Интерполяция операторов и ее приложения

Содержание
Введение........................................................4
Глава 1. Определения, обозначения, предварительные сведения........................................................8
Глава 2. Интерполяция линейных операторов в пространствах измеримых функций................................15
§2.1. Описание интерполяционных орбит операторов, ограниченных в квазинор мир о ванных группах.............................-..15
§2.2. К-монотонные весовые пары, порожденные пространством, не инвариантным относительно сдвига...............................26
§2.3. Операторы слабого типа и устойчивость вещественного метода интерполяции................................................. 32
Глава 3. Интерполяция мультилинейных операторов с функториальной точки зрения....................................48
§3.1. Билинейные интерполяционные теоремы для вещественного метода........................................................ 48
§ 3.2. Мультилинейные интерполяционные теоремы для функтора Петре и метода Каль дер она-Лозано в ского.....................57
§ 3.3. Интерполяция билинейных функционалов слабого типа...........................................................70
Глава 4. Приложения теории интерполяции к изучению операторов в симметричных пространствах........................77
§4.1. Мультипликатор симметричного пространства относительно тензорного произведения........................................77
§4.2 Копуп4 ступенчатых функций в симметричных пространствах..................................................85
§ 4.3. Дизъюнктная строгая сингулярность вложений симметричных пространств....................................................94
2
Глава 5. Система и хаос Радемахера в симметричных пространствах....................................................103
§5.1. Описание подпространств, порожденных системой Радемахера.......................................................103
§5.2. Коэффициенты Фуръс-Радемахера функций из симметричных пространств......................................................114
§ 5.3. Хаос Радемахера в симметричных пространствах....................................................122
Глава 6. Применение интерполяционных функционалов при изучении лакунарных систем...................................143
§6.1. ” Сильная” интегрируемость сумм рядов относительно равномерно оганичепных систем....................................143
§6.2. Системы, эквивалентные по распределению системе Радемахера.......................................................150
§6.3. Выделение лакунарных подсистем из равномерно ограниченных систем...........................................................156
§6.4. К -замкнуто представимые банаховы пары........................................................... 173
Литература......................................................175
3
Введение
Интерполяционные теоремы можно упрощенно рассматривать как утверждения, устанавливающие ограниченность оператора из одного пространства в другое на основании информации об его ограниченности в других парах пространств.
Классические теоремы Рисса-Торина и Марцинксвича, с одной стороны, привели к созданию в конце 50-ых - начале 60-ых годов абстрактной теории интерполяции, с другой стороны, стимулировали ряд глубоких исследований по интерполяции операторов в функциональных пространствах измеримых функций.
Так, в середине 60-ых годов были получены два важных результата по интерполяции операторов, ограниченных в ставшей ”модельной” после теоремы Рисса-Торина паре (£ь£во). Первый из них, доказанный Ж.В.Риффом [1], показал, что орбита любой функции из суммы Ь\ + Ьотносительно этого класса операторов совпадает с ее К -орбитой. Вторая теорема, принадлежащая А.II.Кальдерону [*2](близкое утверждение доказал Б.С.Мптягин [3]), дала описание всех пространств, интерполяционных относительно пары (Ьі, £<»). Одновременно, в основном, после работы Я.Петре и Г.Спарра [4] выяснилась возможность рассматривать интерполяционные конструкции не только для банаховых пространств, но и для квазиба-наховых абелевых групп измеримых функций. В этом случае нужно изменить одно из ’’крайних" пространств, и вместо пары (Ь\, £<*>) рассматривать пару (Ьо, Д»), где Ь0 - пространство всех измеримых функций с носителем конечной меры. Вопросы по интерполяции операторов, ограниченных в последней паре, выглядят столь же естественными, что и для пары (ЬиЬоо), но изучаются в диссертации уже в рамках всех квазибанаховых групп.
Если орбита каждого элемента х Є Х0 4- Х\ относительно банаховой пары (Хо,АГх) совпадает с ее К. -орбитой, то такая пара называется К, -монотонной (или парой Кальдерона). Важность изучения таких пар связана, прежде всего, с возможностью полного описания класса всех пространств, интерполяционных относительно них [5,6]. Исторически первым примером /С -монотонной пары была пара (Ьи Ьоо). Далее в работах А.А.Седаева и Е.М.Семенова [7], А.А.Седасва [8], Г.Спарра [9] было показано, что аналогичным свойством обладают произвольные пары весовых Ьр -пространств, а также пары, являющиеся частичными ретрактами последних (например, пары пространств вещественного К -метода, параметры которых - весовые 1Р -пространства последовательностей [10,11]). Это послужило причиной постановки вопроса о том, насколько универсален такой способ построения К. -монотонных пар.
