Асимптотическое поведение положительных операторов на банаховых решетках

Введение
Исследования положитсльпых операторов и операторных полугрупп на банаховых решетках ведутся давно, и исходным пунктом этих исследований зачастую служит теория положительных матриц (см., например, (Sch2, Chapter I]). В связи с этим важную роль играет изучение классов операторов, таких, что пространство, на котором они действуют расщепляется в прямую сумму конечпомерпой банаховой решетки, где оператор представляется в виде положительной обратимой матрицы, и подпространства, где степени оператора сильно сходятся к нулю. В последнее время операторы такого типа (называемые стягивающими) привлекают к себе все более значительный интерес со стороны исследователей в различных разделах математики, что мотивируется появлением подобных операторов в прикладных задачах теории вероятностей, дифференциальных уравнений и др. (см., например. [La], [LLY], [KL], [Ко'2]). Рассмотрим это понятие более подробно, не ограничивая рассмотрение только положительными операторами.
Пусть для некоторого непрерывного оператора X, действующего в банаховом пространстве X, удалось построить указанное выше расщепление, т.е. представить X в виде прямой суммы A'i + Х2 инвариантных относительно Т подпространств, причем JYi конечномерно И Т\х, — изометрия Xi по отношению к некоторой подходящей эквивалентной норме, а последовательность (Тп|а‘2) сходится к нулю в сильной операторной топологии. Тогда для любого х е Вх := {у 6 X : ||у|| < 1} выполняется
clist(Tn£, BXl) := inf{||Tn^ - «|| : г € BXl} -* 0 (п — оо), где Вд-, — единичный шар в A’i. Множество Вх, является ко-
2
нсчномсрным и, тем самым, компактным аттрактором оператора Т.
Верпо и обратное, а именно, пусть оператор Т имеет компактный аттрактор, т.е. существует компактное множество F такое, что для любого х 6 В\ выполняется
dist(7,raT, F) —» 0 (п —+ ос).
Тогда Т расщепляется на изомстричную составляющую конечного ранга и затухающую составляющую. Это утверждение является важной составной частью теоремы, которая была установлена А. Ласотой, Т.У. Ли и Д.А. Йорком в [LLY] для марковских операторов, действующих в Li(^), а затем многократно нередо-казывалась и уточнялась различными авторами ([Kol], [Si], [Ва], [Но], (Ra2|). В диссертационной работе предлагается новое ин-финитезимальной доказательство этого результата в несколько более общем контексте (см. теорема 4.1) — для стягивающих од-нопарамстрических операторных полугрупп. Заметим, что возникшая около тридцати пяти лет назад глубокая и имеющая многочисленные применения теория Гликсбсрга — Джскобса — Де Лю (см., например, (Кг, §2.4], [Lv, Глава 4, §3]), позволившая найти единый подход к исследованию стягивающих операторов ([Si], [Ra2]), к сожалению, не дает прозрачного и ясного способа построения соответствующего расщепления стягивающих операторов, что и послужило одной из главных причин для автора диссертационной работы попытаться привлечь технику инфини-тезимального анализа для прояснения ситуации. Как оказалось, инфинитезимальный анализ удачно применяется и при решении ряда других проблем, рассматриваемых в работе. И хотя все приведенные ниже доказательства имеют стандартные аналоги, автор п работе придерживается “нестандартного подхода” который зачастую выглядит проще и экопомит время па понимание
3
ияси того или иного доказательства.
