ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ 4
ГЛАВА I. МОДЕЛЬ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ 20
§ 1. Влияние упругих деформаций на тензор инерции
вращающейся планеты 20
§ 2. Уравнения движения упругого тела 24
§ 3. Собственные формы колебаний упругих тел 26
§ 4. Уравнения движения вязкоупругого тела в форме
уравнений Рауса 30
§ 5. Уравнения долгопериодических движений деформируемых небесных тел 33
ГЛАВА II. ДИССИПАТИВНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО-
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ "ПЛАНЕТА - СПУТНИК" ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГРАВИТАЦИОННЫХ ПРИЛИВОВ 42
§ 6. Постановка задачи. Уравнения движения системы
"планета - спутник" в пространственном варианте задачи 42
§ 7. Исследование возмущенного движения 51
§ 8. Эволюционные эффекты в движении небесных тел
под действием гравитационных приливов. Пример: диссипативная эволюция динамических характеристик в системе "Нептун - Тритон" 54
§ 9. Фазовый портрет эволюции движения спутника в
поле массивной планеты 58
§ 10. О поступательно-вращательном движении двух
2
деформируемых тел 65
ГЛАВА 111. ТЕНДЕНЦИИ К СОИЗМЕРИМОСТИ ВРАЩЕНИЙ И СРЕДНИХ ДВИЖЕНИЙ КАК РЕЗУЛЬТАТ ДИССИПАТИВНОЙ ПРИЛИВНОЙ ЭВОЛЮЦИИ 76
§ 11. Постановка задачи о поступательно-вращательном движении двух вязкоупругих тел в поле притягивающего центра. Описание деформированного состояния планеты и спутника 76
§ 12. О механизме возникновения соизмеримости 82
§ 13. Плоские резонансные вращения. Резонанс типа
"Луна" (1:1) 85
ГЛАВА IV. ВРАЩЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОГО ШАРА В ПОЛЕ ДВУХ
ПРИТЯГИВАЮЩИХ ЦЕНТРОВ 90
§ 14. Постановка задачи. Уравнения движения 90
§ 15. Об одном эффекте эволюции вращений вязкоупругого
шара 99
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 104
ЛИТЕРАТУРА 106
3
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена аналитическим и качественным исследованиям современных задач небесной механики деформируемых планет и спутников. Затронуты актуальные вопросы динамической астрономии -на основе модельных задач поступательно-вращательного движения вязкоупругих небесных тел выявлены и изучены тонкие динамические эффекты приливной эволюции.
Актуальность темы. Известно, что в различных областях науки и техники возникает необходимость рассматривать твердые тела как сплошные среды, обладающие конечной жесткостью. При этом определение деформаций имеет самостоятельное значение. Однако существует широкий круг задач, - например, при исследовании динамики спутников с протяженными упругими элементами или при изучении приливных процессов в небесной механике (деформируемые планеты и спутники), в которых расчет деформированного состояния носит как бы вспомогательный характер при описании влияния конечной жесткости на движение всей системы как целого. В настоящее время эта область механики интенсивно развивается, о чем говорит большой объем публикаций на эту тему. Прогресс в этой области достигнут благодаря исследованиям А.И.Лурье, А.Ю.Ишлинского, Д.Е.Охоцимско-го, В. В. Румянцева, Ф. Л.Черноусько, Д. М. Климова, В. Ф. Журавлева, А.П.Маркеева, В.Г.Демина, В.Г.Вильке, В. Е}. Белецкого, Л.В.Докучаева, и других. Детальное описание движения бесконечномерных механических систем как целого приводит к дифференциальным уравнениям, в большинстве случаев не поддающихся аналитическому исследованию, так что возникает необходимость использования ЭВМ для получения конечного результата. Наряду с численным решением точных уравнений движения сложной механической системы представляет на-
4
учный и практический интерес решение модельных задач, позволяющих понять характерные закономерности движения многокомпонентных тел и конструкций, то есть систем, состоящих из твердых тел. материальных точек и звеньев с распределенными параметрами, рассматриваемых как материальные континуумы, для которых процессы деформирования обратимы, и существует потенциальная энергия упругой деформации.
В механике сплошных сред можно выделить класс систем, для описания движений которых требуется использование только механических характеристик - таких, как поля перемещений, скоростей и ускорений. Основные методы аналитической механики - методы Лагранжа и Гамильтона - широко используются в механических системах, имеющих конечное число степеней свободы. Особенности существующих методов распространения лагранжева и гамильтонова формализма на непрерывные среды связаны прежде всего с тем, что на основании простых примеров утверждается существование лагранжиана, а затем и гамильтониана, порождающих дифференциальные уравнения движения сплошной среды. При этом среда рассматривается как консервативная и как свободная система. Вариационный принцип Гамильтона остается справедливым и для непрерывных систем (сплошных сред), но уже не всегда позволяет получить замкнутую систему уравнений, определяющую движение сплошной среды. Это обстоятельство связано с тем, что состояние среды определяется не только положением и скоростями ее частиц, но и другими дополнительными параметрами, например, температурой или химическими характеристиками. Однако в целом ряде случаев возможно описать движение сплошной среды независимо от немеханических параметров. Сюда можно отнести математические модели упругих сред, идеальные жидкости и другие. Принцип Гамильтона представляет иногда наиболее естественный способ составления
5
уравнений движения таких систем. В работе рассматриваются механические системы, допускающие непосредственное обобщение на них вариационного принципа
т
* и
(б т + = о.
* = 1
Здесь С}.(д “ обобщенные силы и сумма ОЗу. вы-
ражает работу активных сил, приложенных к точкам системы на возможных перемещениях, 7(4 ,4,0 - кинетическая энергия системы.
