ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.......................................................4
Глава 1. Асимптотические разложения длинноволнового типа в квантовой задаче двух кулоновских центров .................18
1.1. Асимптотика решений радиального уравнения при с —> 0...........20
1.2. Дискретный спектр радиальной задачи при р —>• 0 ..............29
1.3. Асимптотика фаз рассеяния двумя кулоновскими центрами
при малых межцентровых расстояниях .............................34
1.4. Термы задачи двух кулоновских центров при малых межцентровых расстояниях..................................42
1.5. Слабосвязанные состояния в поле конечного диполя ..............47
1.6. Низкоэнсргетичсскос рассеяние полем конечного диполя ..........60
1.7. Окрестность границы сплошного спектра в случае,
близком к дипольиому............................................67
1.8. Окрестность границы сплошного спектра в случае Z\ = г/-2 ... .77 Глава 2. Асимптотика матричных элементов кулоновской
проблемы трех тел в адиабатическом представлении, связывающих состояния дискретного и непрерывного спектра задачи двух центров .............................. 87
2.1. Асимптотика при больших межъядерных расстояниях................90
2.2. Асимптотика при малых межъядерных расстояниях..................97
Глава 3. Асимптотические задачи квазиклассического типа в
адиабатическом и в адиабатическом гиперсферическом подходах к кулоновской проблеме трех тел....................104
3.1. Предельное движение в задаче двух кулоновских центров
и особенности адиабатических термов............................104
3.2. Равномерная квазиклассическая асимптотика решений угловой задачи вблизи вершины барьера............................111
3.3. Равномерная квазиклассическая асимптотика решений угловой задачи в окрестности Л = Ь ..............................117
3.4. Равномерная квазиклассическая асимптотика решений
2
' радиальной задачи в окрестности вершины барьера ...........119
3.5. Равномерная квазиклассическая асимптотика решений радиальной задачи в окрестности X = а ...................122
3.6. Адиабатический гипсрсфсричсский (АГС) подход в кулоновской проблеме трех тел. Основные уравнения....................129
3.7. Соотношение между адиабатическим и адиабатическим гипер-сферическим подходами к кулоновской проблеме трех тел 133
Глава 4. Гармоническое рассеяние в приближении эйконала 152
4.1. Рассеяние заряженной частицы системой кулоиовских центров
и факторизация эйкональной амплитуды ....................155
4.2. Частные случаи .........................................160
4.3. Большие и малые переданные импульсы ....................166
4.4. Квазиклассическое рассеяние быстрых частиц вблизи сингулярностей классического сечения.....................169
Глава 5. Квазиклассические методы в обратной задаче
рассеяния центральным полем ..........................189
5.1. Обратные задачи классического и квазиклаесического рассеяния, приводящиеся к уравнению Абеля...........................189
5.2. Уравнение Марченко в квазиклассическом пределе .........202
Глава 6. Метод переменной спектральной плотности (ПСП)
в квантовой обратной задаче ..........................226
6.1. 6-рассеяние в отсутствие связанных состояний ...........229
6.2. Обобщение для произвольного / и произвольного числа связанных состояний......................................235
6.3. Примеры численного решения квантовой 03 рассеяния методом ПСП .............................................241
6.4. Метод ПСП для квантовой обратной задачи на конечном промежутке ..............................................254
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................260
ЛИТЕРАТУРА ..................................................264
3
ВВЕДЕНИЕ
Асимптотический подход - он понимается в диссертации в весьма широком смысле - играет в теории атомных столкновений ключевую роль. Примерами служат ее основные приближения - борцовское, ква-зиклассическое, адиабатическое [1-3]. Наряду с тем, что асимптотические методы важны для развития математического аппарата теории и для приближенного решения прикладных задач, в последнее время в связи с резким ростом вычислительных возможностей и расширением круга задач, изучаемых численно, возросла роль асимптотического анализа как составной части многих сложных расчетов. Он необходим в них для корректной постановки задачи и исследования различных областей параметров с целью выбора адекватных вычислительных схем, для контроля вычислений и расчета по аналитическим формулам, где это целесообразно, для интерпретации полученных результатов и оценки точности вычислений.
Рассмотренные в диссертации задачи различны по физической сути и объединены общим - асимптотическим -- подходом, на котором основаны методы их исследования.
Целью диссертационной работы является исследование методами, развитыми на основе асимптотического подхода, следующих групп задач теории атомных столкновений:
1. вопросы, возникающие в адиабатическом и в адиабатическом ги-персферическом подходах к кулоновской проблеме трех тел (асимптотика решений квантовой задачи двух кулоновских центров и неадиабатических матричных элементов в важных для приложений областях, связь адиабатического гиперсферического базиса с адиабатическим главы 1-3):
2. квантовое обобщение классической теории гармонического рассеяния (общая теория и анализ отдельных задач глава 4);
3. обратная задача (03) рассеяния центральным полем в квазиклас-сическом пределе (обобщение класса задач, сводящихся к уравнению
4
Абеля, предельный переход и уравнении Марченко глава 5);
4. метод переменной спектральной плотности (ПСП) для квантовой 03 рассеяния с фиксированным моментом и квантовой 03 на конечном промежутке (теория и тестовые расчеты - глава 6).
