РАЗДЕЛ 2
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ГИДРОСТАТИЧЕСКОМ ПОДЪЕМЕ ВАЛОВ В ОПОРНЫХ ПОДШИПНИКАХ, СМАЗЫВАЕМЫХ НЕНЬЮТОНОВСКИМИ ЖИДКОСТЯМИ
Поскольку коэффициент абсолютной вязкости неньютоновских жидкостей является функцией скорости относительной деформации частиц, систему уравнений Рейнольдса гидродинамической теории смазки запишем в форме
(2.1)
Зависимость коэффициента абсолютной вязкости от скорости относительной деформации определяется экспериментально для каждой конкретной неньютоновской жидкости, поэтому считается известной функцией. Ниже будут описаны функции, аппроксимирующие экспериментальные зависимости с достаточной точностью.
Проинтегрировав первое уравнение системы (2.1), получим
. (2.2)
Поскольку при гидростатическом подъеме валов имеет место только пуазейлево течение, константу определяем из условия
при .
Используя выражение (2.2), получаем .
Проинтегрировав уравнение (2.2), получим
Учитывая, что при , получим
где
, .
Обозначив , получим
. (2.3)
Поскольку вид первого и второго уравнений системы (2.1) и их граничные условия для скоростей аналогичны, для скорости получим выражение
. (2.4)
Подставив (2.3) и (2.4) в четвертое уравнение системы (2.1) и проинтегрировав его по толщине пленки, получим модифицированное уравнение Рейнольдса
. (2.5)
Здесь
, , .
Введем безразмерные величины
, , , , , , .
Тогда уравнение (2.5) приобретет вид
. (2.6)
Здесь
, , .
Тогда компоненты безразмерных скоростей приобретут вид
, . (2.7)
Здесь условная угловая скорость (она введена в таком виде, чтобы унифицировать приведение к безразмерным параметрам в разделах 2 и 4 настоящей диссертации),
, .
Уравнение (2.6) представим в конечно-разностном виде. Производные этого уравнения запишем в форме
Тогда вместо уравнения Рейнольдса (2.6) получим
, (2.8)
; ;
где
, , , .
Безразмерная толщина пленки выражается формулой (см. рис.2.1 а)
. (2.9)
Система уравнений (2.8) решается методом Зайделя [68] при следующих граничных условиях:
, где - контур, описывающий границы области подвода смазки высокого давления, - давление в области подвода смазки,
на внешних границах несущей поверхности Г (рис. 2.1 б).
В случаях, когда области расположены симметрично относительно осей X и Z (см. рис. 2.1) производные и равны нулю на соответствующих осях, что является основанием считать и .
а) б)
Рис. 2.1. Геометрические параметры опорного подшипника.
В тех случаях, когда осевая симметрия не соблюдается, используются первые два граничных условия и рассматривается несущая поверхность вцелом.
Заметим, что система уравнений (2.8) записана для общего случая расположения областей подвода смазки высокого давления. Но поскольку во многих практически важных случаях гидростатический подъем валов осуществляется при симметричном положении этих областей, это обстоятельство учитывается соответствующим отсчетом узловых точек. Необходимость выбора такой сетки была пояснена выше.
В данном разделе мы не рассматриваем влияние устройств, регулирующих подачу смазки в отдельные области, поскольку в случае гидростатического подъема валов с симметрично расположенными областями подвода смазки высокого давления этот учет не представляет труда. На самом деле, определив давление смазки в областях подвода и соответствующие ему расходы смазки, описанные ниже, легко определить потери давления на регулирующих устройствах, зная их гидравлические сопротивления. В случае гидростатического подъема определение гидравлических сопротивлений упрощается вследствие равенства расходов через отдельные области подвода смазки высокого давления. Если режим гидростатического подъема является определяющим, то давление перед входом в подшипник (давление, развиваемое насосом) находим, добавляя к давлению в области подвода перепад давления на регулирующем устройстве.
Коэффициенты в системе уравнений (2.8) являются нелинейными функциями координат. В этом легко убедиться, рассматривая интегралы , в которых безразмерный коэффициент абсолютной вязкости является функцией от скорости относительной деформации, а последняя зависит от координат и от давлений, которые тоже зависят от координат. По этой причине решение системы уравнений (2.8) производится в такой последовательности. Сначала определяется поле давлений при произвольных значениях поля вязкости. По найденному полю давлений в каждой точке трехмерной сети определяются интегралы , а по формулам (2.7) - значения безразмерных скоростей, зная которые, в каждой точке сетки определяем скорость
и её производную по нормали к поверхности вала .
Экспериментальная зависимость коэффициента абсолютной вязкости от скорости относительной деформации аппроксимируется следующими связями
(2.10)
Здесь a0 , a1 , a2 , a3 , a4 , b0 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 , c3 , c4 - константы, которые подбирались таким образом, чтобы вычисленные по аппроксимирующим функциям (2.10) значения коэффициентов абсолютной вязкости не давали расхождение с экспериментально полученными значениями больше чем на 1%. Кусочно-гладкая аппроксимация (2.10) во всех практических случаях давала возможность выполнения указанного требования. Одна из модификаций смазок ННЖ характеризовалась следующими значениями указанных коэффициентов a0 =75?10-3 Па?с; a1 =2,32?10-1 Па-1; a2 =1,5?10-2 Па-1; a3 =2,52?10-2 Па?с; a4 = =33,0?10-3 Па?с; b0 = - 3,82?10-5 Па?с3; b1 = 12,05