РОЗДІЛ 2
ПЛОСКА ТЕРМОПРУЖНА ДЕФОРМАЦІЯ
БАГАТОШАРОВОЇ ОСНОВИ
2.1. Постановка задачі
Під терміном "термопружна багатошарова основа" будемо розуміти пружну багатошарову основу, яка зазнає термопружної деформації. Дослідження проводиться в рамках теорії незв'язною термопружності. Багатошарова основа - це пакет, складений зі скінченої кількості шарів, який лежить на абсолютно жорсткому півпросторі. Шар - це частина простору, обмежена двома паралельними площинами. Усі шари є однорідними, невагомими та ізотропними. Кожен шар характеризується товщиною , двома пружними константами (коефіцієнтами Ламе), коефіцієнтами теплопровідності та приведеним коефіцієнтом теплового розширення , де - коефіцієнтом теплового розширення матеріалу. Випадок, коли пакет шарів лежить на пружному півпросторі не треба розглядати окремо, так як його можна отримати, якщо товщину нижнього шару збільшити до нескінченності.
На межі багатошарової основи відомі напруження або переміщення та температура. На межі абсолютно жорсткого півпростору підтримується нульова температура. Треба знайти напруження, переміщення і температуру для усіх точок основи. Сусідні шари в основі вважаються зчепленими і на їх спільній межі виконуються умови ідеального теплового контакту. Вважається, що основа знаходиться в умовах плоскої деформації.
Нумерацію шарів будемо проводити зверху вниз, починаючи з одиниці. Якщо шарів в основі , то півпростір отримає номер . Всі величини, які відносяться до шару з номером , будемо позначати відповідним індексом. У кожному шарі введемо локальну декартову систему координат з початком на Верхній межі шару так, щоб усі вісі лежали на одній прямій, а вісі були паралельні (рисунок 2.1).
Задача зводиться до розв'язання такої системи диференційних рівнянь для кожного з шарів [141]:
, (2.1)
. (2.2)
Тут - функції, що описують переміщення точок шару в напрямках та відповідно, - температура, . Крім того повинні виконуватися умови контакту шарів ()
, (2.3)
. (2.4)
Останнє рівняння є математичним записом закону Фур'є [88].
На межі абсолютно жорсткого півпростору
, (2.5)
. (2.6)
На верхній межі багатошарової основи нам відома температура
(2.7)
та напруження (перша основна гранична задача)
, (2.8)
Закон Дюамеля-Неймана, який пов'язує між собою напруження, деформації та температуру, у випадку плоскої деформації має вигляд [109]:
, ,
. (2.9)
2.2. Розподіл температури в багатошаровій основі
Так як розглядається незв'язна задача термопружності, то можна спочатку розв'язати задачу про розподіл температур, а потім уже розв'язувати відповідну задачу теорії пружності.
У цьому підрозділі запропоновано метод точного розв'язку задачі про розподіл тепла в багатошаровій основі при умові, що функція, яка описує температуру, не залежить від змінної . Потрібно розв'язати систему рівнянь, яка складається з рівнянь (2.2) для кожного з шарів при виконанні умов (2.4) та (2.6) на загальних межах сусідніх шарів. Задача розв'язується за допомогою перетворення Фур'є по змінній [148]:
. (2.10)
Оберненим до нього буде перетворення
. (2.11)
Спочатку розглянемо один шар з номером . Рівняння (2.2) у просторі трансформант має вигляд:
, (2.12)
де .
Загальний розв'язок рівняння (2.12):
. (2.13)
2.2.1. Допоміжні функції шару. Введемо допоміжні функції шару, пов'язані з трансформантами функцій, які описують температуру та потік на верхній межі шару:
. (2.14)
Підставляючи (2.13) в (2.14), знаходимо, що . Таким чином
. (2.15)
Це означає, що для знаходження температури в точках -го шару достатньо визначити допоміжні функції цього шару.
Умови (2.4) в просторі трансформант мають вигляд:
, . (2.16)
Звідси отримаємо залежності між допоміжними функціями сусідніх шарів:
. (2.17)
Тут , , . Штрих над функцією означає похідну по змінній .
Таким чином, для розв'язку задачі достатньо знати допоміжні функції одного з шарів, наприклад першого. Інші допоміжні функції визначаються за рекурентними співвідношеннями (2.17). Допоміжну функцію можна визначити безпосередньо з граничних умов. Опишемо спосіб отримання другої з цих функцій.
2.2.2. Функції податливості. На нижній межі -го шару температура дорівнює нулю. Це означає, що . Використавши (2.15) матимемо, що , звідки
. (2.18)
Виразимо функції через за формулами (2.17) і підставимо в (2.18). Знайдемо з отриманого співвідношення :
У цю формулу замість функцій підставимо їх вирази через , (за формулами (2.17)), і розв'яжемо отримане рівняння відносно . У результаті отримаємо лінійну залежність від . Продовжуючи таким чином, можна зробити висновок, що функції й лінійно залежні для довільного . Запишемо цю залежність у вигляді
. (2.19)
Функції будемо називати функціями податливості -го шару основи. Отримаємо рекурентні формули для обчислення функцій . Для цього обчислимо функцію двома способами. З одного боку з формули (2.17) випливає
З іншого боку з (2.19) маємо
Праві частини двох останніх рівностей повинні співпадати при будь-яких функціях . Звідси отримаємо, що
або
. (2.20)
Порівнюючи (2.19) та (2.18) знайдемо, що для нижньо