Оглавление
0.1 Введение ................................................. 3
1 Необходимые определения, конструкции и теоремы 12
2 Комплекс Хохшильда для модулей над алгебрами и А^-
модули над Лоо-алгебрами 35
2.1 Комплекс Хохшильда для модулей над алгебрами .............36
2.2 Когомологии комплекса Хохшильда для модулей над алгебрами .......................................................41
2.3 Лоо-модули над Лоо-алгебрами и когомологии комплекса
Хохшильда для модулей над алгебрами......................46
2.4 Примеры использования комплекса Хохшильда для моду-
лей над алгебрами для описания структур Л^-модулей над Лоо-алгебрами............................................50
2.5 Применение комплекса Хохшильда для модулей над алге-
брами при исследовании структур Л^-модулей над Лоо-алгебрами в случае, когда Лоо-алгебры не совпадают.........56
3 Комплекс Хохшильда для Лоо-алгебр и Лоо-модулей над
Лос-алгебрами 59
3.1 Комплекс Хохшильда для градуированной Лоо-алгебры .. 60
3.2 Скрещивающие коцепи комплекса Хохшильда для Лоо-ал-
гебры и связь структуры множества эквивалентных коцепей с гомологиями этого комплекса........................67
3.3 Продолжения Лоо-алгебры и когомологии комплекса Хохшильда Соо(Л,Л) дня Лоо-алгебры..............................70
3.4 Конструкция комплекса Хохшильда для Лос-модулей над
Лоо-алгебрами и связь с продолжениями....................73
3.5 Продолжение модуля над алгеброй для случая, когда модуль является фактор-алгеброй................................79
3.6 Заключение...............................................85
3.7 Литература...............................................86
1
I
3.1 Список публикаций автора по теме диссертации . . 90
2
Введение
Изучение различных алгебраических структур на топологических пространствах является одним из основных вопросов алгебраической топологии. Необходимо рассматривать связь свойств алгебраических структур, вводимых на топологических пространствах с чисто топологическими свойствами самих пространств.
^оо-структуры. Изучение топологических пространств (X, е) с умножением, относительно которого е является гомотопической единицей (II-пространств), привело Сташеффа в [54] к рассмотрению топологических моноидов, то есть //-пространств со строгой единицей и ассоциативностью умножения. Были получены результаты о том, что с топологической точки зрения моноиды являются пространсвами петель, которые, в свою очередь, эквивалентны топологическим группам [28], [48|, [29]. Однако структура моноида, как и гомотопической группы, обладает существенным недостатком - она не является гомотопически устойчивой, то есть если существует гомотопическая эквивалентность моноида М и множества Л", то это не означает, что на X можно ввести структуру моноида, которая была бы гомотопически эквивалентна такой структуре на М. Бедность структуры //-пространства, являющегося естественным гомотопическим аналогом моноида, побуждало искать более богатые структуры. Такие структуры нашел Дж. Сташефф [53], введя понятие пространства. Частыми случаями этих пространств являются Л „-пространства, причем при п — 2 это пространства со строгой единицей, при п = 3 - гомотопически ассоциативное пространство со строгой единицей, и так далее. Важным фактом явилось то, что Лоо-простран-ства явились гомотопически эквивалентны моноидам. Для того, чтобы пространство обладало структурой Л-х-простраиства, необходимо и достаточно, как показано в [55], чтобы оно было гомотопически эквивалентно некоторому пространству нетель. Вмссге с этим были введены понятия Лоо-отображепий, которые являются морфизмами в категории Лоо-простраиств.
Одним из существенных недостатков построенной конструкции являлось то, что клеточные разбиения шаров, моделирующие Л00-отоб{>а-жения топологических моноидов, устроены настолько сложно, что получить с их помощью достаточно глубокие результаты не удастся. Например, доказательство результата Фукса |30] о том, что гомотопическая эквивалентность между моноидами тогда и только тогда является Лоо-отображснием, когда обратная эквивалентность также представляет собой Лоо-отображение, оказалось настолько сложным, что даже не было опубликовано. Попытки решения технических проблем, возника-
3
ющих при рассмотрении Лоо-иростраиств и Лсо-отображсний, предпри-нимались неоднократно, в частности, в работах Бордмана и Фогта [24], [23], где был предложен другой ПОДХОД К построению Л 00-отображений, основанный на идеях категориой алгебры и физики.