Развитие идей, связанных с теоремой Марцинкевича, привело к созданию вещественного метода интерполяции, одного из наиболее важных способов конструирования интерполяционных пространств. Отличительной особенностью его является определенная устойчивость относительно банаховых пар. В работе [12] интерполяционный функтор был назван устойчивым, если его значения на определенных парах весовых :’і - и *<» -пространств пссле^іогаїо-іьностей совпадают. Там же показано, что множество таких функторов можно охарактеризовать как класс всех функторов вещественного метода интерполяции, соответствующих параметрам, в которых ограниченно действует оператор Кальдерона. В случае симметричных (или перестановочно инвариантных) пространств измеримых функций вопросы устойчивости интерполяционных методов тесно связаны с их значениями на парах пространств Лоренца и Марцинкевича. Из общих реитерацион-
4
ных теорем следует, что устойчивые функторы "устойчивы” и в этой ситуации. В диссертации рассматривается задача определения эффективных достаточных условий устойчивости функторов на парах симметричных пространств. При определенных предположениях найденные условия точны, а наличие устойчивости не всегда является следствием реитсрационных теорем.
Большинство из имеющихся интерполяционных конструкций плохо приспособлено к интерполированию мультилинсйных операторов. Исключение составляет, пожалуй, только комплексный метод интерполяции, созданный независимо Ж.-Л.Лионсом и А.П.Кальдероном. Он так же хорошо ”интерполирует" и мульти-линейные операторы [13]. В то же время, например, для классического варианта вещественного метода, подробно рассматриваемого в монографии [14), ситуация совершенно иная. Билинейные интерполяционные свойства имеют лишь функторы, параметры которых - весовые /1 -пространства. В связи с этим становится актуальной задача нахождения и описания функторов, ’’интерполирующих” мультилинейные операторы. Изучение с этой точки зрения общего вещественного метода, семейства функторов Я.Петре, а также интерполяционной конструкции Кальдерона-Лозановского позволило в качестве следствий доказать ’’естественные” билинейные и мультилинейные теоремы для пространств Орлича, Лоренца и Марцинкевича.
Создание теории интерполяции, во многом, было вызвано насущными потребностями целого ряда областей математики (дифференциальные уравнения в частных производных, теория аппроксимации, теория операторов, ортогональные ряды и др.). Применение интерполяционных методов и результатов позволило уточнить многие утверждения относительно конкретных операторов анализа, добиться принципиального продвижения в изучении геометрии различных классов функциональных пространств. В диссертации теория интерполяции применяется при решении задач, возникающих в связи с изучением симметричных пространств измеримых функций, являющихся естественным обобщением шкалы Ьр -пространств (теория их достаточно полно представлена в монографиях [15] и [16]).
Наряду с хорошо известными операторами Харди-Литтльвуда, Гильберта, оператора перехода к сопряженной функции [15] важную роль в теории последнее время начинают играть другие мснес изученные операторы. В работе рассматривается тензорное произведение симметричных пространств, естественным образом возникающее при решении ряда задач, связанных с исследованием их геометрических свойств (например, структуры подпространств - в [17], ортогональных рядов с векторными коэффициентами - в [16,2.(1] и [18]). В отличие от работ М.Мильмана [19-22] и Р.О’Нейла [23], посвященных, в основном, нахождению условий ограниченности тензорного произведения в конхретных классах пространств, здесь оно изучается в произвольных симметричных пространствах. Получены оценки мультипликатора относительно этого произведения, которые, в частности, позволяют уточнить некоторые известные результаты (например, теорему Р.О’Нейла об ограниченности тензорного произведения, в пространствах Лоренца Ьр^).
Одним из интересных свойств симметричных пространств является возможность их однозначного определения относительно некоторого класса пространств на конусе ступенчатых функций достаточно общего вида. При его изучении полезным оказывается вещественный метод интерполяции, с помощью которого удается получить результаты как положительного, так и отрицательного характера.
В последнее время достаточно интенсивно изучается введенное в работе [24]
5
понятие дизъюнктно строго сингулярного оператора, естественное обобщение по-нятия строго сингулярного оператора. Оно оказалось весьма полезным при рассмотрении ряда геометрических свойств функциональных пространств (в частности, дополняемости подпространств). В работах [24,25] изучался вопрос о дизъюнктной строгой сингулярности оператора тождественного вложения одного пространства Орлича в другое. Здесь эта задача рассматривается в более общем контексте: в классе всех симметричных пространств. Основные результаты при этом формулируются в терминах фундаментальных функций и индексов Бойда этих пространств (определения см. в главе 1).
