РОЗДІЛ 2
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ. МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ
2.1 Задачі аналітико-геометричного дослідження
Для забезпечення необхідних норм контакту і відхилень у кінематичній точності і плавності роботи передачі необхідно знати залежність координат точок контакту і закону передачі обертання від похибок виготовлення і монтажу.
Математично задача формулюється в такий спосіб. Відома геометрія елементів механізму, що зачіпаються та описуються рівняннями робочих поверхонь
(2.1)
і ортів нормалей
(2.2)
ведучої ( ) і відомої ( ) ланок. , - криволінійні координати на поверхнях, - кут повороту -го колеса. Відомо номінальне положення осей обертання, що визначається кутом і розташуванням між осями; відомі похибки базування ланок у передачі. Відомою величиною є кут повороту ведучої ланки.
Необхідно побудувати моделюючу систему рівнянь ()
, (2.3)
щоб знайти вираз координат , положення точок контакту і кута повороту відомої ланки у вигляді функції кута повороту ведучої ланки і похибок. Тоді перша і друга похідні від по
,
- реальне миттєве передатне відношення та аналог кутового прискорення відомої ланки щодо ведучої. Знання ж ступеня і характеру відхилень
, , , ,
у контакті активних поверхонь і кінематиці реальної передачі дозволяє з науково обґрунтованої точки зору здійснювати дослідження вище згаданих проблем реального механізму (, , , - характеристики ідеальної передачі).
2.2 Аналітико-імовірностні задачі
У розробці рекомендацій на призначення допусків на контрольовані параметри зубчастих коліс і передач важливе місце займає, так називана, контактно-метрологічна задача [127]. Основний її зміст полягає в одержанні розрахункових залежностей для визначення:
1) припустимої зони розташування центру контактної площадки на активних поверхнях зубців;
2) припустимих нижньої і верхній числових границь суми похибок, при яких площадка контакту (отже, і сумарна пляма контакту) розташовується в межах активних поверхонь зубців.
Математично задача формулюється так. Нехай - відстань від центра до границі активних поверхонь зубців (мал. 2.1). Ця відстань - функція положення і характерних величин , (наприклад, півосей) площадки. Тоді умови розташування площадки контакту у межах активних поверхонь зубців для нормального навантаження запишуться у вигляді
, (2.4)
Рис. 2.1 До постановки контактно-метрологічної задачі
Рис. 2.2 До теоретико-імовріностних оцінок розташування площадки
де - координата профільного положення точок контакту; , - відстань від центра відповідно до нижньої і до верхньої границь активних поверхонь зубців по висоті зубця, виражена через невідому координату центра; характерні розміри , залежать від , головних кривизн поверхонь, полічених у точці , від коефіцієнтів Пуассона , модулів Юнга і від похибок .
Співвідношенням (2.4) відповідають два екстремальних рівняння
, ,
розв'язком яких є відповідно , такі, що - шукана припустима зона розташування центра контактної площадки. Потім, знаючи залежність профільного положення точок контакту від похибок, з рівнянь
, (2.5)
знаходимо і . При точки контакту виходять за межі активних поверхонь зубців.
У силу того, що похибки виготовлення є випадковими величинами, а шукані характеристики , , , ... - функціями від , тобто також є випадковими величинами, контактно-метрологічну задачу природно розглядати у імовірностнім аспекті. Відповідно до викладеного вище, якщо сумарне значення похибок не виходить за межі відрізка , то центр контактної площадки розташовується в межах відрізка , що рівносильно не виходу всіх точок контакту за межі активних поверхонь у 100% передач. Зазначені границі є, як правило, "жорсткими" при монтажно-технологічній реалізації. Більш прийнятним (з економічної й іншої точок зору) є варіант, при якому границі , зміни є більш широкими, незважаючи на те, що при цьому відсоток передач з нормативним контактом і відхиленням у кінематиці трохи зменшується.
Реалізуємо варіант, думаючи (мал. 2.2) . У цьому випадку границі , відрізка , що визначає менш "жорсткі" допуски на технологію виготовлення і монтажу, знаходяться з рівнянь (2.5):
, . (2.6)
Можливий відсоток якісних передач, що виготовляються з менш "жорсткими" допусками, визначається імовірністю
(2.7)
улучення значень випадкової величини у відрізок , а також імовірністю
(2.8)
того, що фактичне миттєве передатне відношення відхилиться від свого номінального значення не більш, ніж на величину , за умови, що безліч значень належить відрізку . Якщо ж імовірності , є відомими (заданими) величинами, то формули (2.6)-(2.8) дозволяють обчислити припустимі граничні відхилення , суми з надійністю , .
2.3 Методи дослідження. Вірогідність наукових результатів
Для дослідження реальної зубчастої циліндричної передачі Новікова необхідно мати розв'язок системи трансцендентних рівнянь (2.3), що моделюють роботу згаданої передачі, при данім значенні кута повороту ведучого колеса.
В роботах [32, 41, 83] розв'язок трансцендентних рівнянь (2.3) знаходилося у виді рядів Тейлора ( )
(2.9)
підстановкою (2.9) у (2.3) і розкладанням лівих частин рівнянь (2.3) у ряди по ступенях малих параметрів - похибок з наступним прирівнюванням коефіцієнтів при ступенях до нуля й одержанням систем лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів , , ... :
, , ; , , ; ... (2.10)
Вхідні в (2.9) функції визначені формулами (2.11) і є координатами точок контакту і кутом повороту відомої ланки в "ідеальній" передачі і вважаються відомими. Ці характеристики мають вигляд
, . (2.11)
Однак викладений алгоритм знаходження розв'язку (2.3) у вигляді (2.9) є досить ефективним при порівняно невеликому числі змінних параметрів . Адекватність же математичної моделі реальному зачепленню тим вище, чим більше число параметрів вона вр