Динамика спинорных самогравитирующих полей в аффинно-метрическом пространстве-времени

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Спинорное поле в пространстве
Минковского
§1.1 Преобразования Лоренца в пространстве Минковского
§ 1.2 Спинорные представления группы Лоренца §1.3 Представление спиноров действительными тензорами 1
§1.4 Уравнения для спинорных полей
Глава 2. Спинорное поле в римановой
геометрии
§2.1 Ковариантное дифференцирование спиноров в римановой геометрии
§ 2.2 Формулировка теории динамики гравитационных взаимодействий спинорных полей в римановом пространстве
§ 2.3 Однородные космологические модели со спинорными ПОЛЯМИ § 2.4 Стационарные конфигурации самогравитирующего спииорного поля с цилиндрической симметрией § 2.5 Стационарные сферически — симмегричные конфигурации со спинорным полем § 2.6 Особенности гравитационного взаимодействия спинорного поля
§ 2:7 Стационарная задача о спин — спиновом взаимодействии спинорного и гравитационного полей § 2.8 Обобщение ковариантного дифференцирования спиноров и возможные физические следствия
Глава 3. Спинорное поле в пятимерной теории гравитации
§3.1 Ковариантное дифференцирование спиноров в 68
пятимерном пространстве — времени
§3.2 Пятимерные изотропные космологические модели 73 со спинорным полем
§ 3.3 Пятимерные вращающиеся космологические 77
модели со спинорным полем
§3.4 Пятимерные стационарные конфигурации 87
самогравитирующего спинорного поля с цилиндрической симмегрией
§3.5 Пятимерные стационарные сферически — 93
симметричные конфигурации со спинорным полем
Глава 4. Спинорное поле в пространствах аффинно-метрической связности с кручением и
неметричностью
§ 4.1Геометрическое введение . 96
§ 4.2 Проблемы и трудности ОТО. Основные положения юо теории гравитации с кручением
§ 4.3 Ковариантное дифференцирование спинорного 105
поля в пространстве с кручением и4
§ 4.4 Гравитационное взаимодействие спинорного поля 1 об
в пространстве с кручением
§ 4.5 Спинорное поле в пространстве Вейля 113
§ 4.6 Динамика гравитационного взаимодействия 118
спинорного поля в пространстве с неметричностью и кручением
Заключение 121
Литература 124
з
Введение
Среди разрабатываемых в настоящее время разделов теоретической физики одним из важнейших и интереснейших является теория спинорного поля и возникшее в результате развития этой теории спинорное исчисление.
Спинорные поля, описывающие фермионы, то есть частицы с полуцелым
спином играют фундаментальную роль в современной теории поля.
Дираковское спинорное поле вместе с электромагнитным полем Максвелла составляет материальный объект исследования в квантовой электродинамике [116]. Такую же роль играет спинорное поле в объединенной теории слабых и электромагнитных взаимодействий - теории Вайнберга - Салама, в теории сильных взаимодействий - квантовой хромодинамике, а также во всех современных моделях теорий объединения фундаментальных взаимодействий. Еще больший интерес вызывают спинорные поля в связи с развитием возникшей недавно теорией суперсимметрии и супергравитации. Оказалось, что учет в квантовой теории гравитации полей полуцелого спина (суиерфавитация) резко уменьшает расходимости в теории. Эти факты с очевидностью приводят к мысли об определяющей роли спинорного поля в структуре материи и возрождают интерес к разрабатываемой в 50-х годах XX века теории фундаментального спинорного поля Иваненко - Гейзенберга, являющейся основой перспективной единой теории материи [1].
Интерес к нелинейной спинорной теории усилился сравнительно недавно в связи с обнаружением факта [2], свидетельствующего о том, что в рамках общерелятивистской теории гравитации с кручением взаимодействие линейного дираковского спинорного поля с кручением пространства -времени индуцирует у спинорного поля кубическую нелинейность псевдовекторного типа, в результате чего линейное спинорное уравнение Дирака переходит в нелинейное уравнение типа Иваненко - Гейзенберга [1]. Этот факт, в свою очередь, заставляет обратить внимание на проблему возможной роли геометрии в структуре элементарных частиц [3,67,68].