Первая и вторая группа относятся к прямым задачам теории столк новений (в которых взаимодействие задано), а третья и четвертая - к обратным (где взаимодействие искомая функция координат).
Полученные результаты разнообразны по характеру применения: часть из них представляет общетеоретический интерес и служит основой новых численных и аналитических методов, другие используются в расчетах конкретных физических систем.
Актуальность темы.
Асимптотические разложения длинноволнового типа в задаче двух кулоновских центров. Адиабатический базис, который часто используется в кулоновской проблеме трех тел (КПТТ), образован решениями задачи двух фиксированных кулоновских центров (система ZxeZ^i) кулоновскими сфероидальными функциями (КСФ)
[9]. Необходимость подробного его изучения обусловлена прежде всего фундаментальностью самой задачи двух центров, допускающей разделение переменных в вытянутых сфероидальных координатах £, т/,
<р. В классической механике она детально изучалась еще Эйлером и Лежандром [4,5], а в теории атомных столкновений и в теории молекул она играет такую же основополагающую роль, как задача об атоме водорода в теории атома. Изучение КСФ имеет, кроме того, большое прикладное значение, поскольку они широко используются как базис ( адиабатическое представление), но которому раскладывается полная волновая функция в расчетах конкретных трехчастичных систем. Задача при этом сводится к бесконечной системе интегро-дифференциальных уравнений для коэффициентов, зависящих от меж-центрового расстояния В [6-10] (сохранение в сумме только одного слагаемого соответствует известному приближению Борна-Оппенгеймсра
5
[6]). Метод адиабатического представления применяется, в частности, в исследованиях связанных состояний трехчастичных мезоатом' ных систем и процессов рассеяния 2 —> 2, важных в связи с проблемой // катализа [10,11]. Вычисления для таких систем сложнее, чем для атомных, поскольку масса третьей частицы мюона не может уже считаться подобно электронной массе пренебрежимо малой по сравнению с массами ядер. Реализация метода требует вычислена как самих КСФ, так и неадиабатических матричных элементов и радиальных функций в широком диапазоне /?. Обеспечить требуемую точность можно только максимально используя в алгоритме аналитические результаты для задачи двух центров, включая асимптотические формулы. Они применяются для привязки численных решений (например, при малых и больших /?.), для исследования тех областей параметров, где требуется изменение алгоритма (граница сплошного спектра), для опенки вкладов различных областей спектра адиабатического гамильтониана в трехчастичную функцию и в энергию (в частности - вклада бесконечного числа дискретных состояний с энергиями вблизи границы сплошного спектра).
Имевшиеся в литературе аналитические результаты весьма полно отражены в монографии [9]; из нее. в частности, видно, что задача двух центров не была достаточно изучена при малых межцентровых расстояниях (/? —> 0) и вблизи границы сплошного спектра (Е —* 0). Эти вопросы исследуются в первой главе диссертации. Основной трудностью здесь является неаналитичность по Я и по Е в указанных областях. На неаналитичность энергии терма Еп(Я) при /?-»() указывает, например, появление логарифмического члена в разложении по малому Я поправки второго порядка теории возмущений дли энергии [9]. В диссертации развита асимптотическая техника, позволившая раскрыть происхождение этой особенности и адекватно ее описать. На. основе этой техники и различных вариантов метода эталонного уравнения получены асимптотические формулы, описывающие поведение КСФ, термов и фаз при Я —> 0 и при \Е\ 0 для различных
6
соотношений между зарядами ГА\ и Z^.
В разделе 1.1 исследуется радиальная задача, п сплошном спектре [Е > 0), когда параметр с — ПуЕ/2 стремится к нулю. Развитый метод позволяет в принципе получить асимптотику с любой точностью и выделить неаналитическую по Я часть, происхождение которой связано с неоднозначностью в общем случае радиальной функции при обходе точки £ = ос. С использованием полученных соотношений в разделе 1.2 исследуется дискретный спектр радиальной задачи при Я —> 0. Асимптотика решений угловой задачи и фаз рассеяния двумя кулоновскими центрами Атд при малых В (т - азимутальное число, г/ число нулей угловой функции) построены в разделе 1.3 [42-44].
Дискретный спектр полной (т.е. трехмерной) задачи исследу-
ется в разделе 1.4, где получено разложение при Я —г 0 знергии терма ЕпЬп(В) с произвольными квантовыми числами [41] (п- главное квантовое число, I = ([ + т - орбитальный момент объединенного атома). Оно состоит - как и разложение для фазы из двух частей: регулярной, содержащей четные степени Я, и нерегулярной, содержащей, начиная со степени 21 + 1, нечетные степени Я и 1пЯ. Регулярная часть получена с учетом членов порядка 0(7^), а нерегулярная с учетом членов 0(Я2/+3) и 0(Я2*+Г) 1пЯ); для состояний с / = 0 вычислены дополнительно члены порядка 0(Я°) и 0(Я61пЯ) [41]. Как для энергий термов, так и для фаз рассеяния анализируется выход на асимптотику результатов численного расчета при малых Я.
Структура разложений энергий и фаз при Я -V 0 исследована в общем случае впервые; асимптотика для терма с произвольными п,/,т была вычислена ранее до 0(Я2) включительно (только первый поправочный член), а для основного состояния -- до 0(ЯГ)) [84]; асимптотика фаз не вычислялась. Развитая в разделах 1.1-1.4 техника и асимптотические формулы использовались впоследствии в работах других авторов. в частности, непосредственно для разработки численных алгоритмов и в аналитических выкладках [198].
