Содержание
1 Предварительные сведения об /-кольцах 11
1.1 Определение и свойства решеточно упорядоченных колеи......... 11
1.2 /-гомоморфизм................................................ 15
1.3 /-идеал...................................................... 17
1.4 Теоремы об изоморфизме....................................... 21
1.5 Пересечение и сумма /-идеалов................................ 25
1.6 /-идеал, порожденный подмножеством........................... 26
2 /-первичный и /-полупервичный правые /-идеалы 32
2.1 Правый /-первичный /-идеал................................... 32
2.2 Правый /-полупервичный /-идеал.............................. *37
3 Радикал /-кольца 42
3.1 Радикал /-кольца и односторонние /-идеалы.................... 42
3.2 /-Аннулятор ................................................ 46
3.3 Специальный класс /-колец.................................... 49
4 Примеры специальных радикалов 58
4.1 Класс /-первичных /-колец ................................... 58
4.2 Класс /-колец без положительных делителей нуля............... 61
5 Радикалы и /-модули 63
5.1 Специальный класс /-модулей.................................. 63
5.2 Связь со специальным классом /-колец......................... 68
2
Введение
Начало общей теории радикалов колец было положено Курошем и Амицуром в 1953 году. В своей работе [8] А. Г. Курош ввел основные понятия теории радикалов, а также указал основные методы их построения; им были описаны характеристики радикальных и полупростых классов, построение нижнего и верхнего радикала, порожденного данным классом колец (алгебр). Монография В. А. Андрунакиевича и Ю. М. Рябухина [4] подвела итог общей теории радикалов в 80-х годах.
Теория радикалов помогает понять строение колец (алгебр) с помощью разбиения на полупростые и радикальные, которые уже проще описать. В XX веке было найдено большое число радикалов, которые нашли многочисленные применения в разных областях современной теории колец.
Важную роль в теории ассоциативных колец играет лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского (см. [17]), которая говорит о том, что радикал идеала кольца Я является идеалом кольца Я.
В работе В. А. Андрунакиевича, А. В. Андрунакиевича (см. [5]) радикал кольца представляется в виде пересечения односторонних идеалов, для каждого из которых выполнено условие: факторкольцо по наибольшему идеалу, содержаще-муся в данном правом идеале, является полупростым. Там же наднильпотент-ный радикал кольца представляется в виде пересечения правых полупервичных идеалов с тем же условием.
В работе В. А. Андрунакиевича [1] из класса наднильпотеитных радикалов выделен класс специальных радикалов, которому принадлежит значительная часть известных радикалов. В работе В. А. Андрунакиевича [2| появляется понятие первичного модуля для характеризации первичного радикала.
В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин [3] показали, что с помощью первичных модулей можно охарактеризовать специальные радикалы. Они определяют специальный класс модулей и показывают, что он задаст радикал и что он связан со специальным классом колец. Если задан специальный класс колец, то специальный радикал кольца Я представляется в виде пересечения аннулято-ров /7-модулей из соответствующего специального класса модулей. Приводятся примеры специальных классов модулей, в том числе класс всех первичных модулей.
Плодотворной оказалась идея распространить теорию радикалов на реше-точно упорядоченные кольца (^-кольца), что видно на примере исследований, проведенных в работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой.
3
М. А. Шаталова в работе [15] вводит понятия /-первичного и /-полупервич-ного /-идеала решеточно упорядоченного кольца (/-кольца) и определяет радикал в классе /-колец аналогично тому, как он был определен Курошем для колец. В этой работе М'. А. Шаталова изучает два радикала, определенные в классе решеточно упорядоченных колец: Л-радикал и /-радикал, и показывает их связь между собой.
В работе [16| М. А. Шаталова вводит понятие специального класса реше-точпо упорядоченных колец, аналогичное определению В. А. Аидрунакиевича для колец. М. А. Шаталова показывает, что специальными классами являются класс всех /-первичных /-колец, класс всех /-первичных /-колец без локально пильпотентных /-идеалов, класс /-колец, не содержащих строго положительных делителей нуля, класс подпрямо неразложимых /-колец с /-идемпотентной сердцевиной.
А. В. Михалев и М. А. Шаталова в работе [10] изучили первичный радикал в классе решеточно упорядоченных колец, определенный как пересечение всех /-первичных /-идеалов; доказали, что он совпадает с множеством элементов I-кольца, модуль которых принадлежит первичному радикалу, определенному в классе всех колец (равному пересечению всех первичных идеалов). А также ими было доказано, что он совпадает с пересечением минимальных /-первичных /-идеалов и со множеством всех строго /-пильпотентных элементов. В работах
А. В. Михалева и М. А. Шаталовой [11] и [12] содержится целый ряд интересных результатов в области упорядоченных модулей.
Представляет интерес дальнейшее развитие теории радикалов в классе I-колец, что приводит к необходимости решения следующих задач:
1) Получить характеризацию радикалов в классе /-колец с помощью односторонних /-идеалов. В связи с этим изучить свойства односторонних/-идеалов.
2) Охарактеризовать специальные радикалы с помощью односторонних /-идеалов.