Спинорное исчисление в настоящее время играет важную роль в общерелятивистской теории гравитации как в связи с исследованием динамики спинорных полей в гравитационном поле (в искривленном пространстве - времени[129]), так и в связи с исследованием структуры самого пространства - времени. Начало этому направлению положено в работах Р. Пенроуза, Е. Ньюмена и др. [4] по исследованию спинорной структуры пространства - времени. Поскольку спинор более простой математический объект, чем тензор, и из спиноров операцией квадрирования можно построить тензор произвольного ранга, то описание геометрических характеристик пространства - времени, метрики, связности, кривизны, на спинорном языке позволяет найти и исследовать более тонкие и фундаментальные свойства структуры пространства - времени.
4
Таким образом, даже кратко приведенное рассмотрение роли спинорных полей в современной теоретической физике демонстрирует важность и актуальность исследования теории спинорного поля, как на квантовом, так и на классическом уровнях в рамках общерелятивистской теории гравитации и развития спинорного исчисления [54].
Важнейшей задачей . исследований является изучение динамики сплошных сред с внутренними степенями свободы в собственных гравитационных нолях. Такая постановка задачи особенно актуальна в астрофизике и космологии в связи с проблемой сингулярностей, так как известно, что гравитационное сжатие (коллапс) сплошных сред с обычными свойствами с неизбежностью приводит к образованию сингулярностей [5, 114]. Следовательно, возникает необходимость принять как можно более широкие представления о структуре пространства ~ времени и исследовать, в какой степени влияние внутренних степеней свободы материи, в частности, ее спина, в состоянии предотвратить возникновение сингулярностей. Одной из интересных моделей для такого рода исследований является самогравитирующая сплошная среда в виде спинорных полей различного типа. Это в свою очередь приводит к проблеме исследования динамики спинорных полей в рамках общерслятивистской теории гравитации и описанию спиноров в пространствах, наделенных различными геометрическими свойствами — кривизной, кручением, немстричностыо и так далее. Исследование динамики самогравитирующих классических спинорных полей важно также в связи с исследованием поведения различных современных моделей теории объединения фундаментальных взаимодействий в древесном приближении на различных этапах эволюции Вселенной, когда квантовые эффекты еще достаточно малы, а также в связи с развитием теории суперсимметрии [69,70,71,72], приводящей к необходимости одновременного рассмотрения в моделях фундаментальных взаимодействий полей целого и полуцелого спинов.
В настоящей диссертационной работе представлены результаты исследований по динамике самогравитирующих спинорных полей в рамках общерелятивистской теории гравитации, которая включает в себя как классическую теорию 1равитации А. Эйнштейна - общую теорию относительности (ОТО), так и ее обобщения - теорию гравитации с учетом кручения пространства - времени (теория Эйнштейна - Картана (ТЭК)), а также неметричность пространства - времени (теория гравитации Г. Вейля).
Поскольку приходится рассматривать свойства спинорных полей в различных пространствах более общего типа, нежели пространство Минковского М^, то есть 4-мерное псевдоевклидово пространство Е (1,3), где спиноры первоначально и были введены, то есть в искривленном римановом пространстве \^, в пространстве Римана - Картана И*, в пространстве Эйнштейна - Вейля с неметричностыо и других более общих пространствах, то в данной работе представлены также исследования и по вопросам спинорного анализа в этих обобщенных 4-мерных пространствах.
Здесь рассматривается дираковские 4-компонентные спиноры, которые с математической точки зрения являются композицией двухкомпонентных
5
спиноров, то есть биспинорами[73,74], но в дальнейшем они просто будут называться спинорами.
