РОЗДІЛ 2. ТРИХВИЛЬОВІ ЛАУЕ-ДИФРАКЦІЇ РЕНТГЕНІВСЬКИХ
ПРОМЕНІВ В ОДНОВИМІРНОДЕФОРМОВАНИХ
БІНАРНИХ КРИСТАЛАХ
Багато практичних застосувань у розв'язку задач знаходження ступеню структурної досконалості матеріалів знайшли рентгенівські методи, що базуються на явищі дифракції рентгенівського випромінювання в кристалічних тілах. В такому випадку періодичність структури твердих тіл зумовлює вибіркову взаємодію між випромінюванням і кристалом, причому розсіяння випромінювання відбувається на електронній густині, зосередженій в околі атомів кристалу. Будь-яке порушення періодичності розміщення атомів викликає відповідне порушення процесу розсіяння рентгенівських променів при їх дифракції на певній площині кристалу. Коли ж умова дифракції виконується для трьох і більше площин (багатохвильова дифракція), то відповідно, з'являються нові явища.
Дослідження багатохвильового розсіяння рентгенівських променів у спотворених кристалах дозволяє виявити степінь і розподіл деформаційних полів у кристалічній структурі, а також вияснити фізичні процеси, що відбуваються при розсіянні рентгенівського випромінювання.
Слід зазначити, що використання аналітичних методів для аналізу багатохвильових ефектів в деформованих кристалах є досить складною проблемою, оскільки основні рівняння динамічної теорії в багатохвильовому наближенні (1.1.23) не піддаються аналітичному розв'язку.
В даному розділі на основі чисельного розв'язку системи рівнянь Такагі (1.1.23) розглянуто вплив одновимірних спотворень кристалу на різні багатохвильові ефекти при Лауе-дифракції рентгенівських променів для різних трихвильових конфігурацій. Для аналізу вибрані трихвильові конфігурації (111,), (111,), (220, 202) (,/) для Лауе дифракції рентгенівського CuK?- випромінювання у кристалах, що мають гратку типу сфалериту.
2.1 Основні співвідношення багатохвильової дифракції в
одновимірнодеформованих кристалах
Розсіяння рентгенівських променів реальними кристалами у випадку N-хвильової дифракції описується системою векторних рівнянь Такагі (1.1.23). Коротко розглянемо схему розв'язку даної системи у випадку, коли на кристал падає плоска рентгенівська хвиля, а спотворення атомних площин є одновимірними, тобто . Враховуючи, що , , - нормаль до поверхні, , отримаємо:
(2.1.1)
Складові вектора електричної напруженості представимо у вигляді:
, (2.1.3)
де - безрозмірна координата, надалі "?" опускаємо. З врахуванням (2.1.3) система (1.2.1) приймає вигляд,
. (2.1.4)
Продовжуючи нескладні перетворення та використовуючи матричні позначення система рівнянь (2.1.2) набуде вигляду:
(2.1.5)
, (2.1.6)
де (Т- транспонування), , - діагональні матриці розмірністю 2N?2N,
, , (2.1.7)
де - нульова матриця, - одинична матриця, має вигляд:
, (2.1.8)
де ,
. (2.1.9)
Параметри визначають локальні відхилення атомних площин від точного положення відбивання, - кутове відхилення кристалу від точного положення m- хвильової дифракції, як цілого, тобто
, (2.1.10)
де і ; - хвильовий вектор, що задовільняє умові точного положення відбивання; кути ?? і ?? характеризують відхилення кристалу від вздовж векторів , , відповідно; кут ? задає орієнтацію вектора зміщення атомних площин відносно вектора .
Матриця розмірністю 2N?2N складається з чотирьох блоків, кожен з яких має розмірність N?N:
, . (2.1.11)
Система рівнянь (2.1.5) описує дифракцію плоских рентгенівських хвиль в одновимірнодеформованих кристалах. Залежність кутових параметрів від координати z задає спотворення гратки.
Для однозначного розв'язку системи рівнянь (2.1.5) на вхідній поверхні кристалу (z=0) необхідно задати граничні умови:
, (2.1.12)
де - кут, що задає поляризацію падаючої хвилі, - амплітуда падаючої хвилі, її нормована величина складає .
Розділення дійсної та уявної частин матриці (2.1.5) зводить розв'язок задачі до розв'язку задачі Коші для системи 4N диференційних рівнянь відносно дійсних функцій дійсного аргументу, яка розв'язується чисельними методами [17], тобто
, (2.1.13)
або
, . (2.1.14)
Інтенсивність розсіяння дифрагованих хвиль або коефіцієнти відбивання (пронормована інтенсивність розсіяних кристалом хвиль на інтенсивність падаючої хвилі) дифрагованих хвиль для одновимірно спотвореного кристалу знаходяться з рівняння:
. (2.1.15)
Стійкість алгоритму розв'язку системи диференціальних рівнянь (2.1.15) забезпечується використанням методу Рунге-Кута-Фельберга п'ятого порядку, що використовує шість обчислень за крок [132]. Для дотримання необхідної точності при побудові алгоритму передбачено автоматично змінний крок інтегрування.
Для знаходження фази та напряму розповсюдження енергії хвилі в кристалі, що містить постійний градієнт деформації можна використати розв'язок хвильового рівняння (1.1.3) в наступному вигляді:
, (2.1.16)
де і - ейконал і амплітуда узагальненої блохівської хвилі. Після підстановки (2.1.15) в (1.1.3) та нескладних перетворень отримаємо:
(2.1.17)
, (2.1.18)
Якщо на функції Sm та Em на