В полученные разложения термов и фаз рассеяния при Я —> 0 входит
7
б возрастающей степени параметр я = 2\ + ^)“2. Поэтому они
теряют точность, а затем и смысл, когда ГА\ —> -£2- Физическая причина ясна: в разложении потенциала по мультиполям, главные члены которого определяют спектр при малых /?. второй член (дипольный) начинает превалировать над первым (заряд объединенного атома), и спектр из возмущенного кулоновского превращается в возмущенный дипольный (разделы 1.5, 1.6, 1.7).
В разделе 1.5 получены соотношения, описывающие выход в континуум и экспоненциальное поведение вблизи его границы термов конечного диполя [36]. Сплошной спектр этой задачи - асимптотика фаз рассеяния и особенности рассеяния полем диполя при низких энергиях рассматривается в разделе 1.6 [37-39]. Полученные результаты важны для исследований рассеяния электронов полярными молекулами и включены в книгу [117] и в обзоры [14,199].
В разделе 1.7 исследуются решения задачи г^\е гАч в окрестности границы сплошного спектра в случае, когда параметр н = Z\Z^ï(Z\-\- Zч)~2 велик, ь > 1 [40]. Эти решения представляются как решения для конечного диполя с возмущением. Получены асимптотические формулы для точек выхода, для наклона термов, положения и ширины квази-стациона рных состояний.
В разделе 1.8 изучается спектр системы Z\e,Zч в окрестности нулевой энергии для случая Z^ = Zч > 0 [58,71]. Получены ведущие при Е -> 0 члены разложений фаз рассеяния, энергий и волновых функций связанных состояний. Они выражаются через характеристики волновой функции нулевой энергии - нормировочную константу Лц„(//) и фазу Ф/т(«), а — (2) + 2ч)11, для которых получены асимптотические выражения при малых и больших а.
Асимптотика неадиабатических матричных элементов при малых и больших П необходима для расчетов в адиабатическом представлении как связанных состояний, так и процессов рассеяния 2 -4 ‘2 в системе трех тел с кулоновским взаимодействием. Точность
8
всего расчета существенно зависит от точности вычисления матричных элементов, для которого главным (если не единственным) средством контроля является совпадение с асимптотикой. Малые Я характерны тем. что во многих случаях выражение для матричного элемента в сфероидальных координатах представляется в виде суммы слагаемых, старшие члены которых при /?—>() взаимно сокращаются; для более точного вычисления всей суммы требуется соответствующая аналитическая формула. Асимптотика при больших Я нужна потому, что численный расчет всегда ведется до некоторого конечного Я = Я*, и необходимо во-первых, убедиться в его надежности при Я* > 1 и, во-вторых, аппроксимировать матричные элементы в области Я > Я\
Во второй главе диссертации исследуется асимптотика, при Я —> с» и при Я —> 0 матричных элементов, связывающих состояния дискретного и непрерывного спектров задачи Z\eZч^ Раздел 2.1 посвящен большим Я. [45,47,54,67]. Основная задача, которую приходится здесь решать, - это нахождение асимптотики интегралов, которые оказываются экспоненциально малыми по сравнению с максимумом модуля подынтегральной функции на пути интегрирования [46]. Асимптотика при малых Я исследуется в разделе 2.2 [54,67]. Основной применяемый здесь прием преобразование матричного элемента к виду, допускающему вычисление с использованием функций объединенного атома. Это достигается с помощью подходящих коммутационных соотношений. В обоих случаях Я —> ос и Я, —» 0 исследование асимптотики проводилось в непосредственном взаимодействии с численным расчетом и использовалось для его контроля, приводятся соответствующие таблицы сравнения и указываются области, где происходит выход па асимптотику.
Полученные результаты использовались другими авторами в практических расчетах сечений упругих столкновений и перезарядки в ме-зоатомных системах [12,13] и при выводе приближенных формул для матричных элементов [200]. Метод вычисления интегралов специального вида, развитый при анализе асимптотики при Я 1 [46], вошел
9
в монографию серии "Справочная математическая библиотека” [201] (стр.325-327).
Равномерная асимптотика квазиклассического типа в задаче двух кулоновских центров. Аналитические результаты для задачи Z\cZч важны, в частности, для исследований, в которых можно ограничиться несколькими адиабатическими состояниями, например, в теории медленных атомных столкновений [3,15,133-137]. Особый интерес представляют квазистационарные состояния, а также свойства термов в комплексной плоскости /?, в частности, точки ветвления. определяющие вероятность перехода при медленных столкновениях [15]. Необходимо не только получить для них приближенные аналитические формулы, но и понять их происхождение. Эти вопросы исследуются в третьей главе (разделы 3.1-3.5) на основе квазиклассического подхода [60,61,63-66,68]. Устанавливается связь квази-стационарных состояний и точек ветвления со случаями предельного движения в классической задач«; Z\e.Z<} [143]. Они реализуются, когда точки остановки в радиальном или угловом уравнении сливаются либо друг с другом, либо с границей промежутка £ = 1 или у = ±1 различные возможности рассмотрены в разделах 3.2 - 3.5. При помощи предложенной техники, основанной на методе .эталонного уравнения, построена равномерная асимптотика квазиклассического типа в окрестностях соответствующих особенностей, которая описывает, в частности, бесконечные серии квазиетационарных состояний и точек ветвления термов в комплексной плоскости межцентрового расстояния
д.
Полученные формулы использовались рядом авторов в квазиклас-сических расчетах сечений упругих и неупругих столкновений мезоатомов [202] и в других работах.
Связь адиабатического гиперсферического и адиабатического подходов к кулоновской проблеме трех тел. В последнее время в кулоновской проблеме трех тел (КПТТ) все шире используется
10
адиабатический гиперсферический (ЛГС) подход, впервые примененный Мейсиком для описания автоионизационных состояний гелия [16] и хорошо зарекомендовавший себя в атомных и мезоатомных расчетах (см. [17-20] и имеющиеся там ссылки). Для процессов рассеяния 2 —> 2 в КПТТ, в частности, для процессов с перестройкой, он обладает существенным преимуществом по сравнению с обычным адиабатическим подходом: отдельные члены А Г С-разложения в асимптотической области переходят в волновые функции невзаимодействующих фрагментов с правильными приведенными массами [15]. Существенно также то, что в отличие от обычного адиабатического базиса, состоящего из КСФ дискретного и сплошного спектра, АГС-базис состоит только из состояний дискретного спектра. Несмотря на отмеченные различия, во многих отношениях оба подхода весьма схожи. Важной задачей является вывод строгих формальных соотношений, описывающих связь между ними, поскольку многие результаты, полученные для разложения по КСФ, переносятся на А ГС случай с небольшими изменениями, а сами базисные АГС-функции могут быть выражены в определенном приближении и в определенной области конфигурационного пространства через более простые и хорошо изученные КСФ. Связь АГС-базиса е КСФ исследуется в диссертации (разделы 3.6, 3.7) при помощи асимптотических формул квазиклассического типа [72-74]. В частности, описан переход от чисто дискретного АГС-спектра к смешанному (дискретный 4- сплошной) спектру задачи двух куло-новских центров при стремлении массы третьей частицы к нулю и превращение в этом пределе квазипересечений АГС-термов в точные пересечения термов задачи двух кулоновских центров, обладающей более высокой симметрией. Предложена сфероидальная классификация состояний А ГС-гамильтониана.
Полученные асимптотические результаты являются составной частью расчетов мезоатомных систем в АГС подходе [19,20,148-155]
Гармоническое рассеяние (ГР) в приближении эйконала. В
11
1980 году Ю.Н.Демков [21,22] открыл уникальный и довольно широкий класс задач, которые, с одной стороны, соответствуют реальным физическим условиям для самых разных проблем, а с другой - обладают особенно простыми свойствами. Речь идет о гармоническом рассеянии. Это рассеяние на малые углы быстрых заряженных частиц электростатической и магнитостатической мишенью, когда рассеивающий потенциал гармоничен удовлетворяет уравнению Лапласа. Области, в которых могут быть использованы методы ГР, весьма разнообразны: рассеяние иона молекулой, скользящее рассеяние поверхностью твердого тела, прохождение быстрых частиц через тонкие пленки, рассеяние протонов деформированными ядрами, электронная оптика. В классической механике ГР сводится к конформному отображению плоскости параметра удара на плоскость переданного импульса. Это даст возможность - впервые в теории рассеяния - применить аппарат теории конформных преобразований подобно тому, как он применяется для плоских задач электростатики, гидродинамики и теории упругости.
Из сказанного следует актуальность обобщения теории ГР на квантовый случай. Оно строится в четвертой главе диссертации на основе приближения Глаубера [23] (эйконала) для амплитуды рассеяния, когда она представляется в виде интеграла по плоскости параметра удара. Развиваемые методы позволяют реализовать высказанную Ю.Н.Демковым идею о разделении переменных в эйкональном интеграле в случае гармонического потенциала. В результате оказывается возможным представить ее в виде суммы произведений контурных интегралов в целом ряде важных для приложений случаев.
В разделе 4.1 рассматривается рассеяние заряженной частицы системой кулоновских центров [48,49] и описывается процедура разделения переменных. Она основана на аналитическом продолжении подынтегральной функции в эйкональном интеграле по одной из переменных, надлежащей деформации контура интегрирования и введения понятий комплексного параметра удара b и комплексного переданного
12
импульса р. В результате амплитуда представляется п виде конечной суммы парных прозведений функции от р на функцию от р*. С помощью развитой техники получено представление эйкональной амплитуды через известные специальные функции для ряда важных конкретных задач (раздел 4.2): два кулоновских центра, конечный диполь. точечный диполь, заряд + точечный диполь, потенциал си/г2, магнитный диполь, тороидальный соленоид [48,57]. В разделе 4.3 исследуется переход к большим и малым переданным импульсам и специфика картины рассеяния в этих случаях. В разделе 4.4 детально исследуется гармоническое рассеяние вблизи сингулярностей классического сечения, обусловленных слиянием п стационарных точек фазы в эйко-нальном интеграле (фокальная точка) или уходом их на бесконечность (мультиполь) [50,51]. Для амплитуды рассеяния получено выражение через аналоги функций Бесселя и Эйри, удовлетворяющие уравнению порядка п. исследованы их основные свойства. Получены разложения амплитуды вблизи сингулярности и вдали от нее.
