РОЗДІЛ 2
Постановка задач для прямокутного пружного хвилеводу
В розділі наведено постановки задач динамічної теорії пружності про нормальні
хвилі в прямокутному хвилеводі та планарні коливання тонких прямокутних
пластин. Описано можливі типи симетрії розв’язків для прямокутного хвилеводу,
пояснено фізичний зміст характеристик нормальних мод.
2.1. Задача про нормальні хвилі в прямокутному хвилеводі
Розглянемо пружний прямокутний хвилевід , з однорідного ізотропного матеріалу
густини , модулем зсуву , коефіцієнтом Пуассона . Ставиться задача визначення
нормальних хвиль (мод), які розповсюджуються вздовж вісі , частоти і довжини .
Зміщення елементів хвилеводу (, – стала розповсюдження) з малими амплітудами
задовольняють рівняння руху Ламе для амплітудних компонент
,
,
, (2.1)
де .
Тут і надалі гармонічний множник опускається.
За теоремою Гельмгольца вектора зміщень можна представити у вигляді суми
градієнта скалярного потенціалу і ротора векторного потенціалу
, (2.2)
або у по компонентному вигляді:
. (2.3)
Рівняння руху Ламе (2.1) тотожньо виконані, якщо потенціали та задовольняють
наступні диференціальні рівняння
, ,
, , (2.4)
де ; ; і – швидкості зсувної і поздовжньої хвиль у необмеженому пружному
середовищі, разом з додатковою умовою
. (2.5)
В задачі про нормальні моди розглядають хвилевід з вільними від навантажень
поверхнями:
, , , ;
, , , . (2.6)
Амплітудні компоненти тензора напружень пов’язані зі зміщеннями законом Гука
[62, С. 31]
. (2.7)
Шуканими розв’язками є ті розв’язки рівнянь (2.4), що задовольняють граничним
умовам (2.6) на бічних поверхнях хвилеводу. При цьому аналіз зводиться до
зліченого ряду розв’язків, пов’язаного з нормальними модами.
Для дослідження впливу параметрів навантаження на напружено-деформований стан
хвилеводу доцільно розглянути, наприклад, дію періодичних нормальних
навантажень частоти , рівномірно розподілених вздовж вісі хвилеводу амплітуди
яких задаються функціями і :
, , , ;
, , , . (2.8)
При дослідженні нормальних хвиль у пружних хвилеводах окремий інтерес
представляє граничний випадок, коли стала розповсюдження обертається в нуль,
тобто довжина хвилі стає нескінченно великою. Тоді задача зводиться до вивчення
коливань нескінченної прямокутної призми, що знаходиться у стані плоскої
деформації (). Розв’язки рівнянь (2.4) при визначають частоти запирання
нормальних хвиль. Оскільки в цьому випадку хвильові рухи повністю
характеризуються двовимірним полем в площині , то результати в однаковій мірі
відносяться як до випадку плоскої деформації, так і до узагальненого плоского
напруженого стану. Остання задача математично ідентична задачі про планарні
коливання тонких пластин, при цьому вона має фізичний зміст лише для тих довжин
хвиль, які значно більші за товщину пластини [12].
Планарні коливання тонких пластин вивчалися теоретично і експериментально
багатьма дослідниками, наприклад, [29, 94, 106, 130, 138, 163]. Зручними для
постановки експериментів є п’єзокерамічні матеріали [106, 107, 138],
анізотропія яких не виявляється у випадку поляризації за товщиною пластини.
Розглянемо поляризовану по товщині п’єзокерамічну прямокутну пластину , .
Коливання пластини збуджуються змінним гармонічним напруженням частоти , що
підводиться до електродів, розташованих на поверхнях . Поверхні і бічні сторони
пластини вільні від механічних навантажень.
Ставиться задача дослідити коливальні характеристики пластини, такі як
резонансні частоти і форми коливань.
Товщина пластини вважається малою порівняно з бічними розмірами , .
Припускається, що електроди є нескінченно малими, тобто всі механічні ефекти
від них ігноруються.
Зв’язані електромеханічні поля в такій пластині описуються системою рівнянь
відносно напружень , деформацій , напруженості електричного поля та електричної
індукції ( приймають значення ). Лінеарізовані рівняння електрострикції Мезона
мають вигляд:
, ,
, ,
, ,
, ,
, (2.9)
де тензори , і відповідають пружним, п’єзоелектричним і діелектричним сталим
п’езокерамічного матеріалу, відповідно.
Співвідношення Коші:
, , , ,
, . (2.10)
Рівняння руху без урахування об’ємних сил:
, ,
. (2.11)
Рівняння вимушеної електростатики Максвела, справедливі для акустичного
діапазону частот:
, , , (2.12)
де описує струм зміщення в пластині.
Рівняння (2.9)-(2.12) можна виразити через компоненти вектора змішень і
електростатичний потенціал . Для визначення цих чотирьох скалярних функцій
необхідно задовольнити граничним умовам.
На вільних від механічних навантажень поверхнях пластини маємо:
, , , ;
, , , ;
, , , . (2.13)
Електричні умови для вказаного способу збудження коливань мають вигляд:
, ; , ;
, ; , . (2.14)
Нижні знаки в двох останніх виразах вказують на те, що на частину електродів
подається протифазне напруження по відношенню до інших електродів.
У відповідності з обраним способом збудження коливань будемо вважати процес
усталеним і розглядати амплітудні значення електромеханічних характеристик,
опускаючи множник . Обмежимося розгляданням планарних коливань пластини.
Оскільки поверхні і бічні сторони вільні від навантажень, припустимо, що
, , (2.15)
в усьому об’ємі пластини. Ці припущення аналогічне гіпотезам узагальненого
напруженого стану. Для інших механічних характеристик використовуються
усереднені значення відносно серединної площини пластини:
.
Тоді три рівняння руху (2.11) скорочуються до двох
, . (2.16)
З урахуванням (2.15) вираз для в (2.9) перетворюється наступним чином:
,
де – механічна дилатація в площині пл