Методы нелинейного многозначного анализа в задачах операторных и дифференциальных включений

Оглавление
Введение 4
1 Предварительные сведения. 23
1.1 Обозначения и некоторые сведения из функционального и многозначного анализа........................ 23
1.2 Элементы теории бифуркаций для мультиотображений 33
2 Задача о глобальной бифуркации периодических решений дифференциальных включений 35
2.1 Глобальная бифуркация периодических решений дифференциальных включений............................. 36
2.1.1 Постановка задачи.......................... 36
2.1.2 Глобальная структура ветви нетривиальных решений при р = 1.............................. 38
2.1.3 Глобальная структура ветви нетривиальных решений при р = 2.............................. 41
2.2 Глобальная бифуркация периодических решений
функционально - дифференциальных включений . . 47
2.2.1 Постановка задачи.......................... 47
2.2.2 Глобальная структура ветви нетривиальных решений........................................ 50
2.3 Пример.......................................... 54
3 Метод направляющих функций для дифферепциаль-
2
ных включений в гильбертовом пространстве 57
3.1 Обозначения и определения......................... 57
3.2 Постановка задачи................................. 59
3.3 Основные результаты............................... 61
3.4 Пример............................................ 70
4 Глобальная бифуркация решений линейных фред-гольмовых включений с выпуклозначными возмущениями 73
4.1 Постановка задачи................................. 73
4.2 Глобальная структура множества нетривиальных решений ................................................. 76
Список литературы 85
і
3
Введение
Применение геометрических и топологических методов нелинейного анализа к исследованию различных вопросов теории операторных и дифференциальных уравнений имеет давнюю историю и восходит к именам А. Пуанкаре, JL Брауэра, П.С. Александрова, Г. Хопфа, Ж. Лере. Ю. Шаудера. Дальнейшее развитие эти методы получили в трудах М.А. Красносельского, H.A. Бобылева, Ю.Г. Борисовича, П.П. Забрейко, В.Г. Звягина, А.И. Перова, А.И. Поволоцкого, Б.Н. Садовского, Ю.И. Сапронова, В.В. Стрыгина, K. Deimling’a, L. Gorniewicz’a, J. Mawhin’a и многих других исследователей.
С помощью указанных методов оказалось возможным эффективно решать такие важные задачи теории дифференциальных уравнений как вопросы существования решений и существования периодических решений, анализ топологической структуры множества решений, исследование непрерывной зависимости решений от начальных данных и параметров и другие проблемы.
Начиная со второй половины XX века эти методы распространяются на теорию дифференциальных включений. Развитие теории дифференциальных включений связано с тем, что дифференциальные включения являются удобным аппаратом для описания управляемых систем различных классов, систем с разрывными характеристиками, изучаемых в различных разделах теории оптимального уравления, математической физики, математической экономики и др. Различные задачи теории дифференциальных включений были
изучены с помощью методов нелинейного н многознаного анализа в работах Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, М.И. Каменского, А.И. Поволоцкого, A.B. Арутюнова, В.Г. Задорожного, А.И. Булгакова, E.JÏ. Тонкова, A.A. Толсто-ногова, В.В. Филиппова, J.P. Aubin’a, A. Cellina, K. Deimling’s, L. Gorniewicz’a, Р. Nistri, N.S. Papageorgiou, P. Zecca и других.
Важное место в исследовании дифференциальных и функционально - дифференциальных включений занимают задачи о существовании периодических решений и задачи о глобальной структуре множества периодических решений. Для изучения этих вопросов потребовалось развитие ряда важных разделов анализа многозначных отображений.
Существенную роль здесь играет теория топологической степени многозначных отображений. Разработке этой теории для вполне непрерывных многозначных отображений с выпуклыми значениями были посвящены труды Ю.Г. Борисовича, Б.Д. Гельмана, А.Д. Мышкиса, В.В. Обуховского, A. Cellina, A. Granas’a, A. Lasota и другие.
Одним из наиболее эффективных средств решения задач о периодических колебаниях является метод направляющих функций, разработанный М.А. Красносельским, А.И. Перовым, H.A. Бобылевым и др. Сущь этого метода заключается в том, что топологическая степень многозначного отображения может быть оценена индексом.соответствующей направляющей функции. Различные модификации этого метода можно найти в работах А.И. Перова, В.В. Обуховского,
С.В. Корнева и L. Gorniewicz’a. Применение метода направляющих
5
функций для изучения глобальной структуры множества периодических решений дифференциальных включений впервые изложено в работе W. Kryszewski.
Настоящая диссертационная работа посвящена дальнейшей разработке геометрических и топологических методов нелинейного многозначного анализа и их приложениям к задачам о существовании периодических решений и о глобальной структзфе множества периодических решений дифференциальных и функционально-диффере н Ц11 ал ь н ы х в к л ю чен и й.
Существование ветви нетривиальных решений операторных уравнений, выходящей из точки бифуркации было изучено М.А. Красносельским (см. [30]). Теорема о глобальной структуре множества решений операторных уравнений была доказана в работе Р.Н. Rabinowitz’a (см. [38]). Отметим, что в дальнейшем топологические методы в теории бифуркаций применяли в своих работах также H.A. Бобылев, Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, М.И. Каменский, А.М. Красносельский, Ю.И. Сапронов, Б. Dancer, J. Marsden, L. Gorniewicz, W. Kryszewski и многие другие исследователи. Результаты М.А. Красносельского и Р.Н. Rabinowitz’a были обобщены в работе J.C. Alexander’a и P.M. Fitzpatrick’a (см. [9]) для включений. Отметим, что основная трудность в этой задаче возникает при вычислении бифуркационного индекса.
В данной диссертационной работе рассматривается приложение метода направляющих функций для изучения глобальной структуры множества периодических решений дифференциальных и функционально-дифференциальных включений. В диссертации вво-
б
дятся новые определения направляющей функции и получаются новые результаты. Эти результаты показывают, что метод направляющих функций является эффективным средством не только для решения задач о периодических колебаниях, но и для изучения глобальной структуры множества периодических решений.
Однако до сих пор все развития этого метода касались лишь дифференциальных уравнений и включений в конечномерных пространствах. В данной диссертационной работе предлагается новый подход к распространению этого метода на бесконечномерное гильбертово пространство и его применения к доказательству существования периодических решений дифференциальных включений.
В последней главе диссертации рассматривается задача о глобальной структуре множества решений линейных фредгольмовых включений с выпуклозначными возмущениями. Такие включения естественно возникают при изучении уравнений с разрывными нели-нейностиями. Примером может служить проблема Лаврентьева об отрывных течениях и др.
Пусть X - банахово пространство; Р(Х) [Су(Х), обозна-
чает совокупность непустых [соответственно: непустых выпуклых замкнутых, непустых выпуклых компактных) подмножеств X. Символами С([0,Т},Х) [7/([0,Т], X)] обозначаются пространство всех непрерывных [соответсвенно: р—суммируемых] функций на [0,7'] со значениями в X, р > 1. Для любого х 6 С([0:Т],Х) и любого / 6 ^([О,^,^), их соответствующие нормы определяются обычным образом: