РОЗДІЛ 2
ВИМІРЮВАННЯ АНІЗОТРОПНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ОДНОРІДНИХ СЕРЕДОВИЩ У СХЕМІ З ТРЬОМА ЛІНІЙНИМИ ЗОНДУЮЧИМИ ПОЛЯРИЗАЦІЯМИ
2.1. Вимірювання неповної матриці Мюллера однорідних середовищ
У загальному випадку всі шістнадцять елементів матриці Мюллера можуть бути незалежними. На практиці ж рідко доводиться мати справу з об'єктами, число незалежних елементів у матрицях Мюллера яких перевищує дев'ять [67,73,97]. Матриця Мюллера однорідних середовищ містить не більше семи незалежних елементів [68]. Однозначний зв'язок між методами Джонса та Мюллера, у рамках класу ОАС [67], дозволяє записати дев'ять рівнянь, які пов'язують між собою елементи матриці Мюллера [71].
Для однозначного визначення матриці Джонса середовища достатньо знати його перетворення трьох різних станів поляризації зондуючого випромінювання. Даний висновок випливає з властивості білінійного перетворення, що лежить в основі узагальненої еліпсометрії [107].
Запишемо рівняння (1.8) у вигляді:
, (2.1)
де - так звана, комплексна змінна, що, також, використовується для представлення стану поляризації випромінювання [67]. Вираз (2.1) представляє собою білінійне перетворення з коефіцієнтами у вигляді елементів матриці Джонса .
Одна з властивостей білінійного перетворення - існування єдиної конфігурації, яка переносить три різні точки () з площини , у три точки () площини. З точки зору поляриметрії це значить, що вплив оптичної системи на всі стани поляризації випромінювання може бути визначений, якщо відомий її вплив принаймні на три різні стани поляризації. Білінійне перетворення, що відображає останній факт, лежить в основі узагальненої еліпсометрії [67,107] і визначається наступним чином:
. (2.2)
Елементи матриці Джонса в цьому випадку, з точністю до сталого множника, визначаються як:
Зв'язок між матрицями Джонса та Мюллера визначається співвідношенням:
, (2.3)
де - матриця Мюллера недеполяризуючого (однорідного) об'єкта, - матриця Джонса того ж об'єкта. Символ позначає кронекерівський добуток, а - матриця вигляду:
Отже матриця Мюллера однорідних середовищ, як і матриця Джонса, має повністю визначатись перетворенням трьох різних поляризацій випромінювання.
Зрозуміло, що використання тільки трьох поляризацій зондуючого випромінювання не дозволить виміряти всі елементи матриці Мюллера середовища. Проте, згідно властивостей перетворення (2.1) та зв'язку (2.3), виміряних елементів має вистачати для однозначного та повного характеризування анізотропних властивостей однорідних середовищ.
Нехай ми маємо можливість вимірювати параметри Стокса випромінювання. Для вимірювання елементів матриці Мюллера середовища треба організувати його зондування випромінюванням з різними станами поляризації. В простішому випадку для цього можна скористатись лінійним плівковим поляризатором зі змінним азимутом орієнтації, на вхід якого падає випромінювання з поляризацією близькою до циркулярної. Загальний вигляд вектора Стокса лінійно поляризованого випромінювання на виході поляризатора матиме вигляд:
(2.4)
де - азимут орієнтації поляризатора.
Проаналізувавши ситуацію можна зробити висновок, що використання лінійно поляризованого випромінювання (2.4) у якості зондуючого дозволяє вимірювати елементи перших трьох стовпців матриці Мюллера середовища:
, (2.5)
Для цього на вході досліджуваного середовища слід послідовно сформувати лінійно поляризоване випромінювання з трьома різними азимутами орієнтації та виміряти зміну поляризацію після взаємодії випромінювання із середовищем. В результаті зможемо скласти сумісну систему рівнянь відносно елементів неповної матриці Мюллера (2.5), подібну до (1.32):
(2.6)
де - вектор Стокса зондуючого лінійно поляризованого випромінювання з азимутом ; - k - й вектор Стокса випромінювання після його взаємодії із середовищем. Цифрами 0-3 праворуч від системи рівнянь (2.6) позначено підсистеми 3х3 для незалежного визначення відповідного рядка неповної матриці Мюллера . Загальний вигляд цих підсистем у матричному вигляді можна записати як:
(2.7)
де k, як і раніше, - номер стану поляризації зондуючого випромінювання.
Використання для зондування лінійно поляризованого випромінювання привабливе тим, що лінійний поляризатор, необхідний для його отримання, відносно просто виготовити високої якості (дешеві плівкові поляризатори дозволяють отримувати відношення в пропусканні ортогональних лінійних поляризацій до 40 дБ.) зі значною апертурою. Останнє особливо критичне для систем растрової поляриметрії. Для формування випромінювання з еліптичною поляризацією необхідно використовувати універсальні перетворювачі поляризації, якими, зазвичай, значно важче керувати та контролювати їх однорідність у перетині.
Раніше згадувалось (див. на стор. 38), що внаслідок неточності вимірювання елементів вектора Стокса випромінювання, елементи матриці Мюллера також будуть визначатись з деякою похибкою. При визначенні елементів неповної матриці Мюллера з систем рівнянь (2.7), похибка, як і в (1.33), залежатиме від числа обумовленості відповідної характеристичної матриці системи. В нашому випадку характеристична матриця системи рівнянь для визначення кожного рядка , згідно (2.7), має вигляд:
. (2.8)
Оцінити припустимі значення похибки визначення елементів рядка з (2.7) при відомій похибці вимірювання векторів Стокса та , та відомому значенні числа обумовленості характеристичної матриці (2.8), можна з наступного співвідношення [83]:
. (2.9)
В даному випадку , та характеризують інтегральні величини і визначаються наступним чином:
(2.10)
де - абсолютні значення похибок вимірювання - го елемента вектора Стокса та визначення - го елемента матриці Мюллера, відповідно.
З (2.9) видно, що чим менше значення числа обумовленості , тим менше допустиме значення похибки , викликане неточністю вимірювання векторів Стокса.
У