- 2 -
ОГЛАШЕНИЕ
едение............................................................. 3
:ава I. О строении бесконечной симметрической группы............. 21
§ I. Задача В.Скотта о расщеплении симметрических групп... 21
§ 2. Среди композиционных факторов бесконечной симметрической группы изоморфных нет.................................. 26
§ 3. Вложение надгрупп знакопеременной группы в ограниченные симметрические группы.....................................34
[ава 2. Теоремы вложения для бесконечных симметрических
групп..................................................... 40
§ 4. Теорема о стабилизаторе транзитивной подгруппы
£(у, л) , которая изоморфна £) 40
§ 5 Убывающие полные ультрафильтры и теоремы вложения
для ограниченных симметрических групп...................... 46
§ 6. Прямые пределы симметрических групп и универсальные
группы................................................... 54
гава 3. 2-транзитивные группы автоморфизмов линейно упорядоченных множеств....................................................63
§ 7. Предварительные результаты о 2-транзитявных группах
азтоморфизмов линейно упорядоченных множеств...............63
§ 8. Нормальные делители 2-тралзитивной группы автоморфизмов линейно упорядоченного множества.............................70
§ 9. 2-однородные линейно упорядоченные множества с изоморфными группами автоморфизмов..................................83
лтированная литература.............................................94
- 3 -
Введение
Целью настоящей работы является исследование бесконечных сим-ютрических групп и их аналогов среди групп автоморфизмов линейно порядоченных (л.у.) множеств. Такими аналогами являются группы штоморфизмов так называемых 2-одиородных л.у. множеств.
Пусть °Л, Д... - бесконечные кардинальные числа, оЛ + - следуйте за У кардинальное число, и) - первый бесконечный кардинал, '.ормальное строение бесконечной симметрической группы ^ (х) ОПИ-;ывает следующая теорема, доказанная Уламом, Шрейером (69] в счётом и Бэром [26] в общем случае: инвариантные.(нормальные)и суб-.ормальные подгруппы группы ЫХ) исчерпываются членами следующе-•о ряда:
е <3(Х4) «... <£(х,н)<£{х) ,(1)
де А(х) - знакопеременная группа на бесконечном множестве X , (XЪ 3$ ^Сх)\з сдвигает меньшее с/. элементов множества. X} , 1x1 - мощность множества X # В дальнейшем Маурером (57] ,
иландтом [83] (доказательство Виландта приведено также в книге лоткина ре] ), Скоттом р1] , Бертрамом [30] были опублшсова-ы различные доказательства этой теоремы. Композиционные факторы яда (I) исследовались Каррасом и Солитером [53] • Оки доказали,
то группа $(Ф(Х, М) ни при каком с1 < /*/ неизоморуйа группе
, и поставили проблему: есть ли среди компози-ионных факторов бесконечной симметрической группы изоморфные?
В книге Скотта [71] поставлена более общая проблема: следует и из 6(ХХ *Ь(У, **)№,*) • что = р И Ш=М ?
Скотт И также доказал, что группы 3(Х,4) и 6(х) не является расщепляемыми расширениями группы финитных подстановок 3(Х, со) ри помощи со) ( соответственно 3(х)/3(Х9 со) ) и поставил
опрос:
-заявляются ли группы <S(Xy) a S(xJ расщепляемыми расширениями ‘РУППЫ s0r.fi.) , /з«л при помощи SM/s&t) (соответственно
%(х)/sCx.fi) )?
Ыаккензи (ôl] доказал, что группа S(x)/S(Xjxf) не вклады-;ается в гругппу S(X) , т.е. S(X) не является расщепляемым расширил егл &./*/! ПРИ ПОМОЩИ S(х)/SfXt /Х/) . IOiep (32] несколько
бобщил теорему Маккензи. Однако, его обобщение решает вопрос Скот-а лишь в очень частных случаях.
Решению вопроса Скотта о расщеплении симметрических групп и роблемы Карраса, Солитера о изоморфизме композиционных факторов освящены соответственно § I я § 2 настоящей работы.
Используя обобщенную теорему Супруненко [18] о неразложимости ранзитивных подгрупп ограниченных симметрических групп и теорему аккензи [ci] о невлокишстиS{x)/S(JCt /Х/J в S(x) , доказывается.
Предложение 1.4. Группа S(y)/S(yt /У/) не вкладывается в
руппу з(х,/уП ни при каком X
Из этого утверждения и выводится окончательное отрицательное ешение задачи Скотта о расщеплении бесконечных симметрических рупп.