Квазиклассические методы в обратной задаче (03) рассеяния центральным полем. Для 03 рассеяния центральным нолем в диссертации (глава 5) исследуются два. вопроса, сформулированные в литературе ранее. Они важны для обобщения известных методов решения и для углубления понимания классической, квазиклассической и квантовой обратных задач и их взаимосвязи. Первый это вопрос о восстановлении потенциала по данным рассеяния, заданным на некоторой кривой в плоскости энергия Е - угловой момент L. Он возникает в связи с тем, что информация о рассеянии, заданная в виде функции двух переменных Е, L (фаза рассеяния Sf(E) в квантовой задаче или угол рассеяния \(Е.Ь) - в классической), является избыточной: искомый сферически-симметричный потенциал V(r) это функция только одной переменной г , и для нахождения V(r) данные рассеяния необходимо знать в плоскости (£, L) лишь на некоторой кривой. В диссертации (раздел 5.1 [52]) получен общий вид кривых, для ко-
13
торых классическая и квазиклассическая 03 сводятся к уравнению Абеля - это двупараметрическое семейство парабол. Показано, что решение квазиклассической обратной задачи рассеяния есть комбинация решений двух независимых классических задач с различными исходными данными - углом рассеяния и временем задержки, изучен переход к известным алгоритмам при частных значениях параметров. Рассмотрены кривые, для которых 03 решается в несколько этапов поочередным применением преобразования Абеля и формул прямой задачи, Описаны случаи, когда результат может быть представлен в виде явной функции V (г) или r(V). Рассмотрены примеры.
Квантовая 03 на указанном семействе парабол была исследованяна в работе Захарьева и Рудяка [27].
Второй вопрос, на актуальность исследования которого указывается, например, в монографии Шадана и Сабатье [28], - это квазиклассически й предельный переход в методе Гольфанда-Левитана-Марченко [28-33] основном точном методе решения квантовой 03. Изучение перехода к квазиклассике, где физическая интерпретация наиболее наглядна, могло бы пролить свет и на физическое содержание точного метода, которое до конца еще не выяснено [34]. Анализ конкретных моделей (см., например. [184]) не вносит ясности в этот вопрос, так как для них предельный переход осуществляется фактически в окончательных формулах, относящихся только к данной модели.
В диссертации переход к квазиклассике изучен в уравнении Марченко для s-волны (раздел 5.2 [55,56]). Построена асимптотика при h -> 0 ядра оператора преобразования решения свободного уравнения Шредингера в решение уравнения с потенциалом, ядра обратного оператора и фурье-образа 5-матрицы. Показано, что в результате предельного перехода получается известное соотношение, связывающее квазиклассическую фазу рассеяния с потенциалом, но в специальном представлении - в пространстве функций, преобразованных по Лежандру. Потенциал находится далее последовательным применением преобразовании Лежандра и Абеля. При этом второй этап решения
14
03 - восстановление потенциала по найденному ядру в кваликласси-ческом случае выглядит существенно иначе, чем в точном методе: в квазиклассческом пределе асимптотика ядра оператора преобразования строится вдали от диагонали, тогда как в квантовом алгоритме именно эта область является наиболее важной, поскольку потенциал восстанавливается по производной ядра на диагонали. 15 качестве примера подробно рассматривается ^-рассеяние на экспоненциальном потенциале отталкивания.
Метод переменной спектральной плотности (ПСП) в квантовой обратной задаче развивается в шестой главе диссертации [59, 62,69,70]. Он основан на исследовании спектральной плотности задачи на промежутке с переменной левой границей г. Показано, что эта величина - переменная спектральная плотность (ПСП) - рассматриваемая как бесконечный набор функций от /\ пронумерованный спектральным параметром (энергия) как индексом (дискретным или непрерывным), удовлетворяет системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по г, в которой дискретному спектру соответствует обычное суммирование, а непрерывному - интегрирование. Система нелинейна. Данные рассеяния, т.о. спектральная плотность при г — 0, служат для нее начальными условиями, а нахождение спектральной плотности при г > 0 сводится к решению задачи Коши. После этого потенциал в точке г определяется уже известными методами.
Разработка метода ПСП представляет интерес с одной стороны потому, что для довольно широкого круга задач он удобен при численной реализации. Дело в том, что в нем искомые величины (в простейшем случае амплитуда решения Поста уравнения Шредингера) являются, как правило, плавными функциями координат и энергии. Это дает вычислительные преимущества, аналогичные возникающим в прямой задаче, когда с целью повышения эффективности вычислительных алгоритмов от линейного уравнения Шредингера для волновой функции
переходят к нелинейному уравнению для ее амплитуды [35].
С другой стороны, предложенная схема интересна чисто теоретически, так как речь идет о новом точном методе решения квантовой обратной задачи, не имеющем близких аналогов.
Развитый метод не предполагает малости какого-либо параметра. Использование асимптотического подхода при его разработке окалывается тем не менее существенным: для точной задачи он строится как обобщение разработанного в случае, когда применима теория возмущений, и все уравнения в нервом порядке линейны. Кроме того, линеаризованные уравнения дают возможность относительно просто исследовать принципиальные моменты.