Известно, что дираковские спиноры являются простейшими и неприводимыми представлениями алгебры Клиффорда [6,117]
С (1,4), которая соответствует 5 -мерному пространству с сигнатурой
(- + + + +). Об этом говорит и формула связи между числом спинорных
компонент N и размерностью пространства п, в которой они вводятся:
Г;1
N = 21г\ где квадратные скобки обозначают целую часть от числа. Из этой формулы видно, что для N=4 (размерность дираковского спинора) подходят и п=4, и п=5, то есть дираковский спинор является объектом и четырехмерного и пятимерного пространств.
Поэтому в представленной работе рассматривается самогравитирующие спинорныс поля и в пятимерных пространствах, тем более что современная теоретическая физика все более часто при разработке физических теорий объединений фундаментальных взаимодействий использует пространства высших размерностей. К ним относятся пятимерная геометрическая теория гравитации и электромагнетизма Калуцы [57, 95], наиболее последовательно и полно представленная в работах Ю. С. Владимирова [7], геометрическая пятимерная модель грави - электрослабых взаимодействий, шестимерные и семимерные геометрические модели грави-электрослабых
взаимодействий[30,60], объединяющие в единую геометрическую конструкцию все 4 фундаментальных взаимодействия.
Как известно, существует несколько способов введения спиноров в геометрию пространства - времени.
Это, во-первых, наиболее известный способ введения спиноров как инвариантных объектов, преобразующихся по спинорному представлению группы Лоренца.
Во-вторых, ввести спиноры в геометрию пространства - времени можно с помощью образующих алгебр Клиффорда [10,75,] С (1,3) и С (1,4), каковыми являются известные четырехрядные матрицы Дирака у. (/ = 1,2,3,4), представляющие собой матричный вектор в пространстве
Минковского.
В-третьих, известен метод Э. Шмутцера [8], который начинает введение двух компонентных спиноров через более общие объекты как векторы двухмерного комплексного линейного пространства, доопределяя затем путем дедукции комплексные линейные преобразования до преобразований по спинорному представлению группы Лоренца, переходя затем к биспинорам, то есть к четырехкомпонентным дираковским спинорам.
Сравнительно недавно, в 80-х г. г. XX века, был найден Ю. С. Владимировым еще один способ введения спиноров в рамках развиваемой им теории «бинарной геометрофизики», или иначе, теории бинарных систем комплексных отношений (БСКО) [9,10]. В этой теории спиноры появляются естественным образом при рассмотрении струкгуры БСКО ранга (3;3).
Целью данной работы является исследование свойств спинорных полей в рамках общерелятивистской теории гравитации, рассматривающей
6
гравитацию как проявление геометрических свойств искривленного пространства - времени, а возможно оснащенного и другими структурами, например, кручением и неметричностыо.
В первой главе кратко изложено введение спиноров в пространстве Минковского, в соответствии с первым традиционным способом, то есть через спинорные представления группы Лоренца, и в связи с этим рассмотрены сначала свойства спинорных полей в псевдосвклидовом пространстве и различного вида линейные и нелинейные уравнения, описывающие динамику спинорных полей.
Во второй главе рассмотрено спинорное поле в римановой геометрий, а именно ковариантное дифференцирование спиноров, где определяются коэффициенты спинорной связности ГА через матрицы у{ и их римановы производные, и возможные физические следствия. Дана также формулировка теории динамики гравитационных взаимодействий спинорных полей, где в качестве примеров рассмотрены четырехмерные однородные и изотропные космологические модели с линейными спинорными полями. Результаты исследований показывают, что дираковское массивное спинорное поле во фридмановской космологии эквивалентно пылевидной материи и дираковское безмассовое спинорное поле (например, нейтрино) в космологических моделях Фридмана является «духовым» полем, то есть оно не оказывает влияние на эволюцию космологической модели.
Введены однородные космологические модели со спинорными полями, которые решены для различных видов нелинейности спинорных полей и показано, что нелинейное спинорное поле является полевой моделью для баротропной идеальной жидкости с любым коэффициентом баротропности
— 00 < ЦТ < 00 .