Теорема 1.5. Группы sM,s(x) не являются расщепляемыми асширениями группы S(x,fl)> fi <оС
Пусть Pel'h(XJ=$ У$Х1 /У/^ьЛ} . Обозначим Л.*, фак-
оС
ор - множество PtC*(x) по отношению эквивалентности: ,
ели мощность симметрической разности этих подмножеств меньше оЛ /\£ , очевидно, является структурой, в которой операции А , V ндуцируются соответственно пересечением и объединением подмножеств з Ра*(Х) . Действие подстановок из группы S(xj на элементах Ai
оС
пределяет представление группы SCx) автоморфизмами структуры У[ *
оС
ричём ядром этого представления является подгруппа & (Х,х) .В
- 5 -
:лу результатов Болла [27] прообразы стабилизаторов ненулевых эле-;нтов л* в группе ^(х) являются максимальными подгруппами 3(х) . седовательно, группа -5 (*)/Б (к, X) слабо примитивная в терминологии
у
сландта [84] группа подстановок па множестве Л^ \ {0*} » где 0^
х
ноль структуры А* .В § 2 настоящей работы доказывается, что необ->димнм условием существования изоморфизма групп б(х,вС*)/з (х,ел) и :(х, а *) в(х, А) является изоморфизм структур И.Д к л1 * а [И изоморфны тогда и только тогда, когда . Таким образом,
юблема Карраса, Солитера имеет следующее решение.
Теорема 2.7. Среди композиционных факторов бесконечной сиыме-жческой группы изоморфных нет.
В направлении более общей проблемы Скотта имеем: из $(х,<х*)/5(х,ы.) *3(У,р)/3(У, Р) следует аС ~р . Открытьпл остается вопрос:
[едует ли из &(Х,и'*')/5.(х,^)^5(У1^ )/3(у,и) , что/X/ =/У/ ?
Теорема Улама, Шрейера [70] о совершенности бесконечной симме-шческой обобщалась на изоморфизмы надгрупи знакопеременной группы /\ (х) см. Виландт [83] , [84] , Скотт [71] и полуавтоморфизмы Дек-
шес [35] , Херштейн и Рухте [43] . Наиболее общий результат, объе-шяющий оба эти направления, получен Скоттом [72] : пусть А{х)^
-£5(х) ,А(У)£Р&{У) к Сг , Р - изоморфные группы, тогда а) шкий изоморфизм О—Р индуцируется некоторой биекцией X— У ;
) всякий лолуизоморфизы (У—Р есть произведение отображения Т '• Сг — С- ^ ~1 11 изоморфизма Сг — Р
В § 3 настоящей работы мы пытаемся обобщить эти результаты на южения надгрупп бесконечной знакопеременной группы в симметричес-1е. Полученные при этом утверждения используются в главе П при иссле-эвании проблемы Де-Брейна о вложении бесконечных симметрических ?упп.
Теорема 3.2. Если А(У)*Сг*5 (У) и V/: Сг — $(х, М) - произ-
ільное вложение, то существует такая орбита Н группы У' (о) на (ожестве X , что ограничение на этой орбите индуцируется
секцией У —- Z .
Следствие 3.3. Пусть Afy)£G-çSCy) и V:G-~-SCx) _ такое южение, что ч'Са) - транзитивная группа подстановок, имеющая нееди-[чное пересечение с подгруппой 5(Х,/У/) , то A/-/V/ И Ÿ инду-
іруется некоторой биекцией Ч—х ♦
В статье Маккензи (pi] в наиболее общей форме сформулирована юблема, изучение которой было начато работами Де-Брейна (3$ , [37] исие группы вкладываются в группы s(x) ,S(X,y) и S(X,*i)/S(x, fi) , fi при фиксированном бесконечном X , в частности, для каких ip этих групп одна изоморфна подгруппе другой? Первая часть этой юблемы фактически представляет собой программу исследования, кото-ш в свою очередь разбивается на ряд проблем. Taie, например, проб-зма Калужнина [її] - Супруненко [18] о исследовании локально конеч-к групп, которые вкладываются в группу финитных подстановок >жет быть отнесена к этой программе. В этом же направлении лежат гедующие два вопроса из книги Куроша [14] , стр. 436: для каждого інтересного" класса групп к выяснить а) всякая ли К - группа мцности 2 х> вкладывается в группу S(x) ; б) существует ли такой ірдинал А , что всякая /с - группа вкладывается при подходящем X в группу S (Х, Ы-) ?
Интересный подход к проблеме Калужнина - Супруненко, основаній на теореме Вилалдта (83] о примитивной группе подстановок с фи-ІТНОЙ подстановкой, предложен в работе Михлеса и Тышкевич [[5] .
