РОЗДІЛ 2
Сплайн – інтерполяція та сплайн – інтерлінація функцій.
Слово “сплайн” походить від англійського spline (рейка, стержень) – назва
пристосування, яке кресляри використовували для проведення гладких кривих через
задані точки. На практиці широко вживаються сплайни невисокого степеня [3],
[20], [30], [58], [59], [89], [90], [103], [104].
Означення 2.1. Функція називається поліноміальним сплайном (або просто
сплайном) порядку (степеня) відповідним розбиттю , якщо: 1) на кожному відрізку
функція є алгебраїчним поліномом степеня не вищого, ніж ; 2) у кожній з точок
функція ( для ) або деяка похідна , має розрив; 3) хоча б на одному із указаних
інтервaлів степінь полінома дорівнює m.
Означення 2.2. Сплайн порядку має у вузлі дефект , , якщо функції неперервні в
точці і похідна розривна в точці .
Означення 2.3.Сплайн називається інтерполяційним для функції , якщо .
Важливою властивістю сплайнів є можливість їх побудови на основі мінімізації
функціоналу
Означення 2.4. Інтерлінацією функції [61, c. 24-29] на декількох лініях будемо
називати відновлення функції за ії слідами на лініях . Тобто розв’язати задачу
інтерлінації за заданими слідами - це означає побудувати деяку функцію (будемо
називати ії інтерлінантом), яка має властивiсть на лініях .
Термін “інтерлінація” використовується по аналогії з терміном “інтерполяція”,
що означає відновлення функції по ії значенням в декількох точках.
Наведемо приклади, що мають практичне значення. Дані гідролокації дна океану є
перерізом поверхні океану площинами, що перпендикулярні до поверхні океану та
дотикаються до ліній на поверхні (курс корабля, на якому знаходиться локатор).
Для того, щоб побудувати рівняння поверхні дна океану (тут -координати точки на
поверхні океану в даній системі координат), -відстань від поверхні океану в
точці з координатами до дна), використовуються сліди функції на лініях ( -дані
гідролокації, -курси корабля). Таким чином, задача побудови рельєфу дна океану
(задача картографії) є задачею побудови інтерлінанта по даним гідролокації.
В станках з програмним управлінням інтерлінація може використовуватися для
опису широкого класу поверхонь, при умові, що за основу буде взятий лише каркас
цієї поверхні, тобто сліди на деяких наперед вибраних напрямках.
За даними радіолокації можно описати за допомогою інтерлінанта рельєф поверхні
частини Землі, Місяця або іншого достатньо віддаленого об’єкту (промінь
локатору рухається вздовж деякої раніше підібраної системи ліній на вивчаємому
об’єкті). Відбиття променя від об’єкту дозволяє отримати відстані від точки
відображення, тобто значення функції (у відповідно вибраній системі координат ;
–відстань від точки з координатами до радіолокатора) на вказаних лініях –курсах
променя локатору. Обробка такого роду інформації повинна проходити достатньо
швидко, тобто використовувати математичний аппарат, що найбільше пристосований
до використання отриманих даних. Таким апаратом може бути інтерлінація.
2. 1. Кусково-сталі сплайни.
Викладемо один з методів побудови кусково-сталих сплайнів [62, c. 42 - 53].
Означення 2.5. Функція належить до класу Гьольдера з показником на відрізку ,
якщо
Простір є лінійним простором функцій з півнормою, яка визначається так
або
Означення 2.6. Аналог простору Ліпшиця для випадку визначається так:
Нехай -
сімейство функціоналів;
- простір кусково-сталих функцій, відповідних розбиттю . Система
характеристичних функцій є базисом в : кожна функція (вибір значень у точках
може бути іншим) може бути зображена у вигляді
Тобто є лінійний простір функцій розмірності . Нехай
Теорема 2.1. [62, c. 45].
Якщо , то
2. 2. Лінійний та білінійний інтерполяційний сплайн.
Означення 2.7. Функція
, , ,
називається інтерполяційним сплайном 1-го степеня. Очевидно, що Геометрично: –
це ламана з вершинами в точці Якщо неперервна на разом із першою похідною, то
похибка, що виникає при наближенні функції лінійним сплайном, буде:
Якщо неперервна на разом з першою та другою похідними, то
Нехай , -інтерполяційні дані. Введемо розбиття , .
Означення 2.8. Інтерполяційним білінійним сплайном називається функція
, яка в кожному прямокутнику є лінійною відносно
та і задовольняє умовам
Інтерполяційний білінійний сплайн має вигляд
2.3. Параболічний та біквадратичний інтерполяційний сплайн. Базисні сплайни
другого порядку.
В класичній теорії сплай-інтерполяції пропонується метод побудови параболічних
сплайнів, який використовує дві сітки вузлів: - вузли сплайна та - вузли
інтерполяції. Побудований таким чином сплайн залежить від параметрів, має два
вільних параметри, тому цей інтерполяційний сплайн повинен задовольняти ще дві
додаткові умови. Для знаходження коефіцієнтів треба розв’язувати тридіагональну
систему лінійних рівнянь.
Розглянемо метод побудови квадратичного сплайна, який не використовує
додаткової системи вузлів, крім вузлів інтерполяції, не потребує використання
яких-небудь граничних умов, дає явне представлення цих сплайнів (не вимагає
розв’язання системи лінійних рівнянь) [62, с. 54-56].
Розглянемо функцію -кусково-неперервна на , . Нехай задана сітка . Сплайн
другого степеня має вигляд
(2.1)
, ,
де деякі невідомі сталі. Для знаходження , , використаємо критерій 1: , Тоді
знаходяться за формулами:
(2.2)
або у явному вигляді:
(2.3)
При цьому: .
При рівномірному розбитті [4]
для виконуються рівності (нижче використовуємо правило )
(2.4)
Запис квадратичних сплайнів у вигляді (2.1) дуже зручний при обчисленні цих
сплайнів у конкретних точках, бо вимагає найменшого числа арифметичних
операцій. Але в деяких випадках форма запису (2.1) є менш привабливою ніж форма
запису
,