Тем не менее решить указанную проблему удалось только после перехода от топологических пространств к их цепным комплексам. На пути описания этих конструкций первоначально и появилось понятие Лоо-алгебры. В неявном виде она уже была получена Сташеффым в [53], и именно поэтому традиционно считается, что именно он построил эту структуру, но окончательно порядок в определениях и построениях был наведен только в работе Кадеишвили [5]. В ней были даны строгие определения Лоо-алгебры и морфизма Л^-алгебр, а также построено обобщение этих конструкций на случай модулей, то есть дано определение Л«,-модуля над Лоо-алгсброй и морфизма Л^-модулей над Лоо-алгсбрами. Отметим, что в работе [5] понятие Лоо-алгебр и Л<»-модулей было получено при описании гомологий цепных комплексов. Там же были получены следующие результаты.
Теорема 1.1. Если А - дифференциальная алгебра над нолем , то па ее гомологиях Я,(Л) имеется структура градуированной Лоо-алгебры, гомотопически эквивалентной исходной алгебре Л. С точностью до изоморфизма в категории Лоо-алгебр указанная структура Лоо-алгебры на Я, (Л) единственна.
Теорема 1.2. Если М - дифференциальный градуированный модуль над дифференциальной градуированной алгеброй Л, то на гомологиях этого модуля Я. (А/) имеется структура градуированного Лос-модуля над градуированной Лоо-алгсброй, гомотопически эквивалентного исходному модулю М. С точностью до изоморфизма в категории Л^-модулей над Лоо-алгебрами указанная структура на ЯДА/) единственна.
Если рассматривать соотношения Сташсффа для алгебр в малых размерностях, то будут получены условия ассоциативности для произведения и правило Лейбница связи умножения с дифференциалом. На третьем шаге рассмотрения мы получим условие гомотопической эквивалентности между ассоциативностями. В связи с этим иногда Л<»-структуру называют гомотопически размазанной ассоциативностью.
Другой подход к получению структуры Лоо-алгебры может быть получен при рассмотрении высших произведений Масси. Эти операции были описаны в когомологиях топологических пространств (не важно, будут ли эти когомологии сингулярные, или, скажем, клеточные). Построение этих умножений описано, например, в работе Мэя [40], где строится матричный способ построения всех произведений, или в книге Фоменко А.Т. и Фукса Д.Б. [19], где описывается их общее построение. Оказмваст-
4
ся, что гомологии с рациональными коэффициентами, заданные вместе с обычным умножением и бесконечной последовательностью умножений Масси, определяют ранги гомотопических групп в одиосвязном случае. Этот вывод вытекает из теории минимальных моделей Сулливана.
При рассмотрении произведений Масси возникают две значительные трудности. Первая связана с тем, что произведения Масси определены не для всех элементов в классах когомологий. Вторая, и основная трудность связана с многозначностью произведений Масси, а именно с тем, что эти операции принимают значения на класах когомологий, причем неоднозначно. Таким образом, все соотношения между произведениями описывались в терминах вхождения одного множества в другое. Однако существует алгоритм, по которому на исходной алгебре можно построить А^-алгебру, если на гомологиях определены все высшие произведения Масси (например, матричные). Полученная структура будет согласована с произведением Масси, то есть на элементах, для которых определены высшие произведения Масси, значения произведений будут совпадать (2). За время развития алгебраической топологии высшие нетривиальные произведения Масси были найдены на многих конструкциях, в частности в
[2] они обнаружены на при изучении гомологий колец Степли-Райснера, или колец многогранников, с помощью комплекса Кошуля. Сами кольца граней являются важным объектом в теории торических действий [4],
[3], [27|. В дальнейшем Лоо-структуры стали важным вычислительным средством в различных задачах алгебраической топологии. С одной стороны, введение Лоо-структуры позволяет описывать множество при помощи меньшего числа образующих. Например, введение нетривиальной Лоо-алгсбры на кольце многочленов от четырех переменных позволяет описывать это множество, зная только три образующих (4).