Существенное влияние интерполяционных методов испытала на себе также теория ортогональных рядов (см., например, монографии :26-28]). В работе изучаются вопросы, так или иначе связанные с классической системой Радемахера (в другой терминологии: последовательностью Бернулли независимых симметричных одинаково распределенных случайных величин со значениями ±1), введенной в 1922 году Х.Радемахером [29] и играющей заметную роль в теории функций, теории вероятностей и других разделах математики.. Важным обстоятельством является то, что применение теории интерполяции для решения рассматриваемых в диссертации задач заключается не столько в прямом применении интерполяционных утверждений (как например, в [15,§2.9] или в [27,гл.12]), сколько в вычислении "интерполяционных” функционалов на некоторых подпространствах, связанных с изучаемой ортогональной системой.
Рассмотрению рядов Радемахера в симметричных пространствах посвящена работа В. А.Родина и Е.М.Семенова [30]. Позднее была опубликована важная работа С.Монтгомери-Смита [31] о распределении сумм Радемахера. В [30], в частности, были найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы система Радемахера в симметричном пространстве была эквивалентна каноническому базису пространства Применение вещественного метода интерполяции позволило дополнить это и существенным образом уточнить другие утверждения последней работы. Так, например, получено описание подпространств симметричных пространств, порожденных системой Радемахера (в том числе и для тех, в которых эта система не эквивалентна каноническому базису /2)> С помощью него можно, в частности, найти симметричное пространство, содержащее те и только те ряды по системе Радемахера, последовательности коэффициентов которых принадлежат наперед заданному координатному пространству. В свою очередь, эти результаты, а также теоремы двойственности для вещественного метода интерполяции позволяют во многих случаях эффективно находить пространства последовательностей коэффициентов Фурье-Радемахера функций из симметричных пространств.
Большой интерес в последнее время вызывают системы, образованные попарными произведениями различных независимых функций (так называемые хаосы) (см., например, монографию [32]). Сохраняя в той или иной степени свойства систем независимых функций, они в определенном смысле "близки” к последним. В диссертации изучаются геометрические свойства подпространств, порожденных хаосом Радемахера. В частности, найдены необходимые и достаточные условия его безусловности в симметричном пространстве.
Другая группа рассматриваемых в работе вопросов связана с изучением систем случайных величин, в некотором смысле "подобных” ”модельной” системе Радемахера. Точнее, это системы, распределение модулей полиномов по которым
6
с точностью до эквивалентности то же, что и для системы Радемахера (в диссертации это свойство называется эквивалентностью по распределению). Важнейший пример такой системы - лакунарная по Адамару подпоследовательность тригонометрической системы. Среди работ, посвященных изучению систем, эквивалентных по рспределению системе Радемахера (или очень близких к ним) назовем работы Ж.Пизье [33] и Н.Асмар и С.Монтгомери-Смита [34] (в них рассматриваются системы Сидона характеров, определенных на компактной абелевой группе), а также работу С.Квапеия и Й.Якубовского [35] (о мультипликативных и сильно мультипликативных системах случайных величин). В диссертации свойство эквивалентности по распределению системе Радемахера изучается систематически. Получены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы произвольная система случайных величин обладала этим свойством. С помощью них найдены опять же необходимые и достаточные условия для того, чтобы из нее можно было выделить подсистему, эквивалентную системе Радемахера. Эти результаты дополняют и уточняют известные теоремы С.Б.Стечкина и В.Ф.Гапошкина о выделении 5Р -подсистем, а также подсистем со свойством Сидона [36] соответственно. Кроме того, получены точные по порядку оценки плотности подсистем конечных ортонормированных наборов функций, эквивалентных по распределе-цию соответствующим наборам функций Радемахера. При изучении этих вопросов существенным образом используется /С -функционал, играющий центральную роль в теории вещественного метода интерполяции.
7
/
Глава 1. Определения, обозначения, предварительные сведения.
Пусть (Т, £, р) - пространство с <т -конечной мерой /х, заданной на о -алгебре £ подмножеств множества Т. Совокупность всех почти всюду конечных измеримых вещественнозначных функций на Т с естественными алгебраическими операциями и топологией сходимости по мере ц на множествах конечной меры является линейным топологическим пространством, которое мы будем обозначать через 5(Г, £,/*)• Как обычно, функции, совпадающие почти всюду, отождествляются, а запись х < у (х.у Є 5(Г, £,р)) означает, что я(£) < у{Ь) при почти всех Ь € Т.