Рассмотрено взаимодействие спинорного и гравитационного полей в стационарном римановом пространстве - времени, то есть исследуются стационарные поля с цилиндрической симметрией. Сначала исследовано взаимодействие линейного спинорного и гравитационного полей. Далее рассмотрены свойства гравитационного взаимодействия уже нелинейных спинорных полей с нелинейностью степенного вида. В результате становится ясно, что цилиндрические конфигурации самогравитирующего спинорпого поля с нелинейностью типа Л(4'Ч;)/1 не обладают плоской асимптотикой, но могут индуцировать образование геометрии пространства - времени с нетривиальной топологией, типа замкнутого пространства или «кротовой норы».
Решена задача о взаимодействии спинорного и гравитационного полей в стационарном римановом пространстве - времени с сферически -симметричной конфигурацией, где получена метрика «кротовой норы», но без плоской асимптотики в случае линейного спинорного поля и метрика «кротовой норы» с плоской пространственной асимптотикой в случае нелинейного спинорного ПОЛЯ.
Рассмотрена структура лагранжиана спинорного поля в римановом пространстве, взаимодействующего с гравитационным полем, которое
7
индуцирует псевдовекторную нелинейность у снинорного поля и приводит к взаимной поляризации.
Решена стационарная задача о спин - спиновом взаимодействии спинорного и гравитационного полей. В результате чего выяснилось, что пустое стационарное пространство - время, в котором существует «априори» стационарное вихревое гравитационное поле имеет геометрию «кротовой норы».
. Приведено обобщение ковариантного дифференцирования спиноров и рассмотрены возможные физические следствия этого, где показывается, что в различных гравитационных теориях с квадратичными по кривизне лагранжианами получающееся в них волновое гравитационное вихревое поле может быть как обычным массивным полем, так и тахионным полем.
В третьей главе исследовано снинорное поле в пятимерной теории гравитации. Сначала разобран общий вопрос о ковариантном дифференцировании спиноров в пятимерном пространстве — времени, где показано, что формула для пятимерных коэффициентов спинорной связности полностью совпадает' по виду с формулой для четырехмерных коэффициентов. . '
Представлены следующие пятимерные задачи со спинорным полем:
1) изотропные космологические модели, где в качестве примера исследованы пятимерные однородные космологические модели со спинорными полями (линейными и нелинейными); в результате получено, что за конечное время (/ = //) скорость расширения Вселенной и ее размеры стремятся к
бесконечности («Большой Треск» - разрыв пространства);
2) вращающиеся космологические модели, где показано, что спинорное поле взаимодействует лишь с псевдоследом кручения пространства - времени и с вихревой составляющей гравитационного поля, причем одинаковым образом, то есть для спинорной материи оба эти объекта эквивалентны, и играют роль калибровочного поля локальной группы уь —вращений; в результате
выяснено, что (р(1) уменьшается' по мере расширения 4-мерного
пространства-времени, то есть <р(1) ведет себя как обычная материя, а
влияние космологического вращения (если оно существует) эквивалентно наличию дополнительной плотности массы, сопоставимой с плотностью "темной энергии", т. е. возможно, что наличие "темной энергии" есть эффект космологического вращения;
3) стационарные конфигурации самогравитирующего спинорного поля с цилиндрической симметрией, где показано, что «кротовая нора» не
образуется, и нет плоской асимптотики; ’
4) стационарные сферически - симметричные конфигурации; в результате выяснено, что нелинейное по ('Р4')п самогравитирующее спинорное поле при п-2 с поляризованным по радиальному направлению спином может образовывать «кротовые норы», но размеры, которых очень малы - порядка планковской длины. '
В четвертой главе рассмотрено спинорное поле в пространствах
8
аффинной связности с кручением и неметричностью, где исследование динамики самогравитирующих спинорных полей проводится не только в римановом просіранстве У4, но и в пространстве с кривизной и кручением оснащенном метрикой сіБ2 = ^аР(іха(іхр (пространство и4), а также в пространствах с неметрической связностью (Ув£ ^0). Получены общие
результаты в виде теорем о взаимосвязи динамики самогравитирующих линейных и нелинейных спинорных полей в римановом пространстве и в пространстве и4. Показано, что кручение может не только индуцировать, но и компенсировать кубическую нелинейность псевдовекторного типа (4,ууп'¥)ууах¥ как в уравнениях спинорных полей, так и в уравнениях гравитационного поля.
