Диофантовы приближения в логарифмических пространствах

2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
Актуальность работы. 4
Цель работы, главные результаты. 14
Методы исследования. 16
Научная новизна. 17
Практическая и теоретическая ценность. 19
Структура и содержание основной части. 19
ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ 24
1. Некоторые сведения из линейной алгебры. 24
2. Выпуклые тела. 32
3. Решетки. 38
4. Аддитивные алгебраические решетки. 47
5. Лемма Зигеля. 54
6. Логарифмические алгебраические решетки. 63
7. Алгебраические числа малой логарифмической высоты. 70
8. Последовательные минимумы логарифмических высот. 82
9. Мультипликативные соотношения. 91
10. Формулировка основной теоремы. 97
11. Неравенство Лиувилля. 100
12. Индуктивное предположение. 105
13. Обобщенные биномиальные многочлены. 109
14. Общий вид вспомогательных функций. 117
15. Описание набора мульти-показателей. 123
16. Схема арифметико-аналитического продолжения. 129
17. Выбор параметров. 132
18. Построение исходной вспомогательной функции. 145
19. Интерполяционная формула. 152
20. Экстраполяция нулей. 157
3
21. Деление аргумента. 165
22. Оценка кратностей нулей. 172
23. Доказательство основной теоремы. 182
24. Доказательство теоремы 10.2. 191
25. Доказательство следствия 10.3. 200
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 203
ОБОЗНАЧЕНИЯ 204
ФОРМУЛЬНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ 205
СПИСОК ОСНОВНЫХ ТЕРМИНОВ 209
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 212
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВННЫХ ИСТОЧНИКОВ 215
4
ВВЕДЕНИЕ АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ
Классический результат Эрмита [40] (1873) и Линдемана [45] (1882) о трансцендентности числа а для алгебраического ' р * 0 можно после логарифмирования записать в виде А = 1па-/?*0 (при алгебраическом а* 0, \па*0). В 1900 году Гильберт [6] сформулировал 23 математических проблемы, решение которых, по его мнению, могло бы существенно продвинуть развитие математики. Среди них под номером «7» была задача о трансцендентности числа а2 = а? для алгебраических щ, Р (кроме тривиальных случаев а, є {0,1} или /?є<0>). Логарифмирование снова приводит к выражению вида Л = р 1пах - 1па2 * 0 (в случае алгебраических аьа2>Р).
Обычно при решении подобных задач небольшая модификация доказательств позволяет получать не только, что Л*0, но и выводить нижнюю оценку для | А | в терминах различных характеристик участвующих чисел а,, а2,р, что составляет типичную проблему теории диофантовых приближений.
Естественным обобщением результата Эрмита-Линдемана и седьмой проблемы Гильберта является исследование выражений
А = Д> + Р\ 1п«1 +■•*+А,пап. (0.1)
с алгебраическими Д0,..., рп,ах,...,ап (а^* 0, 1п<2;*0, ,7 = 1п). Далее для
краткости мы будем называть приведенное выше выражение линейной формой от логарифмов (алгебраических чисел).
Последующее развитие теории чисел показало, что эта задача имеет не только самостоятельный теоретический интерес, но и позволяет решать ряд других проблем. Причем осознано это было до появления необходимых оце-
нок линейных форм от многих логарифмов. Так, монография Гельфонда [5] 1952 года по этой тематике завершается словами:
«Нетривиальные нижние границы линейных форм с целыми коэффициентами от любого числа логарифмов алгебраических чисел, эффективно полученные методами теории трансцендентных чисел, будут иметь чрезвычайно большое значение в решении очень трудных проблем современной теории чисел. Поэтому можно считать, что уже говорилось выше, наиболее актуальной задачей в теории трансцендентных чисел исследование меры трансцендентности конечных совокупностей логарифмов алгебраических чисел».
Обзор приложений оценок линейных форм от логарифмов можно найти, например, в более поздней монографии Фельдмана [3], когда были получены приемлемые оценки линейных форм и их приложения. Вопросы приложений выходят за рамки диссертации и в ее основной части не затрагиваются. Здесь же отметим, что большинство приложений использует оценки линейных форм от двух логарифмов, т.е. лежат в рамках решения седьмой проблемы Гильберта. Типичными случаями, когда нужны линейные формы от многих логарифмов, являются вопросы оценки простых делителей различных алгебраических выражений (здесь будет а; — р3 - ^'-е простое число) и задачи, где
встречаются нормы в алгебраических полях (здесь числа а3 являются основными единицами поля).
Линейная форма А вида (0.1) представляет собой общий случай. Если в нем Дз = 0, то будем называть такую линейную форму однородной. Так, теорема Эрмита-Линдемана соответствует неоднородной форме с п = 1, а седьмая проблема Гильберта - однородной с п = 2.
Развитие методов использования оценок линейных форм от логарифмов показало, что имеет смысл выделять еще один случай, когда /?0,.€Z, который мы будем называть рациональным. Будем писать в этом случае р. = 6?, 1 = 0,...,п. Хотя методы исследования рационального и общего случаев в целом сходны, но мы будем исследовать в диссертации только
однородные рациональные линейные формы.
Линейная форма в этом случае принимает вид
А = 1п + --- + &л1пап. (0.2)
Отметим, что основные приложения оценок линейных форм от логарифмов относятся именно к однородному рациональному случаю.
На протяжении трех десятков лет со времени формулирования седьмая проблема Гильберта не поддавалась решению, пока наконец в 1934 году независимо и почти одновременно А.О. Гельфонд [37] и Т. Шнайдер [58] опубликовали ее доказательства.
Существенной чертой доказательств в теории трансцендентных чисел является использование так называемой вспомогательной функции. Так, в доказательстве теоремы Эрм ита-Лин демана вспомогательной функцией является квазимногочлен вида
в котором при предположении о малости Л = \па - /? можно производить за-
Для решения седьмой проблемы Гильберта Гельфондом была предложена вспомогательная функция вида
где в предположении о малости А = /3\па] -\па2 можно производить замену
тельство состоит в том, что при дифференцировании функции д(г) неприятный множитель 1пог, выносится за скобки.
Идея доказательства Гельфонда состояла в том, чтобы, построив ненулевую вспомогательную функцию с каким-либо количеством нулей, доказать
мену -» а с небольшим остаточным членом.
а\ -> ог2 и получать выражения вида
Удачное обстоя-
7
интерполяционными средствами ее малость в некоторой области. В предположении о малости линейной формы от логарифмов соответствующие алгебраические значения функции /(2) в целых точках оказываются слишком малыми, т.е. равными нулю. При удачном подборе параметров можно было увеличить количество нулей до такой степени, чтобы это вступило в противоречие с их максимально возможным числом. Эту схему Гельфонд назвал арифметико-аналитическим продолжением.
На протяжении последующих тридцати лет после решения седьмой проблемы Гильберта все попытки обобщить эти соображения на большее число логарифмов не увенчивались успехом. Все же отметим работу Гельфонда [38] 1948 года. В ней было доказано, что для любого е > 0 неравенство
[ ^ 1по:, + • • • + Ьи 1пагп |< е~еВ
имеет лишь конечное число решений Ь|,...,6П ей, В = шах||. Здесь предполагается, что ненулевые алгебраические числа ' а,,...,сгп мультипликативно независимы. Хотя вышеприведенное неравенство и относится к случаю многих логарифмов, но оценка неэффективна, поскольку метод не позволял выводить неравенство для конкретных значений коэффициентов формы.
Из работ этого же периода следует выделить статьи Н.И. Фельдмана [30, 31], где было предложено заметное усовершенствование в конструкции функции /(2) в схеме Эрмита-Линдемана. Идея состояла в том, чтобы вместо
обычных степенных многочленов гк использовать биномиальные многочлены, обладающие замечательными арифметическими свойствами (подробности см. в разделе 13).
Наконец, в 1966 году английский математик А. Бейкер опубликовал статью [15], в которой было предложено решающее усовершенствование метода Гельфонда, позволявшее работать с произвольным числом логарифмов. В последующих работах [16, 17] он существенно усилил метод. Более того, метод был эффективным, немедленно давшим приложения к сложным зада-
чам теории чисел. За эти результаты и их приложения Бейкеру была присуждена Филдсовская медаль, а метод стал называться методом Бейкера.
Бейкер предложил в качестве вспомогательной функции взять конструкцию вида (на примере линейной формы (0.2)):
Вместо производных следовало рассматривать набор ее частных производных до какого-либо порядка. Это позволяет выносить за скобки логарифмы чисел, чего не удавалось сделать до Бейкера. Отождествление zl =... = zn_} =z и замена а*'г •• • a*T\Z —>а1?* *• ■ c^z с небольшим поправочным членом (в предположении о малости линейной формы) позволяли пользоваться техникой арифметико-аналитического продолжения. Позднее Фельдман предложил модификацию вспомогательной функции, не требующую многих переменных.
С тех пор метод Бейкера постоянно развивается, над этой темой, кроме самого Бейкера, работали и продолжают работать многие математики:
Н.И. Фельдман, В.Г. Спринджук, D. Masser, М. Mignotte, A. van der Poorten, P. Philippon, T. Shorey, H. Stark, R. Tijdeman, M. Waldschmidt, G. Wüstholz, и другие. Работам этой тематики выделена постоянная рубрика журнала Mathematical Reviews (11J86 - Linear forms in logarithms; Baker's method).
Все эти работы имели целью прояснить и улучшить зависимость оценки линейной формы от какого-либо параметра. Основными параметрами, кроме числа логарифмов п, являются:
- степень D = [K: Q] алгебраического поля К, содержащего все участвующие числа ctj, ßj ;
- оценка коэффициентов линейной формы (мы изучаем форму (0.2))
В ^ max{| |: 1 <j<n}; • •• (0.3)
- характеристики чисел а, в качестве которых в последнее время берутся их абсолютные логарифмические высоты h(а;) и модули выбранных значений логарифмов | Ina, |, объединяющий их параметр обычно берется в виде
Впрочем, возможен и даже в ряде случаев полезен раздельный учет Ь(а^ и |1па^|. В ранних же публикациях (до работы [66] 1980 года) предполагался выбор главного значения логарифма, а в качестве А, бралась оценка (>4) обычной высоты алгебраического числа а]9 т.е. максимум модуля коэффициентов определяющего его минимального многочлена над Z, что несколько грубее.
Укажем основные этапы этой деятельности. Прежде всего, сразу вслед за первыми работами Бейкера Фельдманом было замечено [32, 33], что метод Бейкера допускает рассмотрение вспомогательной функции, в которой в дополнение к показательным компонентам имеется еще и полиномиальная часть (как в конструкции Эрмита, чего не удавалось в методе Гельфонда), а использование при этом биномиальных многочленов позволяет добиться степенной зависимости оценки линейной формы от параметра В:
с величинами С0,с>0, эффективно зависящими от остальных указанных параметров. Под эффективностью мы понимаем возможность при желании вычислить с помощью рассуждений, приводимых в доказательстве, явное значение этих выражений. Форма зависимости оценки от В является точной, дальнейшие усиления возможны только за счет улучшения констант С0,с.
Важное техническое усовершенствование было предложено в работе Бейкера и Старка [19], в которой была привлечена теория Куммсра и исполь-
(0.4)
ілі>с0ггс,
(0.5)
10
зован так называемый принцип деления аргумента (подробнее см. раздел 21 основной части диссертации).
Вывод явной зависимости оценок от параметров Л} (обычных высот),
притом близкой к оптимальной, был также получен Бейкером в работе [17]. Это удалось за счет удачного выбора показателей во вспомогательной функции, для которых были заданы индивидуальные границы. Важной частью рассуждений, позволивших улучшить зависимость оценок от параметров А
было применение некоторого нового усовершенствованного набора многочленов вместо биномиальных,
В работе Бейкера [ 18] зависимость показателя с от параметров А3, за
счет использования соображения А. ван дер Портена [55] приобрела вид (0.5) (при технических нижних границах на параметры) с константами вида:
с = с,Л, ■■■Ап \п(А, ■ ■ • Л,.,), с, = (16пО)Шп,
В этой же работе была предложена не просто эффективная, а явная оценка, в которой не оставалось невычисленных значений параметров. Это открыло возможность получать приложения линейных форм от логарифмов для полного решения ряда теоретико-числовых задач.
В 1980 года Вальдшмидтом [66] была опубликована явная оценка, где константа с} приобрела вид
с,=с2В21п(сВ), С2=п2пес'п.
Зависимость показателя с от степени поля О с тех пор не менялась. Начиная именно с этой работы, все стали предпочитать определять параметры
через абсолютную логарифмическую высоту чисел а3.
Отметим, что с тех пор практически все работы по линейным формам от логарифмов стали содержать только явные оценки с постоянно улучшаемыми
II
константами. В работах [47, 23, 46, 66, 20] можно найти последовательные этапы улучшения явных оценок для произвольного числа логарифмов.
До последнег о времени множитель п2п в оценке показателя оставался неизменным. Но все же имелся важный частный случай, когда главный член оценки, зависящий от п, имел вид пп. Это случай так называемой сильной независимости чисел а]9...,ап. Еще один множитель пп появляется в оценке для общего случая. Под сильной независимостью чисел а,,...,агп (или условием Куммера) мы будем понимать равенство
В 1986 году на конференции в Дархэме были представлены доклады Вальдшмидта-Филиппона [54] и Вюстхольца [68, 69], в которых излагался метод устранения из показателя с в оценке (0.5) множителя 1п(Л| ••• Д,_,). Зависимость оценки линейной формы от параметров А; стала оптимальной.
Указанные выше параметры являются основными. В большинстве приложений их учет необходим. Вместе с тем, в ряде работ изучалась зависимость от некоторых дополнительных параметров, учет которых позволяет усиливать оценки линейных форм в важных частных случаях.
В работе Шорея [60] была изучена ситуация, когда значения 11п |
существенно меньше, чем ПИ {а ^ для всех j = \9...9n. Это может быть описано параметром
Е= тах{ОЪ(а3)/\]па3 |: э = \,...уп}.
С ростом Е оценка линейной формы от логарифмов получается значительно лучше. В ряде дальнейших работ (например, [66]) этот параметр также отслеживался. Это же было сделано и автором в работе [Мб]. Самое же главное, в этой работе автора была придумана конструкция, позволяющая создать искусственно ситуацию, аналогичную малости логарифмов алгебраи-
12
ческих чисел и тем самым улучшить оценку линейной формы вплоть до удаления одного множителя пп.
Еще одно наблюдение было сделано автором и указано в тезисах [М9]. Оно не требует дополнительных рассуждений и относится к случаю сильной независимости чисел а]у...,ап. Здесь вместо формулы (0.3) можно положить
тах{1, тах{А, |6;-|/А,: 1<.7<п}} (0.6)
Если считать \ максимальным, то это дает усиление оценки, играющее важную роль в некоторых приложениях к решению диофантовых уравнений. В ряде работ (например, в [67]) рассматриваются аналоги этого параметра. Оценка, учитывающая подобную формулу для В в случае условия Куммера, была опубликована автором в работе [Мб], а в работе [М8] удалось сохранить обозначение (0.6) в общем случае.
В целом до работ автора лучшая оценка линейных форм от логарифмов алгебраических чисел (причем именно однородных рациональных) была опубликована в 1993 году в работе [20] Бейкера и Вюстхольца. Она имела вид (0.5) с константой С0 = 1 и
с = 18(п + 1)!пп+,32п+2 и11п(2п£>)Л, • - • 4,
дополнительно требовалось В^е, у\,...уАп>\у но если ограничение на В
имело число технический характер, то нижние границы для чисел А} были
существенными для доказательства.
Параллельно с методом Бейкера продолжается развитие метода Гель-фонда и аналогичного метода Шнайдера. Это связано с тем, что, хотя основные результаты получаются здесь только для двух логарифмов и дают зависимость от параметра В не степенную, а вида
\Ь]\па]+Ь21па2 |>ехр(-с21)2Л1Л21п2(С0В)),
т.е. асимптотически худшую при растущем В, но сама константа с2 получается значительно лучше, чем до сих пор в методе Бейкера. Особенно значительное усиление оценок произошло после разработки М. Лораном [42] так называемой техники интерполяционных определителей. Так, в одной из последних работ [43] 1995 года было получено значение =30.9, в оценке же
Бейкера-Вюстхольца получается С2 ~Ю10. Поскольку основные приложения оценок линейных форм от логарифмов опираются именно на случай п = 2 и требуют для успешного применения малых констант, именно оценки, полученные специально для случая п = 2, оказываются предпочтительнее.
Теперь изучим структуру имеющихся оценок линейных форм от многих логарифмов в одном их важных случаев их приложений. Как отмечалось, одной из типичных ситуаций является случай а1 - j-t простое число, а
К = Q, D = 1. Из закона распределения простых чисел (см. [56]) получаем
Aj = inctj < lnpn < ln(n2) = 21nn, j = (п > 2),
Л, Ап < (21пп)п.
Компонента (lnn)n растет несколько быстрее, чем Сп, но если в оценке
имеется еще множитель пи факториальной скорости роста, то последнее выражение растет существенно быстрее и становится основным членом оценки. Таким образом, удаление из оценки факториального множителя резко улучшит ее качество.
Именно это и является главным результатом работы автора.
14
ЦЕЛЬ РАБОТЫ, ГЛАВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Основной целью данной работы является получение явной нижней оценки однородной рациональной линейной формы от логарифмов алгебраических чисел с рациональными коэффициентами, имеющей показательную зависимость от количества логарифмов.
В процессе решения основной задачи возникли и были решены существенные попутные задачи, связанные с исследованием решеток в логарифмических пространствах. Это явная оценка последовательных минимумов таких решеток и оценка коэффициентов в мультипликативных соотношениях между алгебраическими числами.
Далее, полученные оценки линейных форм от логарифмов являются явными, т.е. сосчитанными до конца с целью их практического применения. В ходе выполнения этой работы была практически полностью переработана техническая сторона метода Бейкера и получены количественные усиления вспомогательных лемм. Все такие вспомогательные утверждения могли бы быть заменены на ранее известные результаты, что ухудшило бы константы оценок, но не повлияло бы на главный результат - устранение из оценки факториального множителя. В связи с этим формулировки вспомогательных результатов во введение не выносятся, а дается только их краткое описание.
Теперь перейдем к формулировке основных теорем. Для этого зафиксируем обозначения, которые будут сохраняться до конца работы. Дано алгебраическое поле КсС, V = [К :О], к = 1, если КсМ, к = 2 - иначе.
Пусть даны числа а]>...,ссп еК* и фиксированы некоторые ненулевые значения 1пог;. При КсЕ мы будем выделять естественную ситуацию
а3 > 0, 1па} е К, 1 < э < п. (0.7)
Мы будем рассматривать числа а, определяемые из соотношения
\па = 1]\па] + -*- + £п1пагп.
15
Если 1 = (1]у...уІп)є%п, то очевидно а є К, но, оказывается, могут быть и другие ^€<0^, для которых также « є К. Обозначим множество таких векторов / через М. Если числа 1паг,,...,1п<тп линейно независимы над <0>, то множество Л4 будет решеткой (определение см. раздел 3), содержащей Zn. Обозначим соответствующий индекс подрешетки как
ТЕОРЕМА 0.1. (ТЕОРЕМА 8.2. диссертации). Пусть числа А, удовлетворяют условию (0.4). Если числа 1па,,...,1погп линейно независимы над О, то в вышеприведенных обозначениях выполняется
£0(1) = 1.125, £0(п) = 3.1*71*7*-, п> 2. □
Пусть теперь для линейной формы Л вида (0.2) мы имеем параметры Л} из (0.4), В из (0.6), а также положим для краткости
С0 = 1п(е4'4"+7га5'5£)21п(е£>)), = 1п(1.5еВ£>1п(е£>)).
ТЕОРЕМА 0.2. (Основная теорема, ТЕОРЕМА 10.1. диссертации). Пусть либо к = \ и выполнено условие (0.7), либо * = 2; числа 1па,,...,1погп линейно независимы над Ъ и Ъпф 0. Тогда
1п | Л|>-С'(та)С0И',01?2.4| ■■■Ап. □
Главными особенностями этой теоремы являются:
- показательная зависимость параметра С(п) от п;
А = [Л4:£П].
^А,-Ап40(п)ОЩеп^О)>\,
16
параметр В имеет вид (0.6), а не (0.3); отсутствие нижних ограничений на числа А;
оценка полностью явная, превосходящая при п > 3 ранее известные оценки.
В теореме 10.2 диссертации рассматривается ситуация возможной зависимости логарифмов и снимаются ограничение (0.7) в случае Кс1, а также условие Ьп * 0. Цена снятия ограничений - предположение Л^О, введение технических нижних ограничений А1 > 0.16 и незначительное ухудшение оценки линейной формы.
В следствии 10.3 приводится максимально упрощенная формулировка оценки линейной формы для общего случая при Л * 0 и А} > 0.16:
при этом выражение В может быть взято как из (0.3), так и из (0.6).
Упрощенная оценка полезна при ее применении для получения качественных результатов, основанных на теории линейных форм от логарифмов.
Доказательство теоремы 0.2 основано на ставшем классическим в теории диофантовых приближений методе Бейкера, представляющем собой усиление метода Гельфонда. Авторское усиление заключается в заметном усовершенствовании конструкции вспомогательной функции. При доказательстве теоремы 0.1 была использована техника интерполяционных определителей М. Лорана (определение см. раздел 7), возникшая в последнее время. Кроме того, усовершенствования во всех результатах, полученные автором, связаны с дополнительным привлечением теории алгебраических чисел, теории выпуклых множеств и особенно - геометрии чисел.
1п | А|> —тіп З0л+3п3-5, 26л+20 1о2А, •• • а, 1п(еД)1п(еВ),
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
17
НАУЧНАЯ НОВИЗНА
Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, не превзойденными до сих пор. Новизна работы проявляется как в полученных теоремах, так и в методах доказательства. Кроме того, в связи с получением явных улучшенных оценок, была существенно переработана техническая сторона рассуждений использованных известных методов. Все работы были выполнены самостоятельно без соавторов.
ПРАКТИЧЕСКАЯ И ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ
Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы и технические вспомогательные результаты позволят получать дальнейшие улучшения оценок линейных логарифмических форм. Все полученные в работе оценки (линейных форм от логарифмов, последовательных минимумов, мультипликативных соотношений) вполне явные, имеющие многочисленные приложения к другим разделам теории чисел.
Работа может иметь практическое значение в случае реализации предложенных идей в компьютерной алгебре и теории чисел.
СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНОЙ ЧАСТИ
Основная часть диссертации естественным образом разбита на 25 разделов (глав).
В первом разделе напоминаются основные понятия и результаты из линейной алгебры, используемые в диссертации.
Во втором разделе приводятся некоторые сведения из теории выпуклых тел (теорема Брунна-Минковского, лемма Ваалера о сечениях куба) и о связи их с нормированиями векторных пространств. Доказана техническая нижняя оценка (лемма 2.5) объема симметричного выпуклого тела, от которого с по-
мощью линейных ограничений отсечены края (опубликована в [Мб], дополнение - в [М7]).
В третьем разделе приводятся основные понятия и результаты из теории решеток (дискретных подгрупп) нормированных векторных пространств (теорема Блихфельдта, теорема Минковского о последовательных минимумах). Отметим, что использование идей геометрии чисел является существенной частью доказательств по теории диофантовых приближений. Авторские результаты относятся к оценке коэффициентов целочисленных соотношений
+ • • • + апхп = О, х = (х1,...,хп)<=%пу
между ненулевыми векторами решетки М = (а,,...,а„)2 ранга т<п. Теорема 3.8 (см. [М3]) утверждает, что тогда найдется п-т линейно независимых векторов (соотношений между векторами а.,), удовлетворяющих условию
-ж—гп-т ( К?
ГГ», (шах{|**,М: 1£.?<п})^^) -А - А.
где А;>|а; | (1 <]<п\ V - т-мерный объем решетки, В- максимальный
т -мерный объем параллелепипеда, построенного на векторах с нормой | V |< 1.
Характерной чертой этого и всех других результатов работы является систематический учет в оценках весовых коэффициентов (выше — это числа А,), позволяющий получать индивидуальные оценки для неизвестных.
В принципе, данный результат представляет собой прямое приложение теоремы Минковского о последовательных минимумах. Но он имеет универсальный характер. В нем используются минимальные данные о норме и решетке. Так, совершенно не используется арифметическая природа коэффициентов векторов. При этом зависимость оценки от параметров Л]у...,АТ1,\ оптимальна, а оставшиеся коэффициенты невелики. В предшествующих работах обычно оценивались коэффициенты для отдельных соотношений между векторами, как правило, с у четом их арифметической природы.
19
В разделе 4 напоминается описание конструкции геометрического изображения чисел алгебраического поля. Дается верхняя оценка дискриминанта поля, порожденного набором чисел, в терминах абсолютной логарифмической высоты чисел, порождающих поле (опубликована в [Мб]).
В разделе 5 доказывается существование небольшого ненулевого решения в алгебраических числах неполной системы однородных линейных уравнений с алгебраическими коэффициентами. Результаты такого рода обычно называют «лемма Зигеля». Отличие результата автора состоит в учете весовых коэффициентов, возникающих вследствие различия в величине коэффициентов уравнений и позволяющих получать улучшенные оценки решений. Это оказалось одним из приложений теоремы 3.8. Опубликовано в [М3], с уточнениями - в [М8].
В разделе 6 приводится описание логарифмического пространства для данного алгебраического поля К и его свойств. Кроме того, вводится понятие расширенного логарифмического пространства поля (опубликовано в [М7]). Его отличием от обычного логарифмического пространства состоит в том, что в прежнем логарифмическом изображении числа a е К*, составленном из выражений \п\а\а> одна (или пара комплексно-сопряженных) компонента заменяется на lnoreC, где изображение также зависит от выбранной ветви логарифма. В расширенном логарифмическом пространстве рассматриваются несколько норм, простейшая из которых (расширенная логарифмическая высота) имеет вид
Нх.(а) = max{Z?h(<2r), |1па|}.
В разделе 7 доказываются нижние оценки для ненулевой расширенной логарифмической высоты (опубликованы в [М5]). Используемая в дальнейшем в диссертации оценка имеет вид (Следствие 7.10)
1.5 Hv (a)D ln(eD) ;> 1.
20
Доказательство основано на применении интерполяционного определителя М. Лорана, что дало явную оценку с весьма малым значением константы.
Раздел 8 содержит формулировку и доказательство одного из основных результатов автора, выносимых на защиту, - оценку произведения последовательных минимумов расширенной логарифмической высоты алгебраических чисел поля (см. Теорема 0.1, опубликована в [М7]). Отметим, что попутно получается оценка индекса соответствующей группы.
В разделе 9 проводится оценка коэффициентов в мультипликативных соотношениях между алгебраическими числами или в целочисленных линейных зависимостях между их логарифмами. Результат представляет собой непосредственное применение теоремы 3.8 для логарифмических решеток с расширенной логарифмической высотой в качестве нормы. Опубликован в [М3], с уточнением в [М8].
В разделе 10 приводятся формулировки основной теоремы 10.1 об оценках линейных форм от логарифмов алгебраических чисел и двух следствий из нее. Дальнейшая часть диссертации посвящена доказательству этих теорем, причем доказательство следствий занимает только два последних раздела. Доказательство следует работе [М8] с некоторыми идеями из работы [Мб].
В разделе 11 рассматриваются тривиальные случаи основной теоремы. Таковыми являются случай п = 1 и случай малого значения параметра В. Это позволяет считать в дальнейших рассуждениях п > 2, а В большим.
В разделе 12 изучается случай, когда с помощью свойств логарифмической функции линейная форма А сводится к форме от меньшего числа логарифмов. Например, в простейшем случае можно записать
А = 1паг, а = а^’'-а^.
Обычно это сопровождается значительным увеличением высот участвующих чисел и не приводит к улучшению оценки. Если же это можно сделать без большого увеличения высот, то теорема доказывается индукцией по