Далее будут рассматриваться, главным образом, следующие конкретные случаи пространства 5(Т, £,р):
1) 5(2), где Ъ » {0, ±1, ±2,/х({/с}) = 1 (к Е 2);
2) 5(0, оо) с мерой Лебега;
3) 5(/), где I — [0,1] с мерой Лебега;
4)5(/х/)с мерой Лебега.
Меру Лебега множества Л всюду в дальнейшем будем обозначать через |Л|.
Линейное подпространство Е С 5(Т, £,д) называется идеальным, если при всех у Е Е множество {х Е 5(Г, £,/х) : |ж| < |у|} С Е. Идеальное пространство Е, наделенное монотонной нормой (т.е. ||г|| < ||у|| для любых ж, у € Е, таких, что |я] < |у|), называется нормированным идеальным пространством. Если, кроме того, пространство полно относительно нормы, то его называют банаховым идеальным пространством (БИП).
Если Е - БИП измеримых функций, то двойственное пространство Е' состоит из всех измеримых функций у (і), для которых
ІІУІІЯ' = Эйр г(і)у(ь) (ІЦ : ||ж||я < і| < оо.
Второе двойственное пространство обозначается, как обычно, через Е". Норма в БИП Е называется порядково полунепрерывной, если из того, что хп = хп(Ь) > 0(?г = 1,2,..), хп І х почти всюду на Т, х Є Е, следует: ||жп|І2? ІІ^ІІи- Если норма в Е порядково полунепрерывна, то оно вложено в Е" изометрически, т.е.
(подробное изложение теории БИП см. в [37]).
Важным частным случаем БИП является класс симметричных пространств. Последние являются естественным обобщением пространств р-суммируемых функций и были введены Е.М.Семеновым [38]. Близкие к ним перестановочно инвариантные пространства еще ранее рассматривались Г.Г.Лоренцем в книге [39]. Теория сиъшетрнчилис и перестановочно инвариантных пространств составляет содержание монографий [15] и [16]; мы напомним лишь некоторые определения и результаты, наиболее часто используемые в дальнейшем.
Для функции х = х(Ь) Е 5(0, оо), х > 0 введем функцию распределения пх(т):
пЛт) = |{* > 0 : х(*) > Г)1 (т > °) (1Л)
Она убывает, непрерывна справа и может принимать бесконечные значения.
8
Две неотрицательные функции х € 5(0, оо) и у € 5(0, оо) называются равноизмеримыми, если пх(т) = пу(т) (0 < г < оо).
В частности, любая функция х € 5(0, оо) , х > 0 равпоизмерима со своей невозрастающей перестановкой
xx(t) = inf {г > 0 : пх(т) < £}.
Для произвольной функции т(£) € 5(0, оо) через я*(£) обозначается перестановка функции \x(t)\.
БИП X С 5(0, оо) называется симметричным пространством (СП), если из того, что х € X, у € 5(0, оо) и функции [х| и |у| равноизмеримы, следует: у 6 X
и \ЩХ = \\Чх-
Приведем примеры симметричных пространств. Во-первых, это пространства (1 < р < оо):
II п _ | [/ |*(‘)Г<й| , 1 <р<оо
1|Ж|1р ■ 1Лир |*(#)| , р = ОО ’
I е > о
а также их обобщение - семейство ЬРА (1 < р < оо, 1 < у < оо):
[Л
1*ПМ =
l/<?
, 1 < q < oo,
q = oo.
Хотя функционал ||г||Р1д не субаддитивен, он эквивалентен норме ||®||р)д = ||я**||Р,<*1 где
**“(*)= т /**'“(■)**• (Ь2)
I J О
Как известно [15,с. 197], ЬРЛх С Ьр^ (1 < У1 < У2 < оо) и Ьр%р = Ьр.
Две неотрицательные функции /(£) и у(£) далее будем называть эквивалентными на множестве Е (пишем: / х у, £ 6 Е)> если для некоторой константы С > 0 и всех £ б Е выполнено:
с-1т < м < ст.
Важную роль в дальнейшем играет один функциональный класс. Напомним, что неотрицательная функция <р(£), определенная при £ > 0, называется квазиво-гнутой, если <р(0) = 0 , <р(£) возрастает, а у>(£)/£ убывает. В частности, всякая неотрицательная вогнутая на полуоси (0, оо) функция, доопределенная в нуле нулем, будет хвазивогнутой [15, с.67]. С другой стороны, всякая квазивогнутая функция (pH) на множестве (0,оо) эквивалентна своей наименьшей вогнутой мажоранте <р(Ь) [15,с.70]. Множество всех квазивогнутых функций в дальнейшем будет обозначаться через Ф.
