РОЗДІЛ 2
ЗАДАЧА АНАЛІЗУ СТАЦІОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО
ПОЛЯ КРИСТАЛА МЕП ВСТАНОВЛЕНОГО
НА ЖОРСТКІ ВИВОДИ
У цьому розділі описано математичну модель тривимірних стаціонарних
температурних полів МЕП з кристалами на жорстких виводах, яка була розроблена
на основі розвитку відомої аналітичної моделі, досліджено метод аналізу
температурних полів, на основі якого побудований алгоритм обчислення теплових
потоків через виводи та значень температури в довільній точці структури МЕП.
2.1. Проблема вибору моделі та методу аналізу температурних полів
З ростом складності досліджуваного об’єкту натурний експеримент стає дорогим,
маловаріативним, трудомістким. Залишається шлях формального опису, який полягає
у фіксації особливостей об’єкту, важливих для мети дослідження. Результатом
цього опису є певна проекція об’єктивних властивостей досліджуваного об’єкту
під певним кутом зору [[lxvii]]. Форма фіксації може бути вербальна, натурна,
знакова. Якщо формалізація задачі зроблена з допомогою математичних
співвідношень (знаків), говорять про математичну модель досліджуваного
об’єкту.
Основними вимогами до побудови математичної моделі у загальному випадку є
наступні критерії:
адекватність, що означає мінімально задовільна точність;
економічність, яка полягає у пристосуванні моделі до наявних обчислювальних
ресурсів, зручності програмування;
зручність використання, відображається у простоті правил наповнення моделі
інформацією, нескладному оволодінні роботою з моделлю;
розумна універсальність, означає можливість розширення класу задач до
виникнення протиріч з іншими вимогами.
Розвиток технології породив велику різновидність конструктивних рішень МЕП з
кристалами, встановленими на жорсткі виводи. Це в свою чергу висуває важливу
вимогу до моделювання температурних полів – можливість отримання достовірних
результатів для конструкцій з різними умовами тепловідведення. Задоволення цієї
вимоги забезпечується розумним компромісом між високою точністю і високим
рівнем універсальності, з однієї сторони, і економічністю, з другої сторони.
Чим детальніше в моделі відтворюються різноманітні особливості конструкцій, тим
точніша і більш універсальна модель, але при цьому потрібні значний об’єм
обчислень і аналіз великої кількості параметрів. Вибір математичних моделей є в
значній мірі вирішальним кроком і коректується наявністю потрібних ресурсів та
вимогами до точності розробленої моделі.
Для розв’язування математично поставленої задачі майже завжди існує декілька
методів, а крім того ще можливі різні варіанти його роботи. Це породжує
проблему вибору у використанні методу.
Після формалізації математичної задачі теплообміну необхідним є вибір методу
розв’язування, який полягає в здійсненні послідовності математичних
перетворень, що приводить до отримання значень температурного поля конструкції,
форма яких може бути аналітичною залежністю температури від координат точки та
часу або сіткою значень температури в певних точках конструкції. Вибір методу
здійснюється шляхом порівняння існуючих методів, їх переваг та недоліків для
конкретно поставленої задачі. Бажаним є той метод, який би давав швидко та
точно результат при можливо мінімальних затратах. Загальні критерії вибору
методу є аналогічні як при побудові математичної моделі [67].
Ефективність автоматизації теплового проектування в значній мірі визначається
вибором методу температурного аналізу та алгоритму для реалізації його
обчислювальної схеми [[lxviii]].
Методи теплового аналізу класифікують за різними ознаками. Одна з них – форма
отримання результатів. Згідно неї розглядають аналітичні та числові методи. До
найвідоміших аналітичних методів належать метод Фур’є, функцій Гріна,
інтегральних перетворень, послідовного наближення, методи зведення крайової
задачі до рівнянь чи задач інших типів та інші. Серед числових найпотужнішими є
методи скінчених різниць, скінчених елементів, граничних елементів [[lxix],
[lxx], [lxxi], [lxxii]].
Поділ методів на аналітичні та числові в певній мірі можна вважати умовним у
тих випадках, коли в процесі рішення задачі встановлюється аналітична
залежність, а коефіцієнти цієї залежності представлені в числовому вигляді.
Кожен з цих методів рішення задачі має свої позитивні та негативні сторони.
Приведення методу до універсального приводить до великих затрат як на розробку
алгоритму так і обчислення. Практика підтверджує необхідність розробки такого
підходу, який би поєднував переваги різних методів при використанні ресурсів з
найменшими затратами. Тому відповідь на питання, який метод – аналітичний чи
числовий – краще застосовувати, залежить від конкретної ситуації: яку задачу
вирішуємо і що хочемо отримати від розв’язку. Очевидно, що кожному методу
властиві свої переваги.
У даній роботі пропонується використання аналітичних методів у поєднанні з
числовими, застосування яких є необхідним на деякому етапі обчислень. Головна
роль у такій комбінації методів належить аналітичним. Таке поєднання стало
можливим, так як конструкція МЕП з кристалом на жорстких виводах описується
досить простою геометричною конфігурацією, а також при неврахуванні
тепловідведення з бічних поверхонь конструкції та припущенні про постійність
теплофізичних параметрів.
Перевагами такого застосування стали:
- висока точність отриманих результатів, яка визначається кількістю членів
ряду;
- достатня швидкодія процесу обчислення, яка визначається простотою
обчислювальних алгоритмів;
- незалежність обчислення температури в окремій точці від значень в інших
точках, як це буває у різницевих схемах;
- проста програмна реалізація розроблених математичних
- Київ+380960830922