ГЛАВА 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Математическое моделирование работы магнетронных приборов обычно гораздо
сложнее, чем описание работы приборов О-типа. Это связано с целым рядом причин,
основными из которых являются следующие: 1) движение электронов в скрещенных
полях не удается свести к одномерному, моделирование магнетронов всегда как
минимум двухмерное; 2) эффекты пространственного заряда являются неотъемлемой
частью работы магнетронных генераторов; 3) в отличие от лучевых приборов, в
которых ток пучка можно считать заданным, в магнетронах интенсивность
электронной эмиссии с катода зависит от таких факторов, как амплитуда ВЧ поля,
анодное напряжение, и др. В данном разделе приводятся: формулировка физической
модели; математическое описание ключевых физических процессов, характерных для
рассматриваемых магнетронов; формулировка математической модели и описание
процедуры численного моделирования работы прибора на ее основе.
2.1. Физическая модель
Основными процессами, протекающими в рассматриваемом типе магнетрона, являются
следующие: 1) взаимодействие электронов с колебательной системой, проявляющееся
как во влиянии ВЧ поля на траектории движения электронов, так и в возбуждении
ВЧ поля электронами; 2) влияние поля пространственного заряда на траектории
электронов; 3) вторичная электронная эмиссия с холодного катода, вызванная его
обратной бомбардировкой электронами.
На рис. 2.1 представлена схема колебательной системы, используемой в
рассматриваемом типе магнетронов. Это так называемая равнорезонаторная система
без связок, ее геометрия описывается следующими параметрами:
- радиус анода,
- радиус катода,
- осевая длина пространства взаимодействия,
- число резонаторов,
- глубина анодных резонаторов,
- половина угла раскрыва анодного резонатора.
Рис. 2.1. Сечение магнетрона на пространственной гармонике.
Резонансные свойства колебательной системы описываются набором резонансных
частот, добротностей, и контурных КПД. Эти параметры либо измеряются
экспериментально, либо вычисляются решением электродинамической задачи,
например, в соответствии с методом, предложенным в [29], [30].
На рис. 2.2 представлено продольное сечение рассматриваемого типа магнетронов.
На нем обозначены: анод, холодный катод, вспомогательный боковой
термоэмиссионный катод.
Как видно из рисунка, корректное моделирование термоэмиссии требует трехмерного
рассмотрения. Однако, при наличии в пространстве взаимодействия достаточно
плотного электронного облака, при котором силами кулоновского взаимодействия
нельзя пренебрегать, вклад тока термоэмиссии мал по сравнению со
вторично-эмиссионным. Поэтому математическая модель формулируется в двухмерном
приближении. Релятивистские эффекты не рассматриваются в виду их
несущественности в данном типе магнетрона.
Поскольку число электронов в пространстве взаимодействия очень велико,
моделирование магнетрона осуществляется в рамках метода крупных частиц, т. е.
вместо рассмотрения движения отдельных электронов рассматривается движение так
называемых макрочастиц. Движение макрочастиц описывается теми же уравнениями,
что и движение электронов, но каждой макрочастице приписывается заряд
существенно больше электронного, составляющий в данном случае порядка - полного
заряда в пространстве взаимодействия.
Рис. 2.2. Продольное сечение магнетрона с холодным вторично-эмиссионным
катодом.
А – анод;
ВЭК – холодный вторично-эмиссионный катод;
ТК – дополнительный термоэмиссионный катод;
П – полюсные наконечники.
2.2. Уравнения движения макрочастиц
В полярной системе координат уравнение движение макрочастицы (так же как и
электрона) имеет следующий вид:
(2.1)
Здесь использованы следующие обозначения:
, - координаты -той макрочастицы,
- время,
, - элементарный заряд и масса электрона,
, - анодное напряжение и индукция магнитного поля,
- потенциал поля пространственного заряда,
и - радиальная и угловая компоненты напряженности ВЧ поля, точками сверху
обозначено дифференцирование по времени. Введем следующие безразмерные
переменные: , . В этих переменных уравнения движения приобретают следующий
вид:
(2.2)
Здесь - коэффициент, описывающий влияние постоянного электрического поля на
движение электрона,
- нормированный потенциал поля пространственного заряда,
и - компоненты нормированной напряженности ВЧ поля, определяемой выражением .
Начальные условия для уравнений (2.1) и (2.2) определяются в соответствии с
закономерностями электронной эмиссии, которые будут рассмотрены ниже. Уравнения
движения для каждой макрочастицы решаются до тех пор, пока она не попадет на
анод () или катод ().
2.3. Вторичная электронная эмиссия
Корректное моделирование вторичной эмиссии затруднено отсутствием законченной
теории этого процесса. В данной работе известные экспериментальные данные [70]
для платины (основного материала, используемого для покрытия холодного катода)
моделируются в соответствии со следующими правилами:
1. Вторичные электроны делятся на истинные вторичные и неупругоотраженные.
Начальная кинетическая энергия первых распределена от 0 до 50 эВ с максимумом
около нуля, а у последних - от 50 эВ до энергии первичного электрона. Поскольку
распределение начальной энергии неупругоотражённых электронов изучено плохо, в
этой работе оно считается равномерным.
2. Коэффициент истинной вторичной эмиссии и коэффициент неупругого отражения
зависят от кинетической энергии первичного электрона . Коэффициент истинной
вторичной эмиссии также зависит от угла падения первичного электрона . В
соответствии с [71] соотношение между и имеет следующий вид:
. (2.3)
Здесь обозначает коэффици
- Київ+380960830922