Если <р € Ф, то пространство Лоренца Л(<р) состоит из всех х € 5(0. оо), для которых
ЛОО
г11л<„)=у0 x'(t)d<fi(t) <оо (<р - наименьшая вогнутая мажоранта <р).
9
Пространство Марцинкевича М(ср) - множество всех х € 5(0, оо), для которых
I х*(з)с1з
||г||^> =
Предположим теперь, что A(t) - N -функция на (0, оо), то есть положительная при t > 0, непрерывная справа при t > 0, выпуклая функция, удовлетворяющая условиям :
lim — 0 , lim
t-> 0+ t t-»+oo
Пространство Орллча La состоит из всех х 6 5(0, оо), таких, что существует Л > 0, при котором
В дальнейшем в качестве нормы в этом пространстве мы будем использовать норму Люксембурга ||ж||ьл = inf А, где точная нижняя грань берется по всем А, для которых выполнено последнее неравенство (см. 37,с.146] или [40]).
Если X и Y - банаховы пространства (БГІ) над полем вещественных или комплексных чисел (как правило, это не существенно), то запись X С Y означает, что X линейно и непрерывно вложено в У, т.е.
1) из ж € X следует, что х € У\
2) линейная структура X как подпространства Y совпадает со структурой линейного пространства Y;
3) существует константа С > 0, такая, что для всех х € X ЦжЦк < СЦтЦ^--Совокупность X = (Xoj-ATi) двух БП Xq и Хх называют банаховой парой,
если они оба линейно и непрерывно вложены в одно и то же отделимое линейное топологическое пространство. Для банаховой пары можно определить пересечение Xq П Х\ и сумму Xq 4- Х\ как БП с нормами
IMU.rur, = max{|M|x„, ЦхЦдг,}
И
||*IUo+*i = inf {11*011*0 + IMUi : * = *0 + *1,*і€ ^,1 = 0,1}
соответственно. Банахову пару образуют, например, любые два БИП Е0 и £і, определенные над одним и тем же пространством с мерой (Т. Е,//), так как тогда [37,с. 139-141]
Е{ С 5(Г,Е,/і) (г = 0,1).
Отметим тот факт, что среди всех СП на полуоси (0, оо) относительно введенного порядка есть наибольшее и наименьшее. А именно, для произвольного СП X справедливы вложения [15,с.124-126]:
Lif) Leo С X С Li + Loo (1.3)
Важной характеристикой СП является его фундаментальная функция «рхМ-Далее всюду через Ха(^) будет обозначаться характеристическая функция множества а С Т, то есть
п\ - / 1 » 1 є а
~ \ 0 , t$a.
A(t)
= -boo.
10
Тогда, по определению, (рх(з) = ||Х(о.#)||х > 0) Легко проверить, что
(Рьр,,(з) = *1/р(1<Я<оо),
а также
¥>лмМ = <Р(з) , Ч>щ*)М = <р(з), где ^(5) = 5/у>(.5). Кроме того [40,с.88 - 89],
<Рьл(8) =
А-1 (1/з) •
(Л-1 - функция, обратная к Л).
Для любого СП X функция ірх € Ф, а пространства Лоренца и Марцинкевича экстремальны в классе СП с одной и той же фундаментальной функцией [15,с. 160-163]. Точнее, если (р - фундаментальная функция СП X, то
Л(<р) С X С М(^) (1.4)
Для произвольной функции <p(t) > 0 (< > 0) ее функция растяжения:
Mv(t) = sup (0 < t < oo)
s> 0 y>(.9)
(если у? определена только при 0 < t < 1, то верхняя грань в последней формуле берется по 5 € (0, min(l, I/і)) ). Так как функция Mv полумультипликативна, то существуют числа
.. ln Mv(t) ln MJt)
= hm —-—p-1 = sup —;
<-»o+ ln І 0<£<1 ln і
= Um = i«f
t-f+oo ln t 1<«OO ln t
называемые соответственно нижним и верхним показателями растяжения функции р (15, с.75-76]. Если <р - квазивогнутая функция, то 0 < < Sv < 1.
В каждом СП непрерывен оператор растяжения <тг [15,с. 131]:
öTx(t) = х ^ (г > 0).