Переформулируем теорему Ласоты — Ли — Йорка следующим образом: оператор с компактным аттрактором имеет конечномерный аттрактор. Такая формулировка приводит к вопросу о том, какие ограничения на аттрактор усиливаются автоматически. Укажем два важных результата, связанных с этим вопросом. Д. Коморник [Ко2] показал, что положительный оператор со слабо компактным аттрактором, действующий в пространстве //і(/г), всегда имеет компактный аттрактор. Ф. Рэбигер [Яа2] установил, что нерасширяющий (т.е. имеющий норму, не превосходящую единицы) положительный эргодичный оператор в банаховой решетке, имеющий квази-порядково ограниченный аттрактор (т.е. аттрактор, лежащий в сумме порядкового интервала и шара радиуса, меньшего единицы), имеет порядково ограниченный аттрактор. В диссертационной работе устанавливаются теоремы 6.2 и 5.1, обобщающие указанные результаты Коморника и Рэбигера, и, кроме того, усиливается теорема об эрголической внутренней характеризации К /і-пространств полученная недавно в
При дальнейшем рассмотрении вопроса о расщеплении операторов на периодическую и затухающую составляющие, привлекает внимание класс асимптотически периодичных операторов. Всякий оператор этого класса эргодичен и допускает расщепление на периодическую составляющую копечного ранга и затухающую. Этот момент повлек за собой интересный и важный круг вопросов, связанных с сохранением при доминировании сильной устойчивости и почти периодичности положительных представлений абелевых полугрупп на равномерно порядково выпуклых банаховых пространствах и банаховых решетках с порядково непрерывной нормой.
Отметим, что проблема выяснения того, какие свойства поло
4
жительных операторов и, в более обшей постановке, положительных представлений абелевых полугрупп наследуются при переходе к доминируемому оператору, имеет много интересных и важных аспектов, связанных, например, с такими понятиями, как компактность, слабая компактность, свойство Данфорда — Петтиса (см. обзор соответствующих результатов в [АВ], [Za]). Последние десять лет интенсивно исследуются условия сохранения асимптотических свойств (т.е. связанных не с индивидуальным оператором, а с предельным повелением всей операторной полугруппы) при доминировании (см., например, обзор литературы в [Ral], (RWj). Важным результатом в этом направлении является недавно установленная в [EKRW] наследуемость при доминировании сильной устойчивости [EKRW, Theorem 4.5] и почти периодичности [EKRW, Theorem 4.3] однопараметрических положительных операторных полугрупп на банаховых решетках с ио-рядково непрерывной нормой. В диссертационной работе предлагаются обобщения указанных теорем на случай банаховых представлений произвольных абелевых полугрупп, при этом, в отличие от (EKRW], здесь выбран подход к изложению, частично использующий нестандартные методы анализа.
Скажем насколько слов о истории становления нестандартного анализа. Ипфинитеэимальные методы давно и успешно применяются в различных разделах математики. Концепция бесконечно малых величин лежит в основе многочисленных приложений, связанных с интегрированием и дифференцированием. Однако строгое логическое обоснование инфинитезимальный анализ получил сравнительно недавно — в начале шестидесятых годов — в работах А. Робинсона (см. [Ro]). Впоследствии значительный вклад в его развитие был внесен В. Люксембургом, А. Бернштейном, К. Строяном, Е. Нельсоном и др. (см. [AFNL], [Gord], [Lu], [SL]). Отметим две важные особенности, благодаря кото-
рым применение ипфинитезимального анализа оказывается весьма плодотворным. Первая из них заключается в возможности гиперконечной аппроксимации изучаемых математических объектов. Вторая особенность связана с принципом насыщения и состоит в том, что нестандартные расширения обладают некоторыми свойствами типа компактности, что позволяет конструировать с их помощью различного рода пополнения и компакти-фикации.
В качестве основного исследовательского инструмента в диссертационной работе используется классический или робинсоновский вариант нестандартного анализа. Отметим, что нас будут интересовать лишь те свойства изучаемых объектов, которые инвариантны относительно выбора нестандартного расширения базовой суперструктуры, удовлетворяющего общему принципу насыщения. По этой причине всюду предполагается, что используемое нестандартное расширение базовой суперструктуры является полинасыщепным. Будем придерживаться такого же уровня строгости в применении аппарата ипфинитезимального анализа, какой был припят п [ЛПЧЬ], [Ос]. В частности, все исходные изучаемые объекты предполагаются вложенными в свои нестандартные расширения.
Отметим, что основные результаты диссертационной работы, такие как теоремы 5.1, 6.2, 8.1, 9.1 и некоторые другие, являются новыми и нетривиальными уже для классических банаховых решеток Ьр(ц) интегрируемых с р-н степенью по некоторой мере р функций при 1 < р < оо. Большинство результатов, представленных в работе, справедливы для вскторпых пространств как над вещественным, так и над комплексным полем скаляров. Те случаи, в которых спецификация поля скаляров существенна, будут оговариваться особо.
б