Метод ПСП развит в диссертации для двух обратных задач: 1) обратной задачи рассеяния центральным полем при фиксированном угловом моменте I и 2) обратной задачи Штурма-Лиувилля на конечном промежутке. Рассмотренные примеры численной реализации показывают, что для обеих задач предложенный подход дает весьма хорошие результаты даже при использовании самых простых вычислительных схем.
Для простейшего случая - 6-рассеяния в отсутствие связанных состояний метод излагается в разделе 6.1 [59,62], где выведено основное интегро-дифференциальное уравнение для спектральной плотности (т.е. в данном случае для модуля функции Поста |К(£, г)|). Случай рассеяния с произвольным моментом при произвольным числе связанных состояний рассмотрен в разделе 6.2 [70]. Здесь получена нелинейная система уравнений для спектральной плотности - т.е. модуля функции йоста |/г(2£, г)| и набора уровней энергии Еп(г) и нормировочных констант Сп(г) связанных состояний. Примеры численног о решения квантовой обратной задачи рассеяния предложенным методом при значениях момента / = 0,1 для потенциалов с различным числом связанных состояний приведены в разделе 6.3.
В разделе 6.4 метод ПСП распространен на задачу восстановления потенциала по дискретному спектру (набору собственных энергий и
16
нормировочных констант) задачи Штурма-Лиувилля на конечном промежутке [69]. Приведены примеры численной реализации предложенного метода.
Публикации
Основное содержание диссертации опубликовано в работах [36]-[74].
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедр квантовой механики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского университета, в Физико-Техническом Институте имени А.Ф.Иоффс, Объединенном Институте Ядсрных Исследований, Российском Научном Центре "Курчатовский институт’“, Институте Физики Высоких Энергий, Университете Фрибурга (Швейцария), Окриджской Национальной Лаборатории (США), на Международной (Белі рад, 1973) и на Всесоюзных конференциях по физике электронных и атомных столкновений: Тбилиси (1975), Петрозаводск (1978), Ленинград (1981), Рига (1984), Ужгород (1988), на семинаре ’Теория атомов и атомных спектров" Тбилиси (1988), на 14-ой Международной конференции Few Body Problems in Physics, Вильямсбург (1994). Никл работ ” Гармоническое рассеяние”, частью которого являются результаты четвертой главы диссертации, в 1995 году был удостоен премии имени В.А.Фока Российской Академии Наук (совместно с Ю.Н.Демковым).
17
Глава 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛИННОВОЛНОВОГО ТИПА В КВАНТОВОЙ ЗАДАЧЕ ДВУХ КУЛОНОВСКИХ ЦЕНТРОВ
Основные уравнения задачи двух кулоновских центров
Движение частицы с зарядом -1 в поле двух кулоновских центров с зарядами и расположенными на расстоянии II друг от друга, описывается уравнением Шредингорн с гамильтонианом
я=-!-§-§, ил)
где /д и г2 ~ расстояния частицы от центров 1 и 2; используется система единиц, в которой равны единице масса частицы и постоянная Планка Ь . Задача допускает разделение переменных в вытянутых сфе-р о и дал ь н ых коо р д и натах
£ = (п + Г2)/К, 1 < (, < оо,
,/ = (п - г2)//?, -1<Т1<1,
<р, 0 < 9 < 2тт. (1.2)
Ось ,гз направлена от левого центра 1 к правому центру 2. <р - угол поворота относительно этой оси.
Разделение переменных возможно благодаря высокой внутренней симметрии кулоновского поля, которая приводит к наличию в задаче двух центров дополнительного интеграла движения А, коммутирующего как с гамильтонианом, так и с третьей проекцией момента /,3 = —(д/с)<р. Оператор А, собственными значениями которого являются значения константы разделения, имеет вид [75], [9]
А = Ь2 4- {гх/п ~ г2/г2)Ихъ+ (р! - 2Н)П2/4. (1.3)
где координата х% и квадрат углового момента Ь2 определены относительно точки, делящей о трезок, соединяющий центры, пополам; р$ проекция импульса на ось
18
Собственная функция трех коммутирующих наблюдаемых - Н. А, L* представляется в виде произведения
где т = 0,1,2.... - абсолютная величина собственного значения Ь$.
Радиальная функция П(£) и угловая функция Щг}) удовлетворяют системе уравнений, получающихся после подстановки (1.4) в стационарное уравнение Шредингера
где Л - константа разделения, а параметры а, b, с даются соотношениями
a = R(Zx + Z,). h = Il(Zi-Zl), c = R(El2)^, (1.7)
Е - энергия системы. В дальнейшем используются также обозначения
Граничные условия для решений системы (1.5), (1.6), вытекающие из физических требований, сводятся к требованию конечности радиальной и угловой функций на концах соответствующих промежутков. Эти функции принято называть кулоновскими сфероидальными функциями [9].
Параметр с — R(E/2)1 /2, по которому строится асимптотика, будем считать изменяющимся в комплексной плоскости, причем положительной энергии соответствует arge — 0, а отрицательной arge = 7г/2.