3) Изучить свойства решеточно упорядоченных модулей и получить характеризацию специальных радикалов с помощью апнуляторов решеточно упорядоченных модулей.
Диссертационная работа изложена на 74 страницах и состоит из введения и пяти частей. Библиография включает 22 наименования. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказано, что над н и л ьпоте нтн ы й радикал/-кольца равен пересечению всех /-полупервичных правых /-идеалов /-кольца, таких что факторкольцо по
4
наибольшему /-идеалу, содержащемуся в данном правом /-идеале, является полу простым (теорема 3.1.2).
2. Доказано, что специальный радикал /-кольца равен пересечению всех правых /-первичных /-идеалов, таких что факторкольцо но наибольшему /-идеалу, содержащемуся в данном правом /-идеале, принадлежит специальному классу (теорема 3.3.4). Доказано, что первичный радикал /-кольца равен пересечению всех правых /-полупервичных /-идеалов (теорема 4.1.2).
3. Доказывается аналог леммы Андерсона-Дивинского-Сулинского для случая специального радикала в классе /-колец (теорема 3.3.5).
4. Доказано, что специальный радикал /-кольца Я представляется в виде пересечения /-аннуляторов /-модулей над //, принадлежащих специальному классу (теорема 5.2.1). В частности, первичный радикал /-кольца представляется в виде пересечения /-аннуляторов всех /-первичных /-модулей над Я (предложение 5.2.3).
Для получения данных результатов используются классические методы теории колец и упорядоченной алгебры, а также развитые автором методы работы со специальными элементами /-колец.
Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории колец и упорядоченной алгебры.
Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце диссертации [23—251.
Перейдем к изложению диссертации по главам. Диссертация состоит из введения и пяти глав. Во введении изложена краткая история вопроса и обоснована актуальность темы диссертации.
Первая глава носит предварительный характер. В основном, результаты первой главы были известны ранее. Их можно найти в книгах Г. Биркгофа [6], Л. Фукса [14|, А. Бигара, К. Каймела, С. Вольфенштейна [19|.
В части 1.1 первой главы приводятся необходимые свойства элементов /-кольца. В части 1.2 приводятся свойства /-гомоморфизма /-колец. В части 1.3 дается определение /-идеала, правого /-идеала и изучаются их свойства.
Часть 1.4 посвящена теоремам об изоморфизме. Приводятся первая и вторая теоремы об изоморфизме (см. [19]). Уточняется третья теорема об изоморфизме. В работе М. А. Шаталовой [15] доказывается третья теорема об изоморфизме для случая, когда Ли I являются /-идеалами /-кольца Я. Известно, что для
колец она остается верной, если А является только подкольцом в Я. В работе В. И. Арнаутова [18] показано, что для топологических колец аналогичная теорема не верна, так как если А — топологическое подкольцо, а I — идеал топологического кольца Я, то А + I не является топологическим кольцом; теорема будет верна, если А является идеалом. Мы доказываем, чаю в случае /-колец аналогичная теорема верна.
Третья теорема об шюморфизме для 1-колец. Пусть Я — /-кольцо, А — I-подкольцо, I — /-идеал /-кольца Я. Тогда А + I — /-кольцо, А П I —- /-идеал /-кольца А, I — /-идеал /-кольца А+1 и /-кольца (Л+/)/7 и 7/(ЛП7) изоморфны.
В пунктах 1.5 и 1.0 изучаются пересечения и суммы /-идеалов, а также /-идеалы, порожденные подмножествами /-кольца, необходимые для доказательства теорем в дальнейшем.
Во второй главе мы вводим определения /-первичного и /-полупервичного правого /-идеала.
Определение 3. Правый /-идеал Р /-кольца Я называется 1-первичпым, если Р ф 11 и выполнено условие:
(1) для любых правых /-идеалов А, В /-кольца Я, если АВ С Я, то либо А С Я, либо ВСР. где
п
АВ = {г = | 2ч € А, Уi £ Я, 71 £ М}.
1=1
Определение 5. Правый /-идеал 5 /-кольца 72 называется 1-полу пер винным, если для любого правого /-идеала А /-кольца Я из А2 С Я следует, что А С 5, где
п
А2 = {г = | а*, у> Е А, пЕ 14}.
1=1
Далее, мы показываем, что для двустороннего/-идеала эти определения совпадают с определениями- М. А. Шаталовой /-первичного и /-полупервичного /-идеала. То есть мы доказываем, что для любого /-идеала Р /-кольца Я следующие условия эквивалентны (см. теоремы 2.1.1 и 2.2.1):
1) Для любых /-идеалов А, В /-кольца Я, если ЛЯ С Р, то либо Л С Р, либо Вер (то есть Р — /-первичный /-идеал).
2) Для любых правых /-идеалов Л, Я /-кольца Я, если ЛЯ С Р, то либо ЛСР, либо Вер.
Для любого /-идеала 5 /-кольца Я следующие условия эквивалентны:
1) Факторкольцо Я/Я не содержит ненулевых нильпотентных /-идеалов (то есть Я — /-полупервичный /-идеал).
- Київ+380960830922