При наличии непотенциальных сил соотношение, аналогичное принципу Гамильтона, запишется в виде [50]
ЬАсіі = 0 .
Здесь 65 - вариация действия по Гамильтону, 5А - элементарная ра бота непотенциальных сил, не являющаяся вариацией некоторой функции, вычисленная на соответствующих виртуальных перемещениях. Действие по Гамильтону 5 в случае непрерывной системы является
интегралом от плотности функции Лагранжа I [44]
5 =
Ldx.cH ,
Л/ л/ /V /V/
1 = Т - и - Е ,
где £2 - объем, занимаемый упругой средой в естественном недефор-мированном состоянии, dx - элементарный объем внутри £2; Т - кине-
/"V /ч/
тическая энергия частицы среды, и и Е - ее потенциальные энергии,
6
вызванные внешними массовыми силами и деформациями среды соответственно.
Вариационный принцип, позволяющий строить усложненные модели сплошных сред и учитывающий их различные физико-химические свойства, был предложен Л.И.Седовым [67]. В работе В.В. Румянцева [65] рассматривается обобщение вариационного принципа Гауса и вариационного принципа Четаева на сплошные среды.
Во многих теоретических работах большие деформируемые системы моделируются в виде твердых тел, соединенных между собой упругими связями, или в виде твердого тела, имеющего упругие ответвления. В ряде работ упругая система моделируется сплошной средой, обладающей внутренним демпфированием.
В работе [69] рассматриваются движения вязкоупругого твердого тела относительно центра масс, причем в качестве сплошной вязкоупругой среды выбирается реологическая модель Кельвина - Фойг-та. Упругое тело предполагается обладающим малой податливостью: частоты его собственных колебаний много больше угловой скорости вращения. Показано, что при некоторых общих предположениях влияние внутренней упругости и диссипации сводится к действию на вспомогательное абсолютно твердое тело (тело с замороженными деформациями) возмущающих моментов, состоящих из однородных многочленов четвертой и пятой степеней от компонент угловой скорости тела.
В работе [53] исследуется движение космического аппарата в центральном ньютоновском гравитационном поле. Спутник моделируется сплошной упругой средой, обладающей внутренним трением. С помощью основных теорем динамики и уравнений Лагранжа второго рода получена замкнутая система дифференциальных уравнений, описывающая движение такой среды. Для анализа уравнений движения при.меня-
7
ется способ, аналогичный асимптотическому методу, разработанному Ф.Л.Черноусько для механических систем, содержащих упругие и диссипативные элементы. Основное внимание уделяется плоским движениям тела относительно центра масс. Найдены положения относительного равновесия спутника на круговой орбите и рассмотрена их устойчивость. В случае слабоэллиптической орбиты исследованы эксцен-триситетные колебания.
В работах [48,70] рассмотрены вопросы эволюции быстрых вращений механических систем, состоящих из упругого или упругого и абсолютно твердого тела, в центральном ньютоновском гравитационном поле. Упругая часть системы моделировалась сплошной средой, обладающей внутренним трением.
В [54] изучается обобщение рассматриваемой задачи на случай, когда механическая система представляет собой осесимметричное упругое тело, имеющее общую границу с твердым телом. В результате выявлен следующий эффект, свойственный для деформируемых систем: вращение системы вокруг центра масс замедляется, при этом модуль вектора кинетического момента системы монотонно убывает. Сам вектор кинетического момента наклоняется в сторону плоскости орбиты центра масс, стремясь занять положение, при котором угол между
нормалью к плоскости орбиты и вектором кинетического момента системы равен определенной величине, зависящей от текущего значения угловой скорости вращения системы вокруг центра масс. Когда угловая скорость системы становится сопоставима с орбитальной, предположение о быстрых вращениях нарушается, наблюдается гравитаци-
онный захват системы, при котором вектор кинетического момента стремится занять положение по нормали к плоскости орбиты.
Создание высокоточных теорий движения естественных небесных тел является сложной математической задачей. Известно, что дом и
8
нирующую роль в эволюции динамических характеристик планет и спутников Солнечной системы играют гравитационные и приливные моменты [64]: орбитальное движение и вращение вокруг центра масс
были в значительной степени изменены вследствие приливных взаимодействий. Сложность и многообразие физических процессов, протекающих внутри планет [61,68] и влияющих на величины приливных моментов, не позволяют однозначно построить приливную теорию. С другой стороны, теория приливов дает довольно хорошие результаты для системы Земля - Луна, что является одной из причин, оправдывающих ее применение к другим небесным телам. Исследования показали, что в настоящее время скорость вращения Земли за счет приливного трения меняется очень медленно, хотя этот эффект был значительно сильнее в прошлом, когда орбита Луны была ближе к Земле. Теоретические исследования показывают, что приливное взаимодействие с Землей и привело к заметному замедлению собственного вращения Луны на ранних этапах эволюции. Замедление вращения Земли также объясняется действием приливных сил [38,64]. Настоящее движение Луны вокруг Земли служит примером "почти" стационарного вращения тела.
Во многих работах по приливной эволюции небесных тел принимается ряд гипотез относительно характера приливных горбов при наличии угла запаздывания. Этот угол предполагается либо постоянным, либо зависящим от относительной угловой скорости вращения небесного тела. Количественные оценки угла запаздывания основываются на экспериментальных данных.
Первые фундаментальные исследования в этой области были проведены в конце XIX века небесным механиком и космогонистом Джорджем Дарвином [34]. Во второй половине XX века появление радиолокационной астрономии с ее высокоточными методами измерений приве-
9
- Киев+380960830922