Еще один способ получения Лоо-алгебры связан с введением понятия В-конструкции для алгебры. Само это понятие появилось еще в работах Брауна [25]. Позднее Кадеишвили показал, что введение на В-конструкции алгебры дифференциала, согласованного со стандартным коумиожсиием, равносильно введению на исходной алгебре структуры Лоо-алгебры [38]. В работах Смирнова были построены В-конструкции для Лоо-аагсбры и, двойственным образом, для Лоо-коалгебры.
С другой стороны, в некоторых случаях введение Лоо-структур необходимо, поскольку появляющиеся при изучении различных топологических конструкции содержат элементы, которые не могут быть выражены через известные с помощью конструкций алгебры или модуля над алгеброй. В частности, такая ситуация возникает при рассмотрении членов спектральных последовательностей гомологий тотальных пространств расслоений в смысле Серра, а также при рассмотрении алгебры Стинро-
5
да.
На современном этапе Аоо-алгебры и Лоо-модулн рассматриваются как наиболее простой пример адгебры над оиерадой. Само это понятие было введено Мэем в [47]. Структура алгебры над операдой Е<», позже названной ^-алгеброй, была найдена Смирновым на коцепном комплексе топологического пространства [13]. Позднее /?оо-структуры были получены им же на гомотопических группах [11]. В настоящее время с помощью понятия операды были получены результаты из алгебраической топологии, теоретической физики и других. В частности, В. Гинзбургом и М. Капрановым было обнаружено, что операда скобок векторного пространства изоморфна как операда, операде Л«» [34]. При рассмотрении деформации алгебры над операдой случай алгебры над операдой ( то есть Лоо-алгсбры) рассматривался Канцевнчсм как основной пример в [43]. Еще одним современным приложением Лоо-алгебр и Лоо-модулей над Лоо-алгсбрами явилась теория возмущений. Начало этой теории было положено в работе Гугенхсйма В., Ламбс Л. и Сташеффа Д.[35]. Позднее в серии работ [7], [8], [9] Лапиным С.В. теория возмущений была применена к коалгебре Милиора, являющейся двойственной к алгебре Стиирода. При этом были описаны понятия До-дифференцнальной Л .»-алгебры и коалгебры. Использование этих методов позволило указать метод построения Лоо-коалгебры на коалгебре Милиора непосредственно из дифференциалов спектральной последовательности Адамса. Двойственные результаты получены для алгебры Стиирода.
Комплекс Хохшильда. Рассмотрим вопрос появления и приложений комплексов Хохшильда. При изучение деформации алгебры, был построен комплекс Хохшильда для алгебр и установлена его связь с деформациями структуры алгебры [31]. Кроме того, позже комплекс Хохшильда был применен к изучению возмущений и деформаций, или, как сейчас принято называть, квантованию алгебраических структур [32]. В работе [37] при помощи комплекса Хохшильда изучались дифференциальные формы на регулярных алгебрах. Комплекс Хохшильда и его гомологии, называемые гомологиями Хохшильда, оказались полезны при изучении аддитивной алгебраической Tf-теории - циклических гомологий и эрмитовой алгебраической К-теории - диэдральных гомологий [20], [45], [б]. Циклические гомологии, в свою очередь, оказались мощным средством при изучении групп пссвдоизотопии компактных многообразий. В тех же работах было показано, что циклические гомологии определяют рациональный гомотопический тип в смысле Квиллина указанных групп пссвдоизотопии, а при помощи диэдральных гомологий - рациональный гомотопический тип групп гомеоморфизмов компактных многообразий. Эти результаты позволили определить количество гладких структур на
б
- Київ+380960830922