И'А1 /А. 1.2.5/ может быть
представлена, согласно /А. 1.2.7/ в виде /1.1.2.2.1/ |ехр(/5(4,р)) сЩсф,
? = (<7о.^/)э Р = (Ро>->Р/-|)
виртуальные дискретные траектории,
<7 - Й! - ?о > Р~ Ро ~ краевые условия,
^=ГЙг%>
к=1
1-1
5 = , Д5* = Л?* р, - А<//(?*+1,л), Д?* -Ям ~Чк-
к* о
28
5 является интегральной суммой для классического гамильтонова действия
5= \ipdq-Hdt).
Это приводит к следующей предельной процедуре для представления до-сим вола оператора эволюции в виде фейнмановского траекторного интеграла в фазовом пространстве
/1.1.2.2.2/ С/,($,/?)= Шп ^(д9р)9
/->■»
которая сходится при сформулированных в предыдущем разделе условиях выполнимости выражения /1.1.1.4/.
Аналогичным образом, с учетом /А. 1.2.8/, получается представление до-символа волновой функции /А. 1.2.6/ (совпадающего с самой функцией в координатном представлении)
/1.1.2.2.3/ у/,(9) = (?|с5>о=,11т [»'ы *щ\ч),
/—>оо
К;' *п\я)= |схр(/,р))|//0(<г/0)сЩ<1р,
?=(?<,,... ,9,), Р = (р0.-.Рн).
<7 = <7, - конечное условие,
А=0 (2/г)
Остановимся на оценке разности предельного и допредельного выражения /1.1.2.2.3/, которая нам понадобится в дальнейшем. Для любой нормируемой волновой функции ///0 из теоремы Чернова следует оценка
/1.1.2.2.4/ |(гЗ, -й/V»! =1^>о -И'д," *п|| 2 ^||^Уо| ■
Из нее следует, что заданная точность е аппроксимации траекторного интеграла /1.1.2.2.3/ достигается для следующей величины числа точек на дискретной траектории
/2(А2)
/1.1.2.2.5/
€ Т\