С помощью него определяются нижний и верхний индексы Бойда (см. [41] или [15,с. 134]) пространства X:
.. 1п ||£г|| у у 1п ||^г|| У_+У
ах = Ьт 11 ^ = Бир —11, "х^х
т-*0+ 1пт 0<т<1 ШТ
(Зх= Нт = ^ УМг^.
г-»+оо 1п Г Т>1 1пг
Для всякого СП X справедливо :
0 < «х < Ъх < Кх < Рх <1
11
(7<рх и 6<рх - нижний и верхний показатели растяжения фундаментальной функции) [15,с.138). Нетрудно также проверить, что
1/.Р > = “Уч> » /^Л(у>) = » &М(<р) ~ Уф 1 Рм(<р) = &ф-
Аналогичным образом определяется СП функций, заданных на отрезке [0,1]. На этот случай с естественными изменениями переносятся все понятия, введенные ранее.Так, оператор растяжения определяется теперь по формуле
= / * (Й ■ 0<^т1п(1’г) (г > о).
( 0 , шп(1,г) < ^ < 1
Вложения (1.3) в этом случае упрощаются:
Хсо С X С Ь1 (1.5)
Перейдем теперь к изложению необходимых для нас понятий теории интерполяции [5,6,14,15].
Пусть I)о _ категория всех БП, где в качестве морфизмов рассматриваются ограниченные линейные операторы (если Т ограничен из БП X в БП У, пишем:
Т : X -> У).
Для любых банаховых пар X — (Хо, Х1) и У = (Усь^!) через Ь (X —> У) обозначим БП всех линейных операторов Т : ХотХх —»■ Уо + Уъ которые непрерывно отображают X, в У< (г = 0,1), с нормой
Если в качестве морфизмов взять элементы Ь | X —> У), то совокупность банаховых пар также образует категорию, обозначим ее через £>.
БП X называется промежуточным для пары X = (Ло,^), если Х0 П Х1 С X С Хо + Х\ ; совокупность (Хо, Х\, X) тогда называют тройкой.
Говорят, что тройка (Хо,Хь X) интерполяционна относительно тройки (1о, Уь У), если для любого Т£Ь (х -> У) Т : X -> У. В этом случае по теореме о замкнутом графике найдется С > 0, такое, что для любого Т б Ь [Х —► У)
РИ™ < С||гцм^).
Если в последнем неравенстве можно взять С = 1, то тройку (Хо,ХьХ) называют точной интерполяционной относительно тройки (Уо,У15У). В частности, в случае Хо = Уо, Х1 = У и X = У пространство X будем называть (точным) интерполяционным относительно пары (Х0,Х1) (или между пространствами Х0
нХО.
Под интерполяционным функтором (ИФ) понимается функтор Т [14,с.35], действующий из категории £) в категорию £>0 так,что для произвольных пар X = (Х0,Х1) и У = (УсьУ) тройка (Х0, Х^^Х)) интерполяционна относительно
тройки (Го.Уь^У)). Если к тому же для всех пар эта интерполяционность -точная, то Т называют точным ИФ.
12
Наиболее известны и важны в приложениях функторы вещественного и комплексного методов интерполяции.
Для банаховой пары (Ло,Хх) и 0 < s,t < ос определим К- и J -функционалы Петре (см.[42] или (14,с.54-60]):
K(s, t, х\ X) - inf {slliolixo + t\\xi\\Xl ’■ z=so+:ti, х&Хг, i=0, l} (ieX0 + Xi),
J(s,t,x\X) =max{3||x||Xo , ф||*,} {хеХоПХ^.
В случае 5 = 1 эти функционалы будем обозначать соответственно через K(t,x\X) и J(t,x;X).
В качестве примера приведем лишь одну важную формулу [15,с. 108]:
Kit^Lx.L^) = fx'^ds (t > 0) (1.6)
Jo
Предположим, что БИП Е С S(Z), т.е. Е - БИП двусторонних числовых последовательностей а = (ajOJl.oo- Тогда пространство (Xo,Xi)^ состоит из всех х 6 Xq + Х\, для которых
|И = |(£(2^;Х)у|в<°о.
В пространство (Хо,Х\)е входят все х € + Х\, допускающие представление
оо
Ж= У! Ц,- (сходимость В Х0 + Х1), (1.7)
3=-оо
где и; € Х0 П Х1. Норма в (Х0, Х^ определяется следующим образом :
\х\\ = inf {«>}
где нижняя грань берется по {п;}^1_00 из (1.7).
