Содержание
1 Орбиты и инварианты кубических матриц третьего порядка С
1.1 Введение .................................................. 6
1.1.1 Основные определения и факты из теории б-груии (см.
(8, и. 8.5], (3] ) .................................. 6
1.1.2 Основные конструкции (см. [4, п. 2] )................ 9
1.2 Метод классификации........................................ 13
1.2.1 Классификация орбит [4]............................. 14
1.2.2 Описание полупростых элементов . . ................ 14
1.2.3 Описание нильпотентных элементов [4]................ 15
1.3 Основные результаты....................................... 16
1.4 Полу простые элементы..................................... 20
1.5 Нилыютентные элементы..................................... 21
1.С Инварианты ............................................... 23
1.7 Семейства элементов....................................... 26
2 Замыкания нильиотентных орбит кубических матриц порядка три 34
2.1 Введение ................................................. 34
2.2 Метод описания замыканий................................... 35
2.2.1 Алгоритм............................................ 36
2.3 Замыкания................................................. 37
2.3.1 Замыкание 0<ц, Обо, О59 ............................ 37
2.3.2 Замыкание Оье....................................... 37
2.3.3 Замыкание О™........................................ 37
1
2.3.4 Замыкание Ом.................................... 38
2.3.5 Замыкание Оы.................................... 38
2.3.6 Замыкание О«.................................... 38
2.3.7 Замыкание О4&.................................... 39
2.3.8 Замыкание О42.................................... 39
2.3.9 Замыкание О».................................... 40
2.3.10 Замыкание О«.................................... 41
2.3.11 Замыкание О33.................................... 44
2.3.12 Замыкание ......................................... 45
2.3.13 Замыкание Оп....................................... 45
2.3.14 Замыкание Оге...................................... 46
2.3.15 Замыкание 0>л..................................... 47
2.3.16 Замыкание О22...................................... 48
2.3.17 Замыкание 0\<>..................................... 48
2.3.18 Замыкание 0^....................................... 49
2.3.19 Замыкание Оц....................................... 50
2.3.20 Замыкание Ою....................................... 51
2.3.21 Замыкание О/....................................... 51
2.3.22 Замыкание 04....................................... 52
2.3.23 Замыкание О] ...................................... 52
3 Орбиты и инварианты кубических матриц третьего порядка с симметричными слоями
3.1 Введение ................................................ 56
3.2 Основная конструкция..................................... 56
3.3 Основные результаты...................................... 58
3.4 Классификация полу простых элементов .................... 60
3.5 Классификация нилыютентыых элемен тов.................... 63
3.6 Инварианты............................................... 64
3.7 Семейства элементов...................................... 66
3.8 Приложение............................................... 68
о
Введение
В современной теории инвариантов сложилось вполне четкое понимание того, что среди линейных действий редуктивных групп выделяются классы ’’хороших” действий, которые наиболее интересны и для которых решение основных задач теории инвариантов, таких, как классификация орбит, описание образующих и соотношений в алгебре инвариантов, является реальным делом. Остальные действия являются ’’плохими”. Распознавание ’’хороших” и ’’плохих” действий зависит от того, какой критерий мы берем в качестве базы. В качестве критерия могут выступать, например, гомологическая размерность алгебры инвариантов, сложность действия, свобода модуля ковариантов и т. н. [8], [11]. Почти всегда количество ’хороших” действий ограничено. Следовательно, можно надеяться на возможность детального исследования конкретных "хороших" линейных действии. Если удается выделить, при помощи общей конструкции, некий подкласс в классе "хороших" действий то можно попытаться развить общий подход к изучению этого подкласса. При выполнении упомянутых выше возможностей детальное изучение конкретных линейных действий из выделенного подкласса еще более вероятно.