В параграфе о ковариантном дифференцировании спинорного поля в пространстве с кручением и4 вычислены коэффициенты спинорной связности и ковариантная производная от спинорных функций Х¥(хр) и Ч?(хр).
Рассмотрено гравитационное взаимодействие спинорного поля в пространстве с кручением, где показано, что все конкретные результаты для самогравитирующего спинорного поля (линейного или нелинейного), полученные в рамках ОТО, молено рассматривать как результаты для самогравитирующего спинорного поля (нелинейного или линейного, соответственно) в пространстве с кручением.
Исследовано спинорнос поле в пространстве Вейля, где рассмотрена модельная теория в пространстве с дилатациями, но без кручения, для выделения в «чистом» виде эффекта взаимодействия векторного тока материи с неметричностью пространства-времени.
При рассмотрении динамики гравитационного взаимодействия спинорного поля в пространстве с неметричностью и кручением последние одновременно индуцируют (или компенсируют) векторную и псевдовекторную нелинейность не только в уравнениях спинорного поля, но и в уравнениях гравитационного поля.
9
Глава 1 Спинорное поле в пространстве Минковского
§ 1.1 Преобразования Лоренца в пространстве
Минковского
Рассмотрим четырехмерное псевдоевклидово векторное пространство Минковского. Скалярные произведения векторов ортонормированного базиса = (в|, в этом пространстве определяются матрицей
88"
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0- -1
Проанализируем множество всех преобразований базисов пространства Минковского:
е71 -//е,, (1.1.2)
определяемое условием инвариантности скалярного произведения векторов базиса ег.
(11-3)
Преобразования //, оставляющие инвариантными скалярные произведения gjj = (с{, е^) векгоров ортонормированного базиса пространства Минковского, называются общими преобразованиями Лоренца.
Уравнения (1.1.3) при \ = п = 4 записываются в виде
(О2-£(/:)’=1. (1.1.4)
а=1
Отсюда следует (/4)2 >1, (1.1.5)
и, значит, коэффициент /44 общего преобразования Лоренца всегда или больше единицы, или меньше минус единицы:
1 или /;< -1. (1.1.6)
10
Обозначим матрицу из коэффициентов преобразования //символом Ь, а матрицу из компонент символом g, условие инвариантности (1.1.3) можно записать в матричном виде:
где «т» - символ транспонирования. Так как 17 = бе1 Ь, то из уравнения (1.1.7) следует
(бе1 Ь)2 = 1. (1.1.8)
Таким образом, для определителя матрицы из коэффициентов общего преобразования Лоренца имеем
беї Ь = + 1.
(1.1.9)
Если преобразования и базисов пространства Минковского удовлетворяют уравнению (1.1.7), то произведение преобразований 1*\Ьг таюке удовлетворяет уравнению (1.1.7). Из уравнения (1.1.9), следует, что для каждого преобразования Ь, удовлетворяющего уравнению (1.1.7), всегда существуег обратное преобразование I/ , причем Ь'1 также удовлетворяет уравнению (1.1.7). Таким образом, множество всех общих преобразований Лоренца образует группу, называемую общей группой Лоренца.
Общую группу Лоренца разбивают на чегыре связные компоненты.
1. Первая связная компонента состоит из собственных преобразований Лоренца, выделяемых условием равенства +1 определителя матрицы из
коэффициентов преобразования коэффициента /*:
// и условием положительности
(1.1.10)
2.’ Вторая связная компонента общей группы Лоренца состоит из всех преобразований вида РС, где в - собственное преобразование Лоренца,
Р - преобразование отражения пространства:
НК1
-1. 0 0 0
0 -1 0 0
0 0- -1 0.
0 0 0 1
ал.»)
Преобразования вида РО будем называть несобственными преобразованиями первого рода. Для них выполняются соотношения
0*| //||= -1,
(1.1.12)
її