Для БИП Е С S(Z) и функции ф, определенной на (0, оо), через ф • a (a G Е) будет обозначаться последовательность [ф(2к)ак)fc_ , а через Е(ф) - пространство с нормой
IMIjS(ÿ) = ■ а1 \е'
Отображение (X0,Xi) (X0>Xi)^, если Е D /oo(niax(l, 1/0) (соответственно
(Хо,^) м- (Хо^Х^в, если {0} Е С /i(inin(l, \/t)) ) определяет точный ИФ; их совокупность называют вещественным К. -методом (соответственно J -методом) интерполяции (см.[5] или [6]).
БИП Е С S(Z) называется параметром вещественного метода, если тройха (/l,/l(l/t)i Е) интерполяционна относительно Тройки (/co-kofl/*)» Е) . Последнее эквивалентно тому, что в Е ограничен оператор Кальдерона Q, Qa — (Qa)k (437, где
(Qa)k= Е aimin(l,2fc-j) (к€ Z).
3=-оо
Если Е - параметр вещественного метода, то для произвольной банаховой пары (Х^Х1)1 = (Х^Х1)1 [10].
13
В частности, для 0 < 0 < 1,1 < р < ос получим классические пространства
(Хо.ХО#, = №,*. )£<«-., =
введенные Ж.Петре [44]. Их свойства подробно рассматриваются в монографии [14]. Здесь и всюду далее 1Р - пространство последовательностей а — для которых конечна норма
ц«ц1р = ( №-М)1' , ,
I |а*| , р = оо
со - подпространство 1^, состоящее из таких а = (с1/г)^_0О, что Нпз^^оо а* = 0.
Пусть $Е (з > 0) - одномерное пространство К с нормой ||л||лг = «|®|. Если Я - произвольный ИФ, то Я(Е,зЕ) = <^($)Е; функция <рр называется характеристической функцией (ХФ) функтора Я. Нетрудно проверить, что <рр € Ф [45], а ХФ функтора (•, *)^,р равна Ь9. В общем случае функтор Я имеет ХФ, равную у?(£), тогда и только тогда, когда для произвольной банаховой пары (Хо,Хх) выполнены вложения:
(*о,М?м,/«)) С Р(Хй,Хх) с (Хо.Х,)£М1М, (1.8)
Исторически сложилось так, что сначала была изучена интерполяция относительно пары (1,1, Ьоо) (см. [2,3] или [15,с.129-131]). В частности, относительно этой пары интерполяционны все пространства Лоренца, Марцинкевича и Орли-ча [15,с.142]. Более того, из формулы (1.6) для К -функционала пары (ЬиД») следует, что для произвольной <р € Ф
М(ч>) = (Л„Д»)£(1/„ (19)
и аналогично (45]
Л(*0 = {II, (1.10)
В работе [13] был введен и изучен другой важный класс ИФ.
Для заданной банаховой пары (Хо,Хх) рассмотрим пространство Ф(Х’0,-Х1) всех функций / со значениями в сумме Х0 Хх, ограниченных и непрерывных в полосе {я (Е С : 0<Яе^<1}, голоморфных в открытой полосе и таких, что функция £ /(] +гЬ) непрерывна на (—оо,+оо) со значениями в Ху и стремится
к 0 при |£| -> оо (; = 0,1). Снабдим Ф (Хо,^) нормой
Н/11ф(*о,*,) = шах (8иР 1/(«)11х. - 8иР № + **)Нл-,) '
\ Ь t '
Пространство [Х0,Х1]е (0 < 0 < 1) состоит из всех х € Х0 + Хи таких, что х = /(9) для некоторой функции / € Ф (Хо,^), и норма
Ия11рГоЛЬ = *п^{|1^11ф(К0,хо : =*»/€$ (Хо,^)] .
При каждом 0 < 0 < 1 отображение (Х0,Хх) »-* [Х^Х^ определяет точный ИФ (см. [13] или [14,с.115]). Их совокупность называют комплексным методом интерполяции.
14
Глава 2. Интерполяция линейных операторов в пространствах измеримых функций. §2.1. Описание интерполяционных орбит операторов, ограниченных в квазинормированных группах.
Напомним, что квазинормой на абелевой группе X называется вещественнозначная функция || • ||, определенная на X и удовлетворяющая условиям:
а)М > о, \\х\\ = 0 <=> X = 0; «)«* +vll < <7(11*11 + |уII) (<? >1).
Группа X в этом случае называется квазинормированной. Как известно (14,с.80-81], всегда существует квазинорма, задающая ту же сходимость, что и прежняя, для которой в условии с) можно взять С=1. Поэтому в дальнейшем, без ограничения общности, мы будем считать, что для квазинормы выполняется обычное неравество треугольника.
