РАЗДЕЛ 2
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ АППРОКСИМАЦИИ ИСХОДНОГО ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ ПОЛЕМ ВЫБРАННОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ВЫБРАННОГО КЛАССА ТЕЛ.
2.1. Постановка задачи.
Двухмерная модель. На дневной поверхности выбрано начало координат. Ось Oz направлена вертикально вниз, тогда ось абсцисс будет горизонтальной. Если дневная поверхность горизонтальна, то ось OX лежит на этой поверхности. В n точках записано исходное (наблюденное) поле
(2.1)
Требуется найти такую функцию ?(x, z) или ?(x) ? гладкую, по крайней мере, дважды дифференцируемую, которой можно аппроксимировать заданное поле (2.1).
Функцию (2.1) представим полем совокупности гравитирующих тел. При этом должны быть соблюдены принципы аппроксимационного подхода. Гравитирующие объекты ? это m локальных тел. Каждое тело состоит из двух взаимно перпендикулярных пластин. Линия пересечения пластин параллельна оси Oy. В плоскости xOz точка пересечения является центром симметрии тела. Одна пластина вертикальная, ее общая длина 2tz и её направление совпадает с направлением оси Oz. Другая ? горизонтальная с общей длиной ? горизонтальной мощностью ? 2tx, по направлению совпадает с направлением оси абсцисс.
Местоположение и размеры геологической модели, состоящей из m тел, могут быть описаны таким вектором:
(2.2)
Здесь записано количество тел в модели, координаты их центров, полудлины пластин в плоскости сечения и их избыточные линейные массы. Если материальные пластины имеют толщины ?xj и ?zj, то, соответственно, ?xj = ?j??xj и ?zj = ?j??zj, где ?j ? объемная избыточная плотность.
Трехмерная модель. Пусть выбрана система координат, начало которой располагается на дневной поверхности. Ось Oz направлена вертикально вниз. В этом случае координатная плоскость xOy лежит на дневной поверхности, если она горизонтальна. В n точках записано исходное поле:
(2.3)
Аналогично, требуется найти такую функцию ?(x, y, z) или ?(x, y) ? гладкую, по крайней мере, дважды дифференцируемую, которой можно аппроксимировать заданное поле (2.3).
Функцию (2.3) представим полем некоторой совокупности локальных гравитирующих тел. Каждое тело состоит из трёх взаимно пересекающихся материальных стержней. Область пересечения стержней является центром симметрии тела. Каждый стержень вытянут по направлению координатной оси. Пусть модель содержит m тел и центры тяжести каждого из них определяются (cx, cy, h)j, j = 1, 2, ..., m. Длины стержней (2tx, 2ty, 2tz)j, их избыточные линейные массы (?x, ?y, ?z)j. Если площадь поперечного сечения стержня ?Sj, то ?j = ?j??Sj, j = 1, 2, ..., m, где ?j ? объемная избыточная плотность. В этом случае для описания модели запишем такую последовательность:
(2.4)
Эти параметры определяют аппроксимационную модель.
2.2. Алгоритм решения прямой задачи гравиразведки в выбранном модельном классе.
Профильный вариант.
А1. Вертикальная пластина. Её длина 2tz .Аномалия силы тяжести запишется как
Внутренний интеграл легко получается. Поперечное сечение пластины мало. Применим теорему о среднем значении интеграла, получим
(2.5)
Здесь ?z=???? ? линейная избыточная масса.
A2. Горизонтальная пластина. Её длина 2tx. Запишем
Получим внутренний интеграл. Сечение пластины малое. Как и в первом случае, применим теорему о среднем значении интеграла, получим
(2.6)
Теперь можно вычислить теоретическое поле, которое обусловлено моделью
(2.7)
Во внешних точках (x, z) может быть вычислена аномалия силы тяжести, которая обусловлена моделью с параметрами Р ? формула (2.2).
Площадной вариант.
Нетрудно получить формулы для вычисления аномалии силы тяжести, которая обусловлена аппроксимационным телом. Опустим индекс j и получим эффект каждого стержня.
А1. Вертикальный стержень. Его длина 2tz. Аномалия силы тяжести может быть записана:
Внутренний интеграл легко получается. Далее будем полагать, что сечение стержня мало. Применив теорему о среднем значении интеграла, получим
(2.8)
Здесь поле силы тяжести отождествляется с полем силы притяжения и вертикальная составляющая аномального поля записана как производная гравитационного потенциала. Такие обозначения удобны при записи производных исходного поля.
A2. Горизонтальный стержень длина которого 2ty. Запишем
(2.9)
Получим внутренний интеграл. Сечение стержня малое. Как и в первом случае, применив теорему о среднем значении интеграла, получим
(2.10)
A3. Второй горизонтальный стержень, длина которого 2tx. Аналогично можно получить
(2.11)
Теперь можно вычислить теоретическое поле, которое обусловлено моделью
(2.12)
2.3. Обратная задача гравиразведки для выбранного аппроксимационного класса гравитирующих объектов.
Пусть в исходном поле выбрано n точек и записано
(2.13)
Если это профильный вариант, то координаты внешних точек будут (xi, zi), a в площадном варианте ? (xi, yi, zi).
С учетом всех сведений о геологическом строении создана модель начального приближения ? записан вектор P(0) ? формула (2.2) или (2.4). Может быть вычислено теоретическое поле в точках, координаты которых были записаны в последовательности (2.13). Получено . Это поле сопоставляется с исходным гравитационным полем. Для такого сопоставления выбирают какой?либо из приведенных выше функционалов (1.4.?1.9.). Задача состоит в том, чтобы найти составляющие вектора P? ? формула (2.2) или (2.4), при которых массив невязок был бы минимальным. Здесь должен быть задействован весь арсенал алгоритмического и программного обеспечения. В результате решения обратной задачи мы получаем численные значения параметров аппроксимационной модели, записанные в виде вектора (2.2) ? для профильного варианта и в виде вектора (2.4) ? для площадного варианта. Если внешнее поле содержит фоновую составляющую, то она должна быть учтена при сопоставлении полей.
Результаты решения обратной задачи в выбранном классе позволят аппроксимировать исходное поле аналитической функцией, а возможно и уста