Для описания асимптотических свойств задачи Z\cZ% при малых межцентровых расстояниях R. исследованных далее, необходимо построить асимптотические разложения решений уравнений (1.5), (1.6)
Ф(г) = П(4)Е(»/)ехр(±»ту)(27г) 1/2,
(1.4)
7 - а/2с = (Zi + Z2)(2E)-'I\
6 = b/2c = (Zi - Zi)(2E)~l/‘2
(1.8)
19
в области параметров с —» 0,7 = 0(1), S =0(1). Поведение волновых функций при этом можно качественно оценить непосредственно иэ вида уравнений. Угловая задача, имеющая только дискретный спектр, значительно проще для изучения, чем радиальная. Угловая переменная rj стремится к cos 0 (0 - угол, отсчитанный от оси, соединяющей центры), угловое уравнение (1.5) переходит в присоединенное уравнение Лежандра на всем промежутке [-1,1], а угловая функция переходит в присоединенный полином Лежандра P/n(cosO).
Радиальное уравнение в указанном пределе переходит в присоединенное уравнение Лежандра только на конечном интервале, £ = 0(1), тогда как при больших £ оно совпадает с кулоновским радиальным уравнением от переменной с£ в поле объединенного заряда Z — Z\ +Z4. Радиальная функция поэтому при больших £ совпадает с кулоновской функцией, а в области конечных £ о присоединенной функцией Лежандра.
1.1. Асимптотика решений радиального уравнения при с —> О
Асимптотика решений радиального уравнения строится [41] с использованием разложений но специальным функциям (присоединенные функции Лежандра при конечных £ и конфлюэнтные гипергеометри-ческие функции при больших £), аналогичных примененным в работе [76] для вычислений функций непрерывного спектра. Их главные особенности - бесконечность разложений в обе стороны (суммирование по п идет от —ос до -рос) и правильный учет в каждом члене разложения характера ветвления радиальной функции при обходе иррегулярной особой точки £ = ос (он вполне аналогичен случаю сфероидальных функций [9]).
В области коночных £ = 0(1) решение IIi(£), удовлетворяющее граничному условию при £ = 1, построим в виде разложения по присоединенным функциям Лежандра первого рода [77] с выделенной экспонентой
оо
п.(0 = е"* Е 4WC+J0- (1-1-1)
71——ОО 20
Подставив его в уравнение (1.5), воспользовавшись рекуррентными соотношениями для функций Лежандра [77] и приравняв нулю коэффициент при Р£+п(£), получаем систему трехчленных рекуррентных соотношений для коэффициентов ёп(р)
Решение П1 (<^) зависит от четырех независимых параметров А, 7, с, т. В разложении (1.1.1) через V обозначен зависящий от них показатель характеристической экспоненты, определяющий, как и в теории сфероидальных функций [9], характер ветвления решений уравнения (1.5) при обходе иррегулярной особой точки £ = ос (см. далее (1.1.15)). В дальнейшем удобно считать и независимым параметром, представляя как функцию от //, 7, с, т.
Асимптотика ПД^) при с —» оо в области конечных £ строится при помощи разложения (1.1.1) с учетом того, что она переходит в главном порядке в присоединенную функцию Лежандра Р"‘ (£), а А стремится к +1) при с -» оо . Для А^ и Л„(и) при этом получаем разложения
ап(и) = С1”1{[4(^)]о + е2К(ИЬ + Л<1п{и)\А + 0(с6)}. (1.1.5)
Коэффициенты [А]; и [с1п(и)\) вычисляются после подстановки (1.1.4), (1.1.5) в систему рекуррентных соотношений (1.1.2) и приравнивания нулю множителей при одинаковых степенях с. Для [А]г и [А]4 имеем
(1.1.3)
(1.1.2)
[41]
А«) = „(„ + 1) + с2[ А]2 + с4[А]4 + 0(сл), (1.1.4)
(1.1.6)
21
[А|4 =
2(//2 - т2)(72 + //2) / (і/2 - т2)(72 + //2)
і/2(4і/2 — 1) \ //(4//2 — 1)
[(// + І)2 - т2][72 + (и + І)2] [(// - І)2 - гт?/2][72 + (// - І)2]
+
> +
(1.1.7)
(// + 1)(2и + 1)(2і/ + 3) (2и - 1)2(2і/ - 3)
+(// -» -/у - 1),
где скобка (// —> — і/ — 1) обозначает выражение, отличающееся от написанного заменой // —> —і/—1. Старший коэффициент в разложении с/„ (/^) при п > 0 дается выражением
№И]о =
ехр(—7гш/2)Г(// — гп + 1 + п)Г(—17 +// + 14- п)Г(// + 1/2)Г(2// + 2) п!Г(х/ — т + 1)Г(—*7 + // + 1)Г(// + 1/2 + п)Г(2// + 2 + /г)
(1.1.8)
а при отрицательных п он легко вычисляется с помощью свойства симметрии
<*-»М «</»(-*/- 1). (1.1.9)
Отметим, что как функция Пі(4), так и константа разделения А'^(//) (1.1.4), (1.1.6), (1.1.7) инвариантны относительно замены и —> —// — 1.
В области больших £ = (){с~1) сделаем замену переменной и функции
с(£ + 1) = X,
/г _ 1 \ „
що = (|^) щ*).
после которой уравнение для П(£) приобретает вид
Т{х)Щх) + сО(х)ІЇ(х) =0,
(1.1.10)
(1.1.11)
Г(х) = ~-*2-у- + X2 + 27ж - К" + !) (7.г ах
<?(*) =
27-
А - //(// + 1)
х — 2//(// + 1)|.