Имеется несколько примеров общих конструкций "хороших” действий. Классическими примерами, детально изученными в работах Костанта [12], [13], являются присоединенное представление и представление изотропии симметрического пространства. Около 25 лет назад Э. Б. Винбергом было найдено обобщение этой конструкции [3], так называемые тета-группы (0-группы). Л именно, было установлено, что присоединенное представление алгебры неподвижных точек автоморфизма конечного порядка полупростой алгебры Ли на любом пространстве собственных векторов этого автоморфизма является ”хорошим" действием, его алгебра инвариантов свободна,
3
имеется сечение Шевалле с конечной группой Вейля, порожденной комплексными отражениями, имеется общая схема классификации замкнутых [3] и нильпотентных ирбиг [9]. Эти результаты применялись в дальнейшем для детального исследования различных конкретных линейных действий (для получения полной классификации орбит, явного описания образующих алгебры инвариантов).
Например, таким способом была получена, в рамках общей теории, классификация 3-векторов 9-мерного пространства [4]. С использованием информации о степенях образующих алгебры инвариантов 3-векторов 9-мерного пространства [3] и комбинаторики раскрасок графов был получен явный вид образующих этой алгебры инвариантов [14]. Напомним, что линейное представление группы БЬ^С) в пространстве 3-векторов 9-мерного пространства можно реализовать как 0-группу, ассоциированную с простой алгеброй Ли типа Е$ и автоморфизмом третьего порядка.
В действительности 0-групн, ассоциированных с особыми алгебрами Ли, не так уж и много и поэтому связанные с ними действия должны быть детально исследованы. Зачастую эти действия имеют интересные приложения в алгебраической геометрии и теории представлений. С точки зрения теории представлений желательно знать какие нилыютентные орбиты лежат в замыкании данной нилыютентной орбиты. Это позволяет выяснять структуру некоторых превратных пучков.
Настоящая работа является продолжением начатой в [4] деятельности по детальному изучению представлений 0-групп, связанных с особыми алгебрами Ли. Здесь рассмотрены 0-группы, ассоциированные с автоморфизмами порядка три простых алгебр Ли типа ^4-
Представление, связанное с простой алгеброй Ли типа £<;, является тензорным произведением тавтологических действий трех унимодул ярных групп трехмерного пространства, т. с. пространство представления есть пространство кубических матриц порядка три. Классификацию орбит в этом случае можно рассматривать как аналог теории жордановой нормальной формы для обычных матриц. Действительно, известно, что любая квадратная матрица общего положения подобна диагональной. В рассматриваемой си-
А
туации аналог диагональных матриц - это картановское подпространство, а группа перестановок заменяется на группу порядка 648, порожденную комплексными отражениями. Также известно, что умножениями справа и слева на различные невырожденные матрицы обычную матрицу можно привести к простейшему виду, где на диагонали стоят единички в числе, равном рангу матрицы, а на остальных местах - нули. Аналогом этого для кубических матриц порядка три является приведение матрицы общего-положения к матрице из картановского подпространства.
Работа состоит из грех разделов.
В первом разделе получена классификация орбит кубических матриц порядка три и описаны свертки, дающие образующие алгебры инвариантов (она свободна).
Во втором разделе получена структура замыканий нильпотентных орбит кубических матриц.
В третьем разделе то же самое, что изучалось в первых двух разделах, сделано для 0-группы, связанной с простой алгеброй Ли типа Классификация орбит для этой 0-группы получена совместно с Д. И. Артамкиным. С помощью полученных результатов изучена связь между изотопными и коммутативно изотопными трехмерными комплексными коммутативными алгебрами (определение изотопии и коммутативной изотопии см. 3.8).
Автор пользуется случаем, чтобы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю Эрнесту Борисовичу Винбергу за постановку задачи, полезные обсуждения и рекомендации.
Результаты работ ы докладывались и обсуждались на семинаре "Теория инвариантов" кафедры Высшей алгебры иод руководством проф. Э. Б. Вин-берга на механико математическом факультете МГУ.
Основные результаты работы опубликованы в (16], [17], (18].
Обозначения и соглашения
Основным нолем всегда считается ноле комплексных чисел С. Все объекты считаются определенными над С.
5
- Київ+380960830922