РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ПОЛІВ НАПРУЖЕНЬ І ДЕФОРМАЦІЙ У РІЗНИХ ТРУБОПРОВОДАХ І ЇХ ВИКОРИСТАННЯ ДЛЯ ДІАГНОСТИКИ ТРУБОПРОВОДІВ АВІАЦІЙНИХ СИСТЕМ
2.1. Математичні моделі полів напружень і деформацій
У розділі приводяться деякі моделі полів напружень і деформацій, характерні для трубопроводів авіаційних систем. Кожна модель має практичне застосування при дефектоскопії трубопроводів.
Перша математична модель описує процеси в товстостінних трубопроводах. При аналізі враховуються поздовжні і поперечні (зсувні) хвилі.
Друга модель описує процеси в тонкостінних трубопроводах (враховуються поздовжні та поперечні хвилі, а також хвилеводні властивості трубопроводу). Розглядається дія обводового навантаження, що на практиці відповідає обводовому локальному розриву в багатошаровому трубопроводі.
Третя модель найбільш наближена до реальних умов. Вона також описує процеси в тонкостінних трубопроводах, але дефект трубопроводу (тріщина) являє собою локальний об'єм в оболонці трубопроводу.
2.1.1. Поля напружень і деформацій у товстостінних трубопроводах
Товстостінними вважаються трубопроводи, відношення товщини яких до їх зовнішнього радіуса перевищує 0,1 ? 0,2. У таких трубопроводах легко виділяється і реєструється перший імпульс, викликаний появою тріщини, який є найбільш інформативним. Цей імпульс проходить по прямій від джерела до приймача, і тому його можна моделювати й аналізувати без врахування границь, що істотно спрощує математичну задачу.
Мікророзрив (мікротріщину), що виник в матеріалі, можна розглядати як порожнину. Оскільки розміри порожнини і деформації, що виникають при цьому, малі, то хвилі, що розходяться від порожнини, будуть мати сферичну симетрію, і функції переміщень U(?) і напружень ?(?) будуть залежати лише від часу і відстані. У цьому випадку вихідні рівняння, що визначають задачу розриву авіаційного трубопроводу у точці, будуть мати вид[7, 119] :
; ;
; ; ; (2.1)
,
де ;; r ? відстань від центра порожнини до точки спостереження; l ? радіус порожнини; c1L ? швидкість звуку поздовжньої хвилі в матеріалі трубопроводу; t ? час; ? ? потенціал швидкості; ; ?2, ?2 ? постійні Ламе розриву (порожнини); ?1, ?1 ? постійні Ламе трубопроводу; ; ; ; с1,2Т ? швидкість звуку поперечної (зсувної) хвилі; ?r і ?? ? відповідно радіальне і зсувне напруження; ?1 і ?2 ? густина середовищ трубопроводу і порожнини відповідно; Р0 ? тиск на поверхні порожнини.
Вплив зсувних хвиль, що виникають як у самій мікропорожнині, так і в навколишньому середовищі, визначають постійні Ламе.
Припускаючи, що в початковий момент часу ? = 0 збудження відсутні, додамо до співвідношень (2.1) початкові умови:
. (2.2)
Будемо шукати рішення задачі (2.1) ? (2.2) у виді розбіжної хвилі:
. (2.3)
Тут g(x) ? деяка функція. Ця функція повинна задовольняти умовам: . У цьому випадку початкові умови (2.2) будуть виконані.
Тоді, приймаючи до уваги граничні умови на поверхні порожнини , одержимо рівняння, яке відповідає початковій задачі Коші для функції g:
; . (2.4)
Характеристичне рівняння, що відповідає (2.4), має вид:
.
Корені його дорівнюють (1 - k>0):
; ; .
Тоді рішення задачі Коші (2.3) можна представити в такий спосіб:
.
Переміщення і напруження можна виразити через функцію g у такий спосіб:
; (2.5)
.(2.6)
Якщо сферична порожнина знаходиться в акустичному середовищі (без хвиль зсуву), то необхідно покласти k = 1. Для цього випадку з формул (2.5) і (2.6) знайдемо:
; ,
де р ? тиск в акустичному середовищі.
2.1.2. Поля напружень і деформацій у багатошарових трубопроводах
Характерним дефектом багатошарових трубопроводів є обводовий локальний розрив, у результаті якого до трубопроводу прикладається обводове навантаження q (рис.2.1).
При аналізі можливих підходів до рішення поставленої задачі встановлено, що найбільш просто і більш точно може бути описана головна частина імпульсу, викликаного розривом у трубопроводі, яка у той же час є найбільш інформативною. Оскільки дані трубопроводи не можна вважати товстостінними, то для складання математичної моделі (відповідної даному випадку) використаний математичний апарат, що описує процеси в оболонках,
Рис.2.1. Обводове навантаження в трубопроводі
тобто при аналізі враховуються хвилеводні властивості трубопроводів.
При цьому в як вихідні використовуються рівняння осесиметричних коливань оболонки в припущенні можливості застосування теорії Кірхгофа-Лява [105,106]:
;
(2.7)
,
де U ? поздовжній зсув; w ? радіальний зсув, причому w>0, якщо він спрямований до осі оболонки; а ? середній радіус оболонки; Е и ? ? модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона; h ? товщина трубопроводу; q(z,t) ? внутрішнє навантаження між шарами. У найпростішому випадку воно має вид раптово прикладеного зусилля, що оперізує трубопровід:
, (2.8)
де ?(z) ? дельта-функція.
Початкові умови ? нульові. Точне рішення задачі (2.7) і (2.8) для нескінченної оболонки, що отримане за допомогою перетворен