О представлении элементов группы произведением инволюций и смежные вопросы

Содержание
Введение ........................................................... 4
Глава 1. О порождении конечных простых групп инволюциями 11
1.1. О порождении конечных простых групп тремя инволюциями . 11
1.2. О порождении простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны ............................................13
1.3. Гамильтоновы циклы графа Кэли..............................22
1.4. О порождении простых групп инволюциями с условием, что
их произведение равно единице...............................28
1.5. Группы типа Коксетера......................................30
1.6. Результаты вычислений......................................31
Глава 2. Пересечения силовских 2-подгрупп и представление каждого элемента группы произведением двух сопряженных элементов в некоторых конечных простых группах......................37
2.1. О представлении элементов группы произведением двух сопряженных элементов.................................................37
2.2. О пересечениях силовских 2-подгрупп........................40
Заключение..........................................................44
Литература..........................................................46
Приложение А. Реализация алгоритмов в системе GAP .... 52 А.1. О порождении конечных простых групп тремя инволюциями . 52 А.2. О порождении простых групп тремя инволюциями, две из которых перестановочны ...............................................53
2
А.З. Построение гамильтоновых циклов в графе Кэли группы, обладающей мазуровской тройкой.................................71
А.4. Поиск порождающих пятерок инволюций с условием, что их
произведение равно единице...................................74
А.5. Алгоритмы проверки гипотезы Томпсона........................78
А.6. Нахождение числа орбит силовской 2-подгруппы при действии
сопряжениями на множестве пересечений силовских 2-подгрупп 82
3
Введение
Постановка задами и актуальность темы диссертации.
Многие задачи теории групп и ее приложений сводятся к проблеме нахождения множества порождающих элементов, удовлетворяющих ряду определенных свойств. Для конечных простых групп и близких к ним наибольший интерес вызывают порождающие множества минимальной мощности, в которых особую роль играют инволюции.
Всякая конечная простая неабелева группа содержит инволюции и порождается любым классом сопряженных инволюций. Естественно возникает вопрос: каково минимальное число инволюций (необязательно сопряженных), порождающих конечную простую исабелеву группу? К 90-м годам прошлого века стало известно, что тремя инволюциями порождена каждая конечная простая исабелева группа, исключая группу 3) [1].
С другой стороны, были описаны группы, порожденные тремя инволюциями, порядки произведений каждых двух из которых невелики. Например, если эти порядки равны 2, 3, 5, то соответствующая группа, является либо знакопеременной группой Л5, либо ее ииволютивным расширением. Несколько лет назад было выяснено (2—7] какие конечные простые нсабслсвы группы порождаются тремя инволюциями, две из которых перестановочны. Такие тройки инволюций, если они существуют в группе, называются дал ее мазу-ровскими. тройками инволюций этой группы.
Я. Н. Нужип [2~б| доказал, что в некоторых линейных группах размерностей, не превосходящих 4, и в знакопеременных группах Л6,Л7, А« мазу-ровских троек инволюций не существует, а в других знакопеременных группах и простых группах лиева типа указал явно по мазуровской тройке. Ясно, что если (г,.у, к) — мазуровская тройка инволюций, причем гу = то тройки инволюций вида (гу, г, к) и (гу,,у, &) также являются мазуровскими.
В работе [7) показано, что среди спорадических групп, только группы Матье Ми, М22, М23 и группа Маклафлина МсЬ не обладают мазуровскими тройками инволюций. Вместе с тем, несколько ранее отсутствие мазуровских троек инволюций в этих группах было показано в работе |8], положившей начало циклу работ но следующей задаче:
В1. (А. В. Тимофеенко). Указать алгоритмы поиска мазуровских троек инволюций в конечных простых группах и создать электронный атлас таких троек.
Если (г. у, к) — мазуровская тройка инволюций конечной простой группы С и |гу| = 2, |г/с] = р, \фк\ = д. то определим (?2(С) как множество всех таких упорядоченных пар чисел (р, д). Мы не различаем две мазуровские тройки инволюций, если соответствующие числар и д равны.
Группу типа Коксетера со следующим графом Коксетера при р,д > 3,
а с Ъ
Д. Докович предложил называть ТС7(р,д)-группой. Вопрос, какие конечные простые неабелевы группы являются ТС(р, </)-группами, равносилен вопросу о существовании мазуровских троек инволюций в конечных простых группах. В работе |8] поставлен более сильный вопрос.
В2. (Я. Н. Нужин). Какие конечные простые группы яаляются ТС(р. д)-группами при фиксированныхр ид?
Особый интерес представляют частные случаи для малыхр и д, а именно, когда (р,</) = (4,5), (4,6), (5,5), (5,6), (6,6). Известно, что линейная группа .£>2(11) является ТС(5,5)-группой и Т(7(5,6)-группой, а знакопеременная группа Ль — ТС(5, 5)-груипой. Известно [9] также, что если (р, (/) 6 {(3,3), (3,4), (3,6), (4,4)}, то ТС(р,<?)-группа не проста. Построив (под)множество
5
C2 (G), мы получаем ответ на вопрос о принадлежности группы G классу
тем.
Если группа порождена тремя инволюциями г,/;, /с, то. очевидно, что произведение элементов ijkkji = 1, а если ij = ji, то единице равно произведение пяти инволюций (ij — одна из них), порождающих эту группу. И тогда возникает следующий вопрос («Коуровская тетрадь», вопрос 14.69):
ВЗ. (Я. Н. Нужин). Для каоюдой конечной простои неабелевой группы найти минимум числа порождающих инволюций, удовлетворяющих дополнительному условию, в каждом из следующих случаев.
1 ) Произведение пороо/сдающих инволюций равно 1.
2) (Malle-Saxl- Weigel) Все пороо/сдающие инволюции сопряэ/сены.
3) (Mallc-Saxl- Weigel) Выполняются одновременно свойства 1) и 2).
4) Все порождающие инволюции сопряжены и две из них перестановочны.
С точки зрения строения порождающего множества конечной простой группы нужно выделить гипотезу Дж. Томпсона, занесенную В. Д. Мазуровым в «Коуровскую тетрадь» как вопрос 9.24.
В4. (Дж. Томпсон). Гипотеза: всякая конечная простая неабелева группа G представима в виде G = СС, где С — некоторый класс сопряженных элементов группы G.
Возможности вычислительных методов были эффективно использованы в данной работе при изучении парных силовских пересечений в конечных почти простых группах. Важным инструментом в такого рода исследованиях является параметр 1Р(С). Пусть G — конечная группа с силовской р-под группой Р и условием Op(G) = 1, где Op(G) обозначает наибольшую нормальную р-подгруппу группы Р. Если X = {Pg I Р° Г) Р = 1 ,g Е G}, то. очевид-
6