(1.1.12)
Дифференциальный оператор Т(х) совпадает с радиальным оператором Шредингера в кулоновском поле объединенного заряда 7\ + 7-і,
•22
а двумя линейно независимыми решениями уравнения ТЯ(х) = 0 (при V, не равном полуцслому числу) ЯВЛЯЮТСЯ функции Яи(х) И где
Ф(а,с,г) вырожденная гипергеометрическая функция [77].
Построим два линейно независимых решения П00(г/)^) и Поо(—V — 1,0 радиального уравнения (1.9), которые переходят при С —» О В функции Я„(х) II /£_*,_](.г) соответственно. Решение Поо(^А^) строится в виде
а решение П00(-// — 1,0 получается из (1.1.14) заменой и —> —и — 1.
Видно, что решение Поо(//,0 ( П00(—V — 1,0) представляется в виде произведения (соответственно £“*/“1) на функцию, однозначную в окрестности £ = ос, и при обходе этой точки умножается на посто-
Для функций Я.и+п(х), но которым ведется разложение (1.1.14), справедливы рекуррентные соотношения
/?„(ж) = ;г*/е|хФ(-г7,2// 4- 2, -2/х),
(1.1.13)
янный множитель - характеристическую экспоненту ( соответственно на е”2^^1)):
= е2™Пс(/л£). |£| > 1 , (1.1.15)
іи-і/ - 1,^0 = п0О(-// - 1,0, ІСІ > 1.
7
■^1/+гг(*г)Ч“
(и + п)(и + п +1) X
[и 4- п 4- I)2 + 72
П„+п+і(х) = О (1.1.16)
(и + и Д- 1)2(2і/ 4" 2п 4" 1)(2/./ 4- 2п 4" 3)
и выражение для производной
23
, ^Р+п(*р) —
і/ 4* п 7
X* /V + п + 1 (і/ + п + І)2 + 72
(^ + п+1)2(21/ + 2п + 3)/?‘/+"+1^)' С1'1'17)
Эти соотношения (вывод опускаем) следуют из интегральных представлений для вырожденных гипергеометрических функций.
Подстановка разложения (1.1.14) в радиальное уравнение (1.5) с; использований соотношений (1.1.16), (1.1.17) приводит к рекуррентной системе уравнений для коэффициентов кп(и)
[{и -I- п)2 4- 72](х/ + п + га) А - (у 4- п)(и 4- п 4- 1)
17 Г~^ 7Г7^--------------Г“^ ГТТ + Т1
(і/ + п)(2і/ + 2п- 1)(2і/ + 2п + 1) 2с
К+і[у + п + 1)(» -г п - т + 1) = 0. (1.1.18)
Ее можно решать асимптотически, так же, как систему (1.1.2) для (іп(іу)і и построить Нп(и) в виде разложения
К('А = с|п|{[Л„(«/)]о + (?[н „(г/)]2 + с4 [/}„(//)],! + 0(с6)}. (1.1.19)
Используемые нами разложения (1.1.1) и (1.1.14) обладают, однако, уникальным свойством, позволяющим, в частности, упростить все вычисления. Оказывается, системы рекуррентных соотношений для с\п{р) (1.1.2) и для Нп(и) (1.1.18) связаны простым преобразованием подобия, так что можно выразить через ф,(г/) точно:
где р - параметр, не зависящий от п, который определяется нормировкой радиальной функции. Мы выберем
= Г(2і/ + 2)Т>-т + 1)
Г (І7 + і/ + 1 )Г(і/ + т + 1) ’
что соответствует выбору нормировки Пос(//,() согласно условию
/1оН = 1. (1.1.22)
24
Сшивка решений в промежуточной области. Решение П](£) (1.1.1), удовлетворяющее граничному условию при £ = 1, переходит при больших £ в линейную комбинацию решений П00(^,^) и ПоЛ-!/ — 1,5)» которую, в силу инвариантности ПДО относительно замены I/ —> —£/ — 1, можно представить в виде
11,(0 = аИПооЫ) +д{-у - -1,0, (1-1.23)
где коэффициент д{и) находится из условий сшивки в промежуточной области.
Техника сшивки следующая. В промежуточной области используем замену переменной
<*1/25 = /У- У -0(1), (1.1.24)
пероразложим все решения по степеням с1/2 с коэффициентами, зависящими от у, и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях с1/2. Так, в старшем порядке для 111(5) (1.1.1) получаем (пользуясь асимптотикой функций Лежандра [77]):
+0<с'/!|1' (ы-25)
тогда как Пх(/л5) (1-1.14) с учетом нормировки (1.1.22) принимает
вид
= с"/у[ 1 +0(с‘/2)]. (1.1.26)
Из (1.1.23), (1.1.25), (1.1.26) получаем у (и) в старшем порядке
|Ы-271
Вычисление следующих членов разложения связано с громоздкими выкладками. Приведем выражение для используемого в дальнейшем отношения у(—V - 1 )/#(/') с точностью до 0(с4):
д(-и - 1) /с\2г/И Г(-// - 1/2)Г(|/ - ш + 1)
#(^) \2/ Г(1/+ 1/2)Г ('-// —т)
25
х
- Київ+380960830922