Мы будем рассматривать полные квазинормированные группы вещественнозначных функций, измеримых по Лебегу на полуоси (0, оо), с обычным сложением. Назовем такую группу X симметричной (СГ), если выполнены условия:
1) из того, что |х| < \у\ и у (Е X, следует: х € X и ||х|| < ||у||;
2) если функции |х| и |у| равноизмеримы (см. главу 1) и у 6 X, то х £ X и
11*11 = 1Ы1-
Важнейшим примером СГ является шкала пространств Lp = Lp(0,oo), 0 < р < оо, определяемая обычным образом. В частности, для 0 < р < 1 квазинорма в Lp равна
INIp= / 1*(«)1Р<*»-
Jo
Как и в [4], рассмотрим также предельный случай: р = 0. Через Ьо обозначим множество всех измеримых функций х = х(£), для которых ||z||o = \suppx\ < оо, где $иррх - носитель функции х, т.е. suppx = {t > 0 : x(t) ф 0}. Тогда Ь0 превращается в СГ, непрерывно вложенную в пространство S = 5(0, оо) всех измеримых п.в. конечных функций, снабженное, как обычно, сходимостью по мере на множествах конечной меры. В связи с этим можно рассматривать квазиба-нахову пару СГ (Lo, А»), роль которой в классе всех СГ аналогична роли пары [LijLoo) в классе СП на (0, оо).
Пусть X - СГ. Под гомоморфизмом в дальнейшем понимается отображение Т : X -¥ Ху такое, что Т(х + у) = Тх + Ту и Т(-х) = -Т(х) (х.у € X). Как обычно, гомоморфизм называется ограниченным, если
||Г||*-,х = SUP 17~ГГ < оо-
хфО ||Х[|
Гомоморфизмы, ограниченные в X, непрерывны и образуют квазибанахову абелеву группу [14,с.84].
Основные понятия теории интерполяции для квазибанаховых групп совершенно аналогичны соответствующим понятиям в случае банаховых пространств. Так,
15
говорят, что квазибанаховы группы Х0 и Xi образуют квазибанахову пару, если существует отделимая топологическая абелева группа, такая, что Х0 и Xi непрерывно в нее вложены. Для этой пары обычным образом определяются сумма Хо -г Xi и пересечение Хо П Х\ с квазинормами
\\x\\Xo+Xl = inf{||*„|U + Hx.lU, : X, 6 Xi}.
И
il*IU>nX. = gax||s|U;
соответственно. Они также являются квазибанаховыми группами.
Орбитой элемента а € Х0 + Хх будем называть множество 0(а;Х,о,Хх) всех х G Хо + Хь представимых в виде х = Та, где Г - гомоморфизм, ограниченно действующий в Х0 и в Xi. Определим квазинорму:
||ж||о = и*||Т||(*оЛ)1
где нижняя грань берется по всем гомоморфизмам Т : X» -> X,- (г = 0,1), таким, что Та = х. Здесь и далее
CT(*oXi) =
Как уже отмечалось в главе 1, пара (Li, L0о) стала ”модельной” в теории интерполяции операторов. В середине 60-ых годов были получены два важных результата. Первый из них, доказанный Ж.В.Риффом [1] дает описание орбиты О (о; Lu Loo) Для произвольном функции а € Li + L^.
Теорема 2.1.1. Для любой функции а € L\ -f Lорбита ö(a\ Li, L<») совпадает со множеством всех х € L\ + Lос, для которых существует С > 0, такое, что при всех t > О
Г x*(s) ds < С Г а*(a) da.
J о J о
При этом ||®||c?{a;Li,l«>) Va(iH(L точной нижней грани всех С, для которых выполнено предыдущее неравенство.
С помощью теоремы 2.1.1 нетрудно получить [15,с.130) второй важный результат: теорему Кальдерона-Митягина об описании пространств, интерполяционных относительно пары Эта теорема, имеющая большую историю [15,с.376],
впервые была доказана А.П.Кальдероном другим способом [2) (Б.С.Митягин независимо получил в [3] близкое утверждение).
Теорема 2.1.2. Промежуточное между L\ и LБПX является точным интерполяционным пространством относительно пары (L\yL0о) тогда и только тогда, когда выполнено условие: если у € X, х € L\ + Loo и
[* xm(s)ds < С f y"(s) ds (2.1.1)
Jo Jo
при всех t > 0, то x £ X и ||я||х- < )|y||x-
16