: результаты в различных направлениях были развиты в работах Вяголь-1 [82) , П. Неймана [64] , [65] я Сигела [/з] , [74) . Строение си-эвеких р - подгрупп группы S (х, со) ранее описано Иванютой [б] , [7] зкалыю нилькотентные транзитивные подгруппы S(x, си) исследовал діруненко [Î7] .
- 7 -
Де-Брейк N доказал, что любая абелева группа мощности 2^* угадывается в группу 6(х) . С другой стороны в любом неабелевом
югообразик групп найдется группа мощности 2 М , которая в вСх) з вкладывается. Это вытекает из теоремы Маккензи [61] о вложении жмых произведений коммутативных групп в бесконечные симметрические зуппы: ограниченное прямое произведение /7°^, се I некоммутативных зупп тогда и только тогда вкладывается в группу 3(х) , когда какая группа вкладываете?! в ё(х) и /I/ $ /х/ . Из этой теоремы
иске вытекает, что ограниченное прямое произведение 2,к! копий зуппы 5(х) в ё(х) не вкладывается. Свободное же произведение ший группы $(х) , кагс до1сазал Де-Брейн [36] , ъ з(х) вкладывает-
;. Б связи с последним результатом Мщельским [и2] была выдвинута гпотеза: всякая свободная группа вкладывается при подходящем X в зуппу ё(Х, со*) . Контрпример к этой гипотезе привел Маккензи [б]] . сончательно вопрос о вложении свободных групп в ограниченные симме-зичеекяе группы. 3(х,у) решен Шелахом [75] , [/б] : свободная груп-1 мощности у тогда и только тогда вкладывается в группу ЗСх, <*) ,
згда найдется у* такое, что 2я 9-у . Из этой теоремы и резуль-
гтов § 5 настоящей работы следует, что при условии выполнения 010? зободная группа мощности 2^+ не вкладывается в группу3(х,<х)/£(х,/з)
I при каком X
Первый пример группы, которая не вкладывается в группу 5(Х,со*) г при каком х , приведен в статье Кнезера и Сверчковского (р4] , зказавших, что свободная метабелева группа мощности
(2сО) +
не вкла-
гзается в 3(х, со*) ни при каком X . Отвечая на вопрос Мицельского [62] : всякая ли группа мощности вгсладывается в группу sCx.cc) шеензи 61 доказал, что группа Су. с образующими ^ае>ё£> С]£< ту те соу - начальное порядковое число мощности о£ и определяющими ^отношениями а£ёеаеё( = с , а*е , ае «аха£ , ё£ё^ = -ё^ё£ ,а{ёл=ёхае , £ Фу не вкладывается в группу
- 8 -
*(*.*) ни при каком X . Некоторые свойства группы Су приводит [ер [32] . Другие примеры групп мощности и. , которые не вкладыва-:ся в зСк у) приводятся в § I настоящей работы (см. следствие 1.6., гедствие 1.8.).
Вторая часть сформулированной выше проблемы Де-Брейна представ-гет собой самостоятельную задачу, которую переформулируем в следую-зм виде: для класса групп, состоящего из бесконечной симметрической зуппы 3 (х) , её нормальных делителей 3(х, °с) и фактор-групп Х^)/sCx.fi) выяснить когда одна из групп этого класса вкладывается другую группу.
Понятно, что этот вопрос связан с проблемой определения интек-зв подгрупп симметрических групп. Первый результат в этом направлена был получен Гохоном [39] , который обобщил теоремы Г.Хигмана [44] об индексах подгрупп АСх) , доказав, что собственная подгруп-1 О группы 3(х, У) имеет индекс за исключением оЛ =и> ,
-А(х) •
Из результатов Болла [28J вытекает, что из М*= 1X1 следует южимость группы ё(х)/3(Х,<х) в 3(х) . С другой стороны, как уже
гаечалось выше, Маккензи [61] доказал невлокимость ЗСх)/ЗСх> /ж/]
$С*) .
В § 4, § 5 настоящей работы вопрос о существовании вложения актор-группы ёСкол)/scx.fi) в ограниченную симметрическую группу
СХ, Л) сводится к вопросу о существовании над множеством X уль-защильтров с определенными свойствами.
Пусть Ъ - ультрафильтр над х . Рассмотрим 2> как структу-Т (т.е. как подструктуру структуры всех подмножеств множества X ) обозначим АиЬЪ группу всех автоморфизмов этой структуры. Как эгко видеть, имеет место следующее утверждение: если - ультра-зльтр над X , то АиО)— АиЬ*1)=4$£ ёСх) для любого УеЯ .
- Київ+380960830922