РАЗДЕЛ 2
ПОСТАНОВКА НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ.
ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В настоящем разделе приведена постановка задач о динамическом нагружении
ограниченного тела с трещинами и гармоническом нагружении материала с трещинами
при учете контактного взаимодействия противоположных берегов трещин.
Поставленная задача сведена к граничным интегральным уравнениям с
односторонними ограничениями в виде неравенств. Приведен основывающийся на
вариационных принципах динамической теории упругости итерационный алгоритм
решения задач механики разрушения для тел с трещинами.
Постановка динамических контактных задач теории упругости с односторонними
ограничениями в виде неравенств для тел с трещинами
Рассмотрим предложенную А.Н. Гузем и В.В. Зозулей в работах [59–62, 78–80, 260,
261] постановку задачи о динамическом нагружении ограниченного тела с трещинами
с учетом контактного взаимодействия берегов трещин.
Пусть линейно упругое, однородное и изотропное тело в трехмерном евклидовом
пространстве занимает объем . Будем отождествлять каждую материальную точку
тела с той точкой пространства, которую она занимает в данный момент времени.
Границу тела будем предполагать кусочно-гладкой и состоящей из областей и , на
которых заданы векторы поверхностной нагрузки и перемещений соответственно. На
тело могут действовать объемные силы . Деформации тела определяются тензором
деформаций Коши, который удовлетворяет условиям совместности деформаций
Сен-Венана.
Предположим, что в теле расположено произвольно ориентированных трещин. Трещины
могут иметь соизмеримое с перемещениями берегов начальное раскрытие , при этом
поверхности берегов предполагаются локально почти параллельными, а кривизна
этих поверхностей относительно невелика.
Под воздействием объемных сил и поверхностных нагрузок происходит деформация
тела, при этом предполагается, что перемещения точек тела и их градиенты малы,
поэтому напряженно-деформированное состояние тела описывается уравнениями
линейной динамической теории упругости в перемещениях
, (2.1)
где оператор для изотропного тела имеет вид:
, (2.2)
– производная по времени, – удельная плотность материала, и – упругие
постоянные Ламе, – символ Кронекера.
Для завершения постановки начально-краевой задачи необходимо задать начальные и
граничные условия.
Условия в начальный момент времени запишем в виде
. (2.3)
Граничные условия, с учетом существования на границе областей, в которых заданы
векторы поверхностной нагрузки и перемещений, имеют вид:
(2.4)
Кроме того, отметим, что в случае неограниченного тела задача сводится к задаче
Коши для гиперболической системы (2.1), а для корректности постановки задачи
необходимо потребовать выполнения условий на бесконечности, которые заключаются
в ограничениях на вектор перемещений и обеспечивают конечность энергии упругого
тела, занимающего конечную область , где – норма в соответствующем
функциональном пространстве, – некоторая константа, – расстояние до начала
координат,
При решении задач для тела с трещинами под воздействием динамической
(гармонической) нагрузки обычно предполагают, что в процессе деформирования
тела противоположные берега трещин перемещаются относительно друг друга,
последовательно проходя фазы начального недеформированного состояния,
растяжения и сжатия (см. Рис. 2.1), при этом допускается взаимное проникновение
берегов трещин. Однако в реальности противоположные берега трещин всегда
взаимодействуют между собой с образованием изменяющихся во времени областей
нормального контакта, скольжения и сцепления, а на берегах трещин имеют место
силы контактного взаимодействия, поэтому взаимного проникновения берегов при
сжатии не происходит. Контактное взаимодействие противоположных берегов трещин
приводит к существенному изменению напряженно-деформированного состояния в
окрестности фронта трещин. Поэтому отказ от учета контактного взаимодействия
берегов трещин под воздействием динамической нагрузки приводит к упрощенному
описанию физических процессов и искажению получаемых механических
характеристик.
Взаимные перемещения противоположных берегов трещин будем характеризовать
вектором разрыва перемещений:
(2.5)
где и – перемещения противоположных берегов трещин.
а) б) в)
Рис. 2.1. Фазы начального недеформированного состояния,
растяжения и сжатия
На поверхностях противоположных берегов трещин, контактирующих во время
деформации, возникают силы контактного взаимодействия , компоненты которых
определяются следующим образом
, (2.6)
где – компоненты тензора напряжений, – компоненты единичного вектора внешней
нормали в точке .
Подчеркнем, что размеры и форма области контакта берегов трещины изменяются во
времени и подлежат определению в процессе решения задачи, что и обуславливает
ее нелинейность.
При этом представление (2.6) имеет место на каждом из противоположных берегов
трещины. Учитывая локальную параллельность берегов, получаем
где и – компоненты сил контактного взаимодействия на противоположных берегах
трещин.
Согласно [59–62] для нормальных и касательных составляющих векторов сил
контактного взаимодействия и разрыва перемещений на берегах трещин должны
выполняться односторонние ограничения Синьорини и закон трения Кулона, которые
имеют вид:
(2.7)
(2.8)
где и представляют собой нормальные и касательные составляющие векторов разрыва
перемещений и сил контактного взаимодействия; – коэффициент трения; а
коэффициент определяется следующим образом
С физической точки зрения